高中數(shù)學(xué)熱點題型專項訓(xùn)練之 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

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1、 第?3?講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 一、選擇題 y B 1．過圓?x2＋y2＝1?上一點作圓的切線與?x?軸、?軸的正半軸交于?A、?兩點，則|AB| 的最小值為( ) A.?2 C．2 B.?3 D．3 分別令?x＝0，y＝0?得?A(???，0)，B(0，???)，1 解析 設(shè)圓上的點為(x?，y?)，其中?x?>0，y?>0，則切線方程為?x?x＋y?y＝1. 0 0 0 0 0 0 1 x y 0 0 ∴|AB|＝???? 1 ＋?? 1 ＝???1 ≥??

2、 1 x 0 2 y 0 2 x?y 0?0 x2＋y2 0?0 2 ＝2. 答案 C 2．設(shè)兩圓?C?、C?都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點?(4,1)，則兩圓心的距離?|C?C?|＝ 1 2 1 2 ( )． A．4 B．4?2 C．8 D．8?2 解析 設(shè)與兩坐標(biāo)軸都相切的圓的方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2，將點(4,1)代 入得?a2－10a＋17＝0，解得?a＝5±2?2，設(shè)?C?(5－2?2，5－2?2)，則?C?(5＋ 1 2 2?2，5＋2?2)，則|C?C?|＝?32＋32＝8. 1

3、 2 答案 C 3．若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1?始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4?的周長，則?a， b?滿足的關(guān)系是( ) A．a(chǎn)2＋2a＋2b－3＝0 B．a(chǎn)2＋b2＋2a＋2b＋5＝0 C．a(chǎn)2＋2a＋2b＋5＝0 D．a(chǎn)2－2a－2b＋5＝0 解析 即兩圓的公共弦必過(x＋1)2＋(y＋1)2＝4?的圓心， 兩圓相減得相交弦的方程為－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0， 將圓心坐標(biāo)(－1，－1)代入可得?a2＋2a＋2b＋5＝0. 答案 C 4．若圓?C1：x2＋y2＋2ax＋

4、a2－4＝0(a∈R)與圓?C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈ R)恰有三條切線，則?a＋b?的最大值為 A．－3?2 B．－3  C．3 (???)． D．3?2 ∴|C1C2|＝r1＋r2，即??a2＋b2＝9.∵??????? 2? ，è???2???? 解析 易知圓?C1?的圓心為?C1(－a,0)，半徑為?r1＝2； 圓?C2?的圓心為?C2(0，b)，半徑為?r2＝1. ∵兩圓恰有三條切線，∴兩圓外切， ÷?≤ ?a＋b?2 a2＋b2 ∴a＋b≤3?2(當(dāng)且僅當(dāng)?a＝b＝

5、 3 2  時取“＝”)， ∴a＋b?的最大值為?3?2. 答案 D 5．若曲線?C1：x2＋y2－2x＝0?與曲線?C2：y(y－mx－m)＝0?有四個不同的交點，則 B.?－?? ，0÷∪?0，?3?÷ D.?－∞，－?? ÷∪??? ，＋∞÷ 實數(shù)?m?的取值范圍是 ? 3 3? è－?3 ? A.? ，?3?÷ é 3 3ù ?－?3 ? C.ê ，?3?ú (???)． ????3??????????3? è???3?????è?? ??3????3?? 3?? è?3 è??????

6、??????????????????? 解析 C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0?或?y＝mx＋m ＝m(x＋1)． 當(dāng)?m＝0?時，C2：y＝0，此時?C1?與?C2?顯然只有兩個 交點； 當(dāng)?m≠0?時，要滿足題意，需圓(x－1)2＋y2＝1?與直 3 線?y＝m(x＋1)有兩交點，當(dāng)圓與直線相切時，m＝±?3?，即直線處于兩切線之 間時滿足題意， 3 3 則－?3?

7、?1?的小圓沿著直徑為?2?的大圓內(nèi) 壁的逆時針方向滾動，M?和?N?是小圓的一條固定直徑 的兩個端點．那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周， 點?M，N?在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是( )． 解析 如圖，建立直角坐標(biāo)系，由題意可知，小 圓?O1?總與大圓?O?相內(nèi)切，且小圓?O1?總經(jīng)過大圓 的圓心?O.設(shè)某時刻兩圓相切于點?A，此時動點?M 所處位置為點?M′，則大圓圓弧 的長與小圓 圓弧 的長之差為?0?或?2π.切點?A?在三、四象限

8、 的差為?0，在一、二象限的差為?2π.以切點?A?在第三象限為例，記直線?OM?與 此時小圓?O1?的交點為?M1，記∠AOM＝θ，則∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠ M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圓圓弧 的長為?l1＝θ×2＝2θ，小圓圓 弧 的長為?l2＝2θ×1＝2θ，則?l1＝l2，即小圓的兩段圓弧 與???的長相 等，故點?M1?與點?M′重合．即動點?M?在線段?MO?上運動，同理可知，此時點 N?在線段?OB?上運動．點?A?在其他象限類似可得，故?M，N?的軌跡為相互垂直 的

9、線段．觀察各選項知，只有選項?A?符合．故選?A. 答案 A 二、填空題 7．直線?y＝x?被圓?x2＋(y－2)2＝4?截得的弦長為________． 解析 由題意得，圓?x2＋(y－2)2＝4?的圓心為(0,2)，半徑為?2，圓心到直線?x －y＝0?的距離?d＝?2?＝?2. 2 設(shè)截得的弦長為?l，則由?2÷2＋(???2)2＝22，得?l＝2???2. 8．設(shè)集合?A＝(x，y)??2?≤??(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m 交點，即|2－2m|??? |1－2m|???? 2－???2 綜

10、上所述，滿足條件的?m?的取值范圍為ê2，2＋???2ú. 答案?? ê2，2＋???2ú ??l?? è?? 答案 2?2 ?m ? ＋1，x，y∈R}，若?A∩B＝?，則實數(shù)?m?的取值范圍是________． 解析 ∵A∩B≠?，∴A≠?， m 1 ∴m2≥?2?.∴m≥2或?m≤0.顯然?B≠?. 要使?A∩B≠?，只需圓(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)與?x＋y＝2m?或?x＋y＝2m＋1?有 2 2 2 ≤m≤2＋?2. 1 1 又∵m≥2或?m≤0，∴2≤m≤2＋?2. 當(dāng)?m＝0?時，(2,0)不在?0≤x

11、＋y≤1?內(nèi)． é1 ù ? ? é1 ù ? ? 9．過點(－1，－2)的直線?l?被圓?x2＋y2－2x－2y＋1＝0?截得的弦長為?2，則直 線?l?的斜率為________． 解析 將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圓心為(1,1)，半 徑?r＝1.由弦長為?2得弦心距為 2 2  .設(shè)直線方程為?y＋2＝k(x＋1)，即?kx－y ＝?? ，化簡得?7k2－24k＋17＝0，∴k＝1?或?k＝ . ＋k－2＝0，∴ |2k－3|???2???????????????????

12、??????????????17 k2＋1?2??????????????????????????????????????7 答案 1?或 17 7 10．從原點向圓?x2＋y2－12y＋27＝0?作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧 長為________． 解析 (數(shù)形結(jié)合法)如圖，圓?x2＋y2－12y＋27＝0 可化為?x2＋(y－6)2＝9，圓心坐標(biāo)為(0,6)，半徑為?3. ，∴∠ACB＝?? ， 在? OBC?中可得：∠OCB＝ π????????????2π 3????????????3

13、 ∴所求劣弧長為?2π?. 答案 2?π 三、解答題 11．已知：圓?C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線?l：ax＋y＋2a＝0. (1)當(dāng)?a?為何值時，直線?l?與圓?C?相切； (2)當(dāng)直線?l?與圓?C?相交于?A，B?兩點，且|AB|＝2?2時，求直線?l?的方程． 解 將圓?C?的方程?x2＋y2－8y＋12＝0?化成標(biāo)準(zhǔn)方程為?x2＋(y－4)2＝4，則此圓 的圓心為(0,4)，半徑為?2. (1)若直線?l?與圓?C?相切，則有 |4＋2a|?????????????3 a2＋1＝2，解得?a＝－4.

14、 í 得 |CD|?＋|DA|?＝|AC|?＝2?， 解?? (1)證明：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，設(shè)直線方程為??＋??＝1， (2)過圓心?C?作?CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)， a??2a|2 ì?|CD|＝?|4＋＋1， 2 2 2 2 ? ?|DA|＝1|AB|＝?2. 2 解得?a＝－7?或?a＝－1. 故所求直線方程為?7x－y＋14＝0?或?x－y＋2＝0. 12．已知與圓?C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0?相切的直線?l?交?x?軸，y?軸于?A，B?兩點， |OA|＝a，|OB|＝b(

15、a>2，b>2)． (1)求證：(a－2)(b－2)＝2； (2)求線段?AB?中點的軌跡方程； (3)求△AOB?面積的最小值． x y a b ? 即?bx＋ay－ab＝0，圓心到該直線的距離?d＝|a＋b－ab| a2＋b2  ＝1， 即?a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即?a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0， 即?ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2. 得(x－1)(y－1)＝??(x>1，y>1)． (2)設(shè)?AB?中點?M(x，y)，則?a＝2x

16、，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2， 1 2 (3)由(a－2)(b－2)＝2?得?ab＋2＝2(a＋b)≥4?ab， 解得?ab≥2＋?2(舍去?ab≤2－?2)， 當(dāng)且僅當(dāng)?a＝b?時，ab?取最小值?6＋4?2， 所以△AOB?面積的最小值是?3＋2?2. 13．設(shè)直線?l?的方程為?y＝kx＋b(其中?k?的值與?b?無關(guān))，圓?M?的方程為?x2＋y2－ 2x－4＝0. (1)如果不論?k?取何值，直線?l?與圓?M?總有兩個不同的交點，求?b?的取值范圍； (2)b＝1?時，l?與圓交于?A，B?兩點，求|AB|的最大值

17、和最小值． 解 圓?M?的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝5， ∴圓心?M?的坐標(biāo)為(1,0)，半徑為?r＝?5. (1)∵不論?k?取何值，直線?l?總過點?P(0，b)， ∴欲使?l?與圓?M?總有兩個不同的交點，必須且只需點?P?在圓?M?的內(nèi)部，即 |MP|

18、  2＝ k2＋2k＋1??????2 k2＋1?＝1＋??1≤1＋ k＋k 2????? 1 2  k·?k  ＝2，當(dāng)且僅當(dāng)?k＝1?時取等號．最小值為?2?r2－|MP|2＝2?5－2＝2?3. 14．已知圓?M：x2＋(y－2)2＝1，Q?是?x?軸上的動點，QA，QB?分別切圓?M?于?A， B?兩點． (1)若?Q(1,0)，求切線?QA，QB?的方程； (2)求四邊形?QAMB?面積的最小值； 4?2 (3)若|AB|＝?3?，求直線?MQ?的方程． 解 (1)設(shè)過點?Q?的圓?M?的切

19、線方程為?x＝my＋1， 則圓心?M?到切線的距離為?1， ∴?|2m＋1| m2＋1 4 ＝1，∴m＝－3或?0， ∴QA，QB?的方程分別為?3x＋4y－3＝0?和?x＝1. (2)∵MA⊥AQ，∴?S 四邊形MAQB?＝|MA|·?|QA|＝|QA|＝?|MQ|2－|MA|2＝?|MQ|2－1 ∴|MP|＝?????? ?2???2?2? 1÷?＝??.1－? ≥?|MO|2－1＝?3. ∴四邊形?QAMB?面積的最小值為?3. (3)設(shè)?AB?與?MQ?交于?P，則?MP⊥AB，MB⊥BQ， è?3?? 3 在?Rt△MBQ?中，|MB|2＝|MP||MQ|， 1 即?1＝3|MQ|，∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9. 設(shè)?Q(x,0)，則?x2＋22＝9，∴x＝±?5，∴Q(±?5，0)， ∴MQ?的方程為?2x＋?5y－2?5＝0?或?2x－?5y＋2?5＝0.