高中數(shù)學熱點題型專項訓練之 一元二次不等式及其解法

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1、 1．已知不等式?ax2－bx－1≥0?的解集是ê－??，－??ú，則不等式?x2－bx－a＜0?的 第?2?講 一元二次不等式及其解法 一、選擇題 é 1 1ù ? 2 3? 解集是( )． è3? 2? 3?? è2 A．(2,3) ?1 1? C.??，?÷ B．(－∞，2)∪(3，＋∞) 1? ?1 ????????????????????? D.?－∞，?÷∪??，＋∞÷ è???????????????????? 解析?? 由題意知－??，－??是方程?ax2－bx－1＝0?的根，所

2、以由根與系數(shù)的關(guān) 1?? ?? 1?? b??? 1? ?? 1???? 1 2?? è? 3?? a??? 2? è? 3???? a 1 1 2 3 系得－?＋?－?÷＝?，－?×?－?÷＝－?.解得?a＝－6，b＝5，不等式?x2－bx－ a＜0?即為?x2－5x＋6＜0，解集為(2,3)． 答案 A ì???x＋1 2.??已知全集??U?為實數(shù)集?R，集合?A＝íx? >0 ???? y，集合??A＝{y|y＝x??， U 3 x－m ü???????????????????1 t 解析?? 集合?

3、UA＝íy|y＝x??，x∈[－1，8]y＝[－1,2]，故不等式?? >0，3 x－m x∈[－1,8]}，則實數(shù)?m?的值為( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 1ì ü ? ? x＋1 ? t ? ? 即不等式(x＋1)(x－m)>0?的解集為(－∞，－1)∪(m，＋∞)，所以?m＝2. 答案 A 3．設(shè)?a>0，不等式－c

4、0，∴－?a?

5、÷ B．[2,8]  D．[2,7] 解析?? 由?4[x]2－36[x]＋45＜0，得??＜[x]＜? ，又[x]表示不大于?x?的最大 3 15 2 2 整數(shù)，所以?2≤x＜8. 答案 C 5．已知二次函數(shù)?f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函數(shù)?f(x)在(－2，－1)上恰有 一個零點，則不等式?f(x)>1?的解集為 A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C．(－1,0) (???)． B．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(0,1) ?x2＋bx＋c，x≤0，?? 若?f

6、(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，則關(guān)于 解析 ∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0， ∴函數(shù)?f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1?必有兩個不同的零點， 又?f(x)在(－2，－1)上有一個零點，則?f(－2)f(－1)<0， 3 5 ∴(6a＋5)(2a＋3)<0，∴－21?即為－x2－x>0， 解得－1

7、A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) C．[－3，－1]∪(0，＋∞)  B．[－3，－1] D．[－3，＋∞) 解析?? 當??x≤0?時，f(x)＝x2＋bx＋c?且?f(－4)＝f(0)，故其對稱軸為?x＝－ 7．已知關(guān)于?x?的不等式?ax2＋2x＋c>0?的解集為?－3，2÷，則不等式－cx2＋2x－ 解析?? 由?ax2＋2x＋c>0?的解集為?－3，2÷知?a<0，且－3，2為方程?ax2＋2x＋c b 2 ＝－2，∴b＝4.又?f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4，當?x≤0?時，令?x2＋4x＋4≤1 有－3≤x≤－1

8、；當?x＞0?時，f(x)＝－2≤1?顯然成立，故不等式的解集為 [－3，－1]∪(0，＋∞)． 答案 C 二、填空題 ? 1 1? è ? a>0?的解集為________． ? 1 1? 1?1 è ? 1 1 2 1 1 c ＝0?的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得－3＋2＝－a，－3×2＝a，解得?a＝－12， c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即?2x2－2x－12<0，其解集為(－2,3)． 答案 (－2,3) ìx2＋1，x≥0， 8．已知函數(shù)?f(x)＝í ?1，x＜0，  則滿足不等式?f(1－

9、x2)＞f(2x)的?x?的取 值范圍是________． 解析 由函數(shù)?f(x)的圖象可知(如下圖)，滿足?f(1－x2)＞f(2x)分兩種情況： ì1－x?≥0， 2 ①íx≥0， ?1－x2＞2x  0≤x＜?2－1. ?x＜0???????? －1＜x＜0. 解析?? 顯然?a＝1?不能使原不等式對?x>0?恒成立，故?a≠1?且當?x1＝????1 ì1－x2＞0， ②í 綜上可知：－1＜x＜?2－1. 答案 (－1，?2－1) f 9

10、．已知函數(shù)?f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1(b∈R)，若當?x∈[－1,1]時，(x)>0?恒成立， 則?b?的取值范圍是________． 解析 依題意，f(x)的對稱軸為?x＝1，且開口向下， ∴當?x∈[－1,1]時，f(x)是增函數(shù)． 若?f(x)>0?恒成立，則?f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1>0，即?b2－b－2>0，∴ (b－2)(b＋1)>0，∴b>2?或?b<－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞) 10．設(shè)?a∈R，若?x>0?時均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，則?a＝______

11、__. a a－1，?≠1 x 時原不等式成立．對于?x2－ax－1＝0，設(shè)其兩根為?x2，?3，且?x20.當?x>0?時，原不等式恒成立，故?x1＝ 3 解得?a＝2或?a＝0(舍去)． 1 a－1滿足方程?x2－ax－1＝0，代入 答案 3 2 －x2＋2x－1 －x2＋2x－1 三、解答題 f x 11．已知?f(x)＝2x2－4x－7，求不等式 ≥－1?的解集． 2x2－4x－7 解?原不等式可化為 ≥－1，

12、x2－2x＋1 等價于 2x2－4x－7 ≤1， 即 2x2－4x－7 x2－2x＋1  －1≤0， 即 x2－2x－8 x2－2x＋1  ≤0. 由于?x2－2x＋1＝(x－1)2≥0. ìx2－2x－8≤0， 所以原不等式等價于í ?x2－2x＋1≠0.  ì－2≤x≤4， 即í ?x≠1. 所以原不等式的解集為{x|－2≤x<1?或?14?的解集為{x|x<1?或?x>b}， (1)求?a，b；

13、 (2)解不等式?ax2－(ac＋b)x＋bc<0. 解 (1)因為不等式?ax2－3x＋6>4?的解集為{x|x<1?或?x>b}，所以?x1＝1?與?x2＝ b?是方程?ax2－3x＋2＝0?的兩個實數(shù)根，且?b>1. ??1×b＝2. a ì?1＋b＝3， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得?í a  ìa＝1， 解得í ?b＝2. (2)由(1)知不等式?ax2－(ac＋b)x＋bc<0?為?x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－ c)<0. ①當?c>2?時，不等式(x－2)(x－c)<0?的解集為{x|2

14、}；②當?c<2?時，不等式 (x－2)(x－c)<0?的解集為{x|c2?時，不等式的解集為{x|2

15、 解 (1)根據(jù)題意，m≠1?且?Δ>0， 即?Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得?m2>0， 所以?m≠1?且?m≠0. m－2ì?x?＋x?＝ ， 1－m 1 2因為x?＋x?＝??x?x???＝m－2， 2＋? ÷所以x2＋x2＝?x x －x?x ?(2)在?m≠0?且?m≠1?的條件下，í ??????????所以?f′(x)＝???－2x＋a＝－ . 1 2 ? 1 ?x1·?x2＝1－m， 1 1 x?＋x 1 2 1?2 1 1 ??1 1?? 2 1 2 è?1 2? 1?2

16、＝(m－2)2＋2(m－1)≤2. 得?m2－2m≤0，所以?0≤m≤2. 所以?m?的取值范圍是{m|0