高中數(shù)學熱點題型專項訓練之 雙曲線

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1、 1．已知?F?，F(xiàn)?是雙曲線???－???＝1(a＞0，b＞0)的兩焦點，以線段?F?F?為邊作正 C.????3＋1 第?5?講 雙曲線 一、選擇題 x2 y2 1 2 a2 b2 1 2 三角形?MF?F?，若邊?MF?的中點?P?在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ） 1 2 1 A．4＋2?3 B.?3－1 2 D.?3＋1 解析 (數(shù)形結合法)因為?MF?的中點?P?在雙曲線上， 1 |PF?|－|PF?|＝2， MF?F?為正三角形，邊長都是?2c，所以?3c－c＝2a， 2 1 1 2

2、所以?e＝??＝ c a 2 3－1  ＝?3＋1，故選?D. 答案 D x2 y2 2．已知雙曲線?C：a2－b2＝1?的焦距為?10，點?P(2,1)在?C?的漸近線上，則?C?的 方程為 ( )． x2 y2 A.20－?5?＝1 x2 y2 C.80－20＝1 解析 不妨設?a>0，b>0，c＝ x2??y2 B.?5?－20＝1 x2??y2 D.20－80＝1 a2＋b2. 據(jù)題意，2c＝10，∴c＝5. ① b 2b 雙曲線的漸近線方程為?y

3、＝±ax，且?P(2,1)在?C?的漸近線上，∴1＝?a?.  ② 3．設?F?、F?是雙曲線???－y2＝1?的兩個焦點，P?在雙曲線上，當 ?PF?的面積為 由①②解得?b2＝5，a2＝20，故正確選項為?A. 答案 A x2 1 2 3 1 2 2?時，?PF?·?PF?的值為( ) 1 2 A．2 C．4 B．3 D．6 PF?F?＝??|F?F?|×|y?|＝2|y?|＝2，|y?|＝1， 0－y2＝1，x2＝3(y2＋1)＝6， 切點為?E，延長?FE?交雙曲線右支于點?P，若OF＋OP

4、＝2OE，則雙曲線的離 解析 設點?P(x?，y?)，依題意得，|F?F?|＝2?3＋1＝4， 0 0 1 2 1 x2 1 2 0 0 0 1 2 2 3 0 0 0 0 0 PF1?·?PF2?＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x2＋y2－4＝3. 答案 B x2 y2 a2 4．過雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦點?F(－c,0)(c>0)作圓?x2＋y2＝?4?的切線， → → → 心率為 (???)． B.??5??????????? 10C.??2 A.?2 10 

5、D.?10 解析?? 設雙曲線的右焦點為??A，則OF＝－OA，故OF＋OP＝OP－OA＝AP＝ → → → → → → → → 1 a 2OE，即?OE＝2AP.所以?E?是?PF?的中點，所以?AP＝2OE＝2×2＝a.所以?PF 5 ＝3a.在?Rt△APF?中，a2＋(3a)2＝(2c)2，即?10a2＝4c2，所以?e2＝2，即離心率為 e＝??? 5 2 10 ＝?2?，選?C. 答案 C x2 y2 5．已知雙曲線?4?－b2＝1?的右焦點與拋物線?y2＝12x?的焦點重合，則該雙曲線的

6、 焦點到其漸近線的距離等于 (???)． A.?5 B．4??2 C．3 D．5 ??2??? ? x2 y2 解析 易求得拋物線?y2＝12x?的焦點為(3,0)，故雙曲線?4?－b2＝1?的右焦點為 5 (3,0)，即?c＝3，故?32＝4＋b2，∴b2＝5，∴雙曲線的漸近線方程為?y＝±?2?x，∴ ??5 ? ? ×3? 雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為 ＝?5. 5 1＋4 答案 A －???＝1?右支上一點，F(xiàn)?、F?分別為雙曲線的左、 6．如圖，已知點?P?為雙曲線 x

7、2??y2 16??9?1?2 右焦點，I?為△PF?F?的內心，若? IPF?＝ IPF?＋λ? IF?F?成立，則?λ 1 2 1 2 1 2 的值為( ) 8????????????????????????????????????????? 5 3????????????????????????????????????????? 4 a 4 即?2a＝λ??2c，即?λ??＝??＝??. 7．雙曲線???－???＝1?的右焦點到漸近線的距離是________． 解析??由題意得：雙曲線???－???＝1?的漸近線為?y＝

8、±???2x. 8．已知雙曲線???－???＝1?左、右焦點分別為?F?、F?，過點?F?作與?x?軸垂直的直線 5 4 A. B. 4 3 C. D. 解析?根據(jù)? IPF?＝ IPF?＋λ? IF?F?，即|PF?|＝|PF?|＋λ?|F?F?|， 1 2 1 2 1 2 1 2 c 5 答案?B 二、填空題 x2 y2 3 6 x2 y2 3 6 3?2 ∴焦點(3,0)到直線?y＝±?2x?的距離為 ＝?6. 2＋1 答案 6 x2 y2 a2 b2 1 2 2 與雙曲線一個交點為?P，且∠P

9、F?F?＝ 1 2 π 6  ，則雙曲線的漸近線方程為________． 解析?? 根據(jù)已知|PF?|＝?? 且|PF?|＝???，故?? －???＝2a，所以???＝2，??＝???2. 2 2b2 b2 2b2 b2 b2 b 1 a a a a a2 a 答案?y＝±?2x 9．如圖，已知雙曲線以長方形?ABCD?的頂點?A、B?為左、右焦點，且雙曲線過?C、 D?兩頂點．若?AB＝4，BC＝3，則此雙曲線的標準方程為________． 解析?? 設雙曲線的標準方程為 －???＝1(a＞0，b＞0)．由題意得??B(2,0)，

10、 x2 y2 a2 b2 C(2,3)， ì4＝a?＋b?， ?a b 2 2 ∴í?4 9 －?＝1， 2 2 ìa2＝1， 解得í ?b2＝3， ∴雙曲線的標準方程為?x2－???＝1. 答案?? x2－???＝1 10．已知點(2,3)在雙曲線?C：???－???＝1(a＞0，b＞0)上，C?的焦距為?4，則它的 解析?? 根據(jù)點(2,3)在雙曲線上，可以很容易建立一個關于?a，b?的等式，即 －???＝1，考慮到焦距為?4，這也是一個關于?c?的等式，2c＝4，即?c＝2.再有 解?? 設雙曲線的標準方程為???

11、－???＝1(a>0，b>0)， ì?x?－y?＝1， ía b ??x?－y?＝1， a b y2 3 y2 3 x2 y2 a2 b2 離心率為________． 4 a2 9 b2 雙曲線自身的一個等式?a2＋b2＝c2，這樣，三個方程，三個未知量，可以解出 a＝1，b＝?3，c＝2，所以，離心率?e＝2. 答案 2 三、解答題 11．已知雙曲線?E?的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是?E?的焦點，過?F?的直線?l?與?E?相交于 A，B?兩點，且?AB?的中點為?N(－12，－15)，則?E?的方程．

12、 x2 y2 a2 b2 由題意知?c＝3，a2＋b2＝9， 設?A(x?，y?)，B(x?，y?)，則有： 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 兩式作差得： 2＝ x?－x a2 y?＋y －15a2? 5a2 y?－y 1 1 2 b2?x?＋x 1?2 1?2 －12b2?4b2 ＝?????＝??， 又?AB?的斜率是－15－0 －12－3 ＝1， 所以雙曲線的標準方程是???－???＝1. (2)若點?M(3，m)在雙曲

13、線上，求證：MF1·?MF2＝0； ∴kMF1＝???? ，kMF2＝???? ， ∴kMF1·?kMF2＝－1，MF1⊥MF2，MF1·?MF2＝0. 法二?? ∵MF1＝(－3－2???3，－m)，MF2＝(2???3－3，－m)， ∴MF1·?MF2＝(3＋2???3)(3－2???3)＋m2＝－3＋m2. ∴m2＝3，∴MF1·?MF2＝0. 所以將?4b2＝5a2?代入?a2＋b2＝9?得 a2＝4，b2＝5. x2 y2 4 5 12．已知雙曲線的中心在原點，焦點?F1，F(xiàn)2?在坐標軸上，離心率為?2，且過點 (4，－?10)． (1)求

14、雙曲線方程； → → (3)求 1MF2?的面積． (1)解 ∵e＝?2，∴設雙曲線方程為?x2－y2＝λ. 又∵雙曲線過(4，－?10)點，∴λ＝16－10＝6， ∴雙曲線方程為?x2－y2＝6. (2)證明 法一 由(1)知?a＝b＝?6，c＝2?3， ∴F1(－2?3，0)，F(xiàn)2(2?3，0)， m m 3＋2?3 3－2?3 m2 m2 9－12? －3 ∴kMF1·?kMF2＝ ＝ ， 又點(3，m)在雙曲線上，∴m2＝3， → → → → → → ∵M?在雙曲線上，∴9－m2＝

15、6， → → (3)解 ∵在 F1MF2?中，|F1F2|＝4?3，且|m|＝?3， ???→2F?B，求此直線方程． → →由F?A＝2F?B，得 1 1 ∴ F1MF2＝2·|F1F2|·|m|＝2×4?3×?3＝6. x2 y2 13．已知雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為?F1，F(xiàn)2，點?P?在雙曲線 上，且?PF1⊥PF2，|PF1|＝8，|PF2|＝6. (1)求雙曲線的方程； F1A (2)設過雙曲線左焦點?F1?的直線與雙曲線的兩漸近線交于?A，B?兩點，且?→?＝ 1 解 (1)由題

16、意知，在?Rt 1F2?中， |F1F2|＝?|PF1|2＋|PF2|2， 即?2c＝?82＋62＝10，所以?c＝5. 由橢圓的定義，知?2a＝|PF1|－|PF2|＝8－6＝2，即?a＝1. y2 所以?b2＝c2－a2＝24，故雙曲線的方程為?x2－?24＝1. (2)左焦點為?F1(－5,0)，兩漸近線方程為?y＝±2?6x. 由題意得過左焦點的該直線的斜率存在． 設?過?左?焦?點?的?直?線?方?程?為?y?＝?k(x?＋?5)?，?則?與?兩?漸?近?線?的?交?點?為 ? 5k 10?6k?? ? 5k 10?6k?? ， ，

17、? ÷和??－ ÷. è2?6－k 2?6－k? è k＋2?6 k＋2?6? 1 1 ? 5k 10?6k?? ? 5k 10?6k?? ＋5， ＋5， ? ÷＝2?－ ÷或者 è2?6－k 2?6－k? è k＋2?6 k＋2?6? ? 5k 10?6k?? ? 5k 10?6k?? ＋5， ＋5， ?－ ÷＝2? ÷， è k＋2?6 k＋2?6? è2?6－k 2?6－k? 2?6 解得?k＝±?3?. 2?6 故直線方程為?y＝±?3?(x＋5)． x2 y2 14．?P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線?E：a2－b

18、2＝1(a>0，b>0)上一點，M，N?分別是 1 雙曲線?E?的左，右頂點，直線?PM，PN?的斜率之積為5. 原點，C?為雙曲線上一點，滿足OC＝λOA＋OB，求?λ?的值． 解?? (1)由點?P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線???2－???2＝1?上，有???2－???2＝1. 由題意有???? ·???? ＝5， (1)求雙曲線的離心率； (2)過雙曲線?E?的右焦點且斜率為?1?的直線交雙曲線于?A，B?兩點，O?為坐標 → → → 0 0 x2 y2 x2 y2 a b a b y0 y0 1 x0－a?x0＋a

19、 c 30 可得?a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝a＝?5?. ìx2－5y2＝5b2， (2)聯(lián)立í 得?4x2－10cx＋35b2＝0. ?y＝x－c， 設?A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 ? ìx?＋x?＝5c， í?1?2?2 4 ??x1x2＝35b2.  ① →?＝(x?，y?)，OC＝λOA＋OB，即ìíx3＝λx1＋x2， 設OC ?y3＝λy1＋y2. → → → 3 3 2 又?C?為雙曲線上一點，即?x3－5y23＝5b2，有 (λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2. 2 2 化簡得?λ2(x21－5y1)＋(x2－5y2)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2. ② 又?A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上， 所以?x21－5y1＝5b2，x2－5y2＝5b2. 由①式又有?x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－?4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝ 10b2， ②式可化為?λ2＋4λ＝0，解得?λ＝0?或?λ＝－4.