奧賽輔導(dǎo) 相對論基礎(chǔ)

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1、 相對論基礎(chǔ) 一、知識(shí)點(diǎn)擊 1．力學(xué)相對性原理和伽利略變換 如圖12一1，S系靜止，系相對S系平動(dòng)，對應(yīng) 軸互相平行，時(shí)，兩坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，t時(shí) 刻在兩參考系中觀察同一事物。我們有 若系相對S系做勻速直線運(yùn)動(dòng)，系也是慣性參考系， ，則有 又在兩系中有 因?yàn)? 力學(xué)現(xiàn)象對一切慣性系來說，都要遵從同樣的規(guī)律．這是力學(xué)相對性原理，研究力學(xué)規(guī)律時(shí)，一切慣性系都是等價(jià)的，我們不能在一慣性系中做力學(xué)實(shí)驗(yàn)來判定這個(gè)慣性系是靜止還是做勻速直線運(yùn)動(dòng)． 若S'系僅沿著S系x軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其速度為u，則我們有

2、 或 這就是伽利略變換．它描繪了同一事物在兩個(gè)不同參考系觀察時(shí)的時(shí)空關(guān)系．實(shí)際物體的低速運(yùn)動(dòng)都滿足伽利略變換． 2．愛因斯坦假設(shè) 洛倫茲變換 ⑴愛因斯坦假設(shè)：力學(xué)現(xiàn)象滿足伽利略變換，但電磁現(xiàn)象、特別是光現(xiàn)象呢？當(dāng)時(shí)人們把機(jī)械波必須在媒質(zhì)中才能傳播的思想引進(jìn)光現(xiàn)象中，認(rèn)為光只在以太中才能傳播，光相對以太速度為，并且沿各個(gè)方向相同。伽利略變換已經(jīng)不能解釋，為此愛因斯坦提出了兩條基本原理： 相對性原理：物理學(xué)定律在所有慣性系中都是相同的。 光速不變原理：

3、在所有慣性系中，自由空間中的光速具有相同的量值C。 以這兩個(gè)原理為依據(jù)，可得到的坐標(biāo)變換關(guān)系——洛倫茲變換 或 式中 相應(yīng)的速度變換關(guān)系為 或 3．長度收縮 時(shí)間膨脹 一剛性直尺沿軸放置并隨系運(yùn)動(dòng)，系中測得尺長，S系觀察者觀察到尺在運(yùn)動(dòng)，必須同時(shí)記下尺的兩端的坐標(biāo) 和，測得，利用洛倫茲變換可得，相對物體為靜止的慣

4、性系中測得物體長度是最長的，稱為物體的固有長度。運(yùn)動(dòng)的物體在運(yùn)動(dòng)的方向上收縮。 現(xiàn)分別在S 和系中觀察兩個(gè)事件的時(shí)間間隔 和 的關(guān)系。 在系中，兩事件發(fā)生在同一地點(diǎn)，其時(shí)間間隔 ，S系觀察兩事件發(fā)生在不同地點(diǎn)，時(shí)間間隔，由洛倫茲變換可得 。同一地點(diǎn)發(fā)生兩事件的時(shí)間間隔最小，稱為固有時(shí)間，即運(yùn)動(dòng)的鐘變慢了，從其他電像有相對運(yùn)動(dòng)的慣性系測量的兩事件時(shí)間間隔都延長了． 4．相對論力學(xué) 相對論中，動(dòng)量形式上仍可寫為，但質(zhì)量已不是一個(gè)恒量，而是隨物體運(yùn)動(dòng)速度不同而發(fā)生變化。，為物體靜止時(shí)的質(zhì)量，于是：。這樣得到的動(dòng)量守恒定律是滿足洛倫茲變換的．很明顯，當(dāng)時(shí)，它回原為經(jīng)典力學(xué)中的形式． 相對

5、論中運(yùn)動(dòng)物體的總能量表示為，物體靜止時(shí)的能量稱為物體的靜能。那么物體的動(dòng)能就為總能與靜能之差：。當(dāng)物體質(zhì)量發(fā)生變化時(shí)，物體能量也要發(fā)生變化，那就有。 相對論中動(dòng)量和能量之間的一個(gè)重要關(guān)系式，對應(yīng)相對論中的質(zhì)量和動(dòng)量，相對論動(dòng)力學(xué)的基本方程可寫成，應(yīng)注意的是，這時(shí)m也是的函數(shù)． 二、方法演練 類型一、利用愛因斯坦原理推導(dǎo)洛倫茲變換的問題。 例1．試推導(dǎo)洛倫茲坐標(biāo)變換。 分析和解：如圖12—2，對參考系S和 S'， 在t=t'=0時(shí)，O'和O重合。 考慮到同一事 件在S和S'系中觀察，其結(jié)果必須一一對應(yīng)， 這就要求變換關(guān)系呈線性。否則，在一慣性系 中某時(shí)空出現(xiàn)的一事

6、件，在另一慣性系中，這 一事件將在幾個(gè)不同時(shí)空出現(xiàn)，違反S、S'系 的等價(jià)性及時(shí)空的均勻性。設(shè)想（x，t)與（x'，t' ）之間的變換形式為 ① k是與x'，t'無關(guān)而與有關(guān)的恒量，其值應(yīng)根據(jù)愛因斯坦的狹義相對論的兩個(gè)基本原則來確定。 根據(jù)狹義相對論的相對性原理，慣性系S'和S的物理方程應(yīng)有同樣的形式，所以，逆變換應(yīng)為 ② 括號(hào)中前面的負(fù)號(hào)只表示S系相對S'系的速度沿x軸的負(fù)方向。 設(shè)想S和S'系坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，從原點(diǎn)發(fā)出一個(gè)沿x軸方向傳播的光脈沖，按光速不變原理，對S和S'系的觀察者來說，光速都是c，光脈沖波前所在點(diǎn)的空間坐標(biāo)，對

7、S系為， 對S'系為 將上述兩式分別代人式①和式②得 上列兩式相乘得 由此得 由此①、②兩式即可寫成； 從這兩個(gè)式子中消去x'或x，便可得到時(shí)間的變換式。若消去x'得 由此求得t'為 同樣，消去x后求得t為 類型二、不同參考系中的相對論時(shí)空計(jì)算的問題。 例2．在h0=6000m高層大氣中產(chǎn)生一μ子，μ子以0. 998c的速率向地面飛來，靜止的μ子的平均壽命為，問在μ子衰變以前，能否到達(dá)地球表面？ 分析和解：地面上的觀測者按經(jīng)典理論計(jì)算，μ子走過的距離為 ，因此，按μ子的平均壽命，它似乎不可能到達(dá)地面。實(shí)際上μ子的速率與光速c可以比擬，必須考慮相對論

8、效應(yīng)。μ子相對地面運(yùn)動(dòng)，在地面上的觀測者看來，它的平均壽命為 地面上的觀測者所計(jì)算的μ子可飛行的距離為 。因此，按μ子平均壽命，它能夠到達(dá)地面。 類型三、在不同參考系中的相對論時(shí)空計(jì)算的洛倫茲變換問題。 例3．在地面上有一跑道長100 m，運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)跑到終點(diǎn)，用時(shí)10 s，現(xiàn)從以速度0. 8c向前飛行的飛船中觀測： （1）跑道有多長？ （2）運(yùn)動(dòng)員跑過的距離和所用的時(shí)間為多少？ 分析和解：以地面參考系為S系，飛船參考系為S'系。 （1）跑道固定在S系中，原長。由于S'系相對S系高速運(yùn)動(dòng)，因而在S'系中觀測，跑道長度為 （2）， 將，和代入以上兩式，

9、計(jì)算得 計(jì)算結(jié)果中的負(fù)號(hào)表示在S'系中觀測，運(yùn)動(dòng)員是沿x'負(fù)方向后退。 例4．封閉的車廂中有一點(diǎn)光源S，在距光源處有一半徑為r的圓孔，其圓心為O1，光源一直在發(fā)光，并通過圓孔射出。車廂以高速沿固定在水平地面上的x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，如圖12一3所示。某一時(shí)刻，點(diǎn)光源S恰位于x軸的原點(diǎn)O的正上方，取此時(shí)刻作為車廂參考系與地面參考系的時(shí)間零點(diǎn)。在地面參考系中坐標(biāo)為xA處放一半徑為R(R＞r)的不透光的圓形擋板，板面與圓孔所在的平面都與x軸垂直。板的圓心O2、S、O1都等高，起始時(shí)刻經(jīng)圓孔射出的光束會(huì)有部分從檔板周圍射到擋板后面的大屏幕（圖中未畫出）上。由于車廂在運(yùn)動(dòng)，將會(huì)出現(xiàn)擋板將光束完

10、全遮住，即沒有光射到屏上的情況。不考慮光的衍射，試求： （1）車廂參考系中（所測出的）剛出現(xiàn)這種情況的時(shí)刻。 （2）地面參考系中（所測出的）剛出現(xiàn)這種情況的時(shí)刻。 分析和解：（1）相對于車廂參考系，地面連同擋板以速度趨向光源S運(yùn)動(dòng)。由S發(fā)出的光經(jīng)小孔射出后成錐形光束，隨著離開光源距離的增大，其橫截面積逐漸擴(kuò)大。若距S的距離為L處光束的橫截面正好是半徑為R的圓面，如圖12一4所示。 則有 可得 ① 設(shè)想車廂足夠長，并設(shè)想在車廂前端距S為L處 放置一個(gè)半徑為R的環(huán)，相對車廂靜止，則光束 恰好從環(huán)內(nèi)射出，當(dāng)擋板運(yùn)動(dòng)到與此環(huán)相

11、遇時(shí)， 擋板就會(huì)將光束完全遮住。此時(shí)，在車廂參考系 中擋板離光源S的距離就是L。在車廂參考系中，初始時(shí)根據(jù)相對論，擋板離光源的距離為 ② 故出現(xiàn)擋板完全遮住光束的時(shí)刻為 ③ 由①、③式得 （2）相對于地面參考系，光源與車廂以速度向擋板運(yùn)動(dòng)。光源與孔之間的距離縮短為 而孔半徑r不變，所以錐形光束的頂角變大，環(huán)到S的距離即擋板完全遮光時(shí)距離應(yīng)為 初始時(shí)，擋板離S的距離為xA，出現(xiàn)擋板完全遮住光束的時(shí)刻為 類型四、用反證法論證相對論中的能量計(jì)算的問題。 例5．試從相對論能量和動(dòng)量的角度分析論證： （1）一個(gè)光子與真空中處

12、于靜止?fàn)顟B(tài)的自由電子碰撞時(shí)，光子的能量不可能完全被電子吸收。 （2）光子射到金屬表面時(shí)，其能量有可能完全被吸收并使電子逸出金屬表面，產(chǎn)生光電效應(yīng)。 分析和解：（1）設(shè)電子處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的質(zhì)量為m0，光子的頻率為，假定電子能完全吸收光子的能量，吸收光子后，電子以速度運(yùn)動(dòng)，則這一過程應(yīng)遵循動(dòng)量守恒定律，有 ① 碰撞后系統(tǒng)的總能量為 ② 由①、②式消去，得 ③ 碰撞前電子與光子的總能量為 ④ 由③、④式有 ⑤ 這表明，所假設(shè)的過程不符合能量守恒定律，因此這一過程實(shí)際上不可能發(fā)生。

13、 （2）束縛在金屬中的電子和射入金屬的光子二者構(gòu)成的系統(tǒng)在發(fā)生光電效應(yīng)的過程中動(dòng)量不守恒，只需考慮能量轉(zhuǎn)換問題。設(shè)電子擺脫金屬的束縛而逸出，需要對它做功至少為W（逸出功），逸出金屬表面后電子的速度為，入射光子的能量為，電子的靜止質(zhì)量為m0，若能產(chǎn)生光電效應(yīng)，則有 ⑥ 逸出電子的速度一般都比光速小很多，故有 ⑦ 忽略高階小量，只?、呤街械那皟身?xiàng)，代入⑥式，可得到 ⑧ 可見，只要⑧式就能成立，光電效應(yīng)就能產(chǎn)生。 類型五、有關(guān)相對論中的能量和動(dòng)量計(jì)算的問題。 例6．一原子核基態(tài)的靜質(zhì)量為M，激發(fā)態(tài)比基態(tài)的能量高ΔE，已知ΔE<<

14、Mc2，以致 項(xiàng)可以略去。 （1）試求下列兩種情況下光子的頻率：（a）該核處在基態(tài)且靜止時(shí)吸收一個(gè)光子；（b）該核處在激發(fā)態(tài)且靜止時(shí)輻射一個(gè)光子。 （2）試論證：處在激發(fā)態(tài)的靜止核所輻射光的光子，不能被處在基態(tài)的同類靜止核吸收。 分析和解：（1）（a）設(shè)光子被吸前的動(dòng)量為，為一單位矢量，光子被吸收后原子核的動(dòng)量為，則由動(dòng)量守恒定律得， 即 由能量守恒定律 兩邊平方 代入，可得 于是得到所求光子頻率為 （b）設(shè)發(fā)射的光子動(dòng)量為，發(fā)射后原子核的動(dòng)量，則由動(dòng)量守恒定律得，即 由能量守恒定律 由以上兩式得 于是求得所求光子頻率為 （2）由上面的結(jié)果可見。

15、處在激發(fā)態(tài)的靜止核所輻射出的光子能量為，而處在基態(tài)的同類靜止核所吸收的光子的能量為，因，故不能被吸收。 三、小試身手 1．在2004年6月10日聯(lián)合國大會(huì)第58次會(huì)議上，鼓掌通過一項(xiàng)決議。決議摘錄如下： 聯(lián)合國大會(huì)， 承認(rèn)物理學(xué)為了解自然提供了重要基礎(chǔ)， 注意到物理學(xué)及其應(yīng)用是當(dāng)今眾多技術(shù)進(jìn)步的基石， 確信物理教育提供了建設(shè)人類發(fā)展所必需的科學(xué)基礎(chǔ)設(shè)施的工具， 意識(shí)到2005年是愛因斯坦科學(xué)發(fā)現(xiàn)一百周年，這些發(fā)現(xiàn)為現(xiàn)代物理學(xué)奠定了基礎(chǔ)， I．??； II．??； III．宣告2005年為_________________年。 2．愛因斯坦在現(xiàn)代物理學(xué)領(lǐng)域作出了很多重要貢獻(xiàn)

16、，試舉出其中兩項(xiàng)： _________________________________；___________________________________。 2．超音速飛機(jī)的駕駛員相對地球以的速度飛行。試問，他要飛行多久，才能使他的表比地球上的鐘慢1 s? 3．在一以恒定速度 沿平直軌道行駛的車廂中央有一旅客，已知他到車廂兩端A和B的距離都是L0，今旅客點(diǎn)燃一火柴，光脈沖以速度c向各個(gè)方向傳播，并到達(dá)車廂兩端A和B，試從車廂和地面兩個(gè)參考系分別計(jì)算光脈沖到達(dá)A和B的時(shí)刻。 4．一根長為的棒，靜置在坐標(biāo)系的、平面內(nèi)，

17、與軸成角（圖13一5），相對實(shí)驗(yàn)室參考系，棒以速度沿軸向右運(yùn)動(dòng)，求在此參考系中棒的長度和取向。 5．在S系中觀察到在同一地點(diǎn)發(fā)生的兩個(gè)事件，第二事件發(fā)生在第一事件之后2s。在S'系中觀察到第二事件在第一事件后3s發(fā)生。求在S'系中這兩個(gè)事件的空間距離。 6．一只裝有無線電發(fā)射和接收裝置的飛船，正以的速度飛離地球。當(dāng)宇航員發(fā)射一無線電信號(hào)后，信號(hào)經(jīng)地球反射，60 s后宇航員才收到返回信號(hào)。 （1）在地球反射信號(hào)的時(shí)刻，從飛船上測得的地球離飛船多遠(yuǎn)？ （2）當(dāng)飛船接收到反射信號(hào)時(shí)，地球上測得的飛船離地球多遠(yuǎn)？

18、 7．兩個(gè)靜止質(zhì)量都為的粒子以大小相等、方向相反的速度，互相接近并發(fā)生完全非彈性碰撞，求碰撞后粒子的質(zhì)量。 8．（1）一根長為、橫截面積為S的勻質(zhì)圓柱體。在地面上靜止時(shí)測得其密度為。當(dāng)圓柱體沿軸線方向以速度相對于地面做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對地面上的觀測者再計(jì)算其密度等于多少？（c為光速） （2）有一個(gè)電子，已知它的德布羅意波（物質(zhì)波）是波長為、向的正方向傳播的平面波。它的動(dòng)量等于多少？它的坐標(biāo)如何？ 9．子在相對自身靜止的慣性參考系中的平均壽命。宇宙射線與大氣在高空某處發(fā)生核反應(yīng)產(chǎn)生一批子，以。的

19、速度（c為真空中的光速）向下運(yùn)動(dòng)并衰變。根據(jù)放射性衰變定律，相對給定慣性參考系，若t=0時(shí)刻的粒子數(shù)為N（0），t時(shí)刻剩余的粒子數(shù)為N（t），則有，式中為相對該慣性系粒子的平均壽命。若能到達(dá)地面的子數(shù)為原來的5 %，試估算子產(chǎn)生處相對于地面的高度h。不考慮重力和地磁場對子運(yùn)動(dòng)的影響。 10．在相對于實(shí)驗(yàn)室靜止的平面直角坐標(biāo)系S中，有一個(gè)光子，沿x軸正方向射向一個(gè)靜止于坐標(biāo)原點(diǎn)O的電子。在軸方向探測到一個(gè)散射光子。已知電子的靜止質(zhì)量為，光速為c，入射光子的能量與散射光子的能量之差等于電子靜止能量的。 （1）試求電子運(yùn)動(dòng)速度的大小、電子運(yùn)動(dòng)的方向與x軸的夾角為θ；電子

20、運(yùn)動(dòng)到離原點(diǎn)距離為L0（作為已知量）的A點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為Δt。 （2）在電子以（1）中的速度開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，一觀察者S'相對于坐標(biāo)系S也以速度沿S中電子運(yùn)動(dòng)的方向運(yùn)動(dòng)（即S'相對于電子靜止）。試求S'測出的OA的長度。 11．在北京正負(fù)電子對撞機(jī)中，電子可以被加速到動(dòng)能為。 （1）這種電子的速率和光速相差多少m/s? （2）這樣的一個(gè)電子動(dòng)量多大？ （3）這種電子在周長為240 m的儲(chǔ)存環(huán)內(nèi)繞行時(shí)，它受的向心力多大？需要多大的偏轉(zhuǎn)磁場？ 12．一個(gè)質(zhì)子的靜質(zhì)量為，一個(gè)中子的

21、靜質(zhì)量為，一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)中子結(jié)合成的氘核的靜質(zhì)量。求結(jié)合過程中放出的能量是多少M(fèi)eV？這能量稱為氘核的結(jié)合能。它是氘核靜能量的百分之幾？ 一個(gè)電子和一個(gè)質(zhì)子結(jié)合成一個(gè)氫原子，結(jié)合能是13. 58 eV，這一結(jié)合能量是氫原子靜能量的百分之幾？已知?dú)湓拥撵o質(zhì)量為。 13．20世紀(jì)60年代發(fā)現(xiàn)的類星體的特點(diǎn)之一是它發(fā)出極強(qiáng)烈的輻射。這一輻射的能源機(jī)制不可能用熱核反應(yīng)來說明。一種可能的巨大能源機(jī)制是黑洞或中子星吞食或吸積遠(yuǎn)處物質(zhì)時(shí)所釋放的引力能。 （1）1 kg物質(zhì)從遠(yuǎn)處落到地球表面上時(shí)釋放的引力能是多少？釋能效率（即所釋放能量與落到地球表面的物質(zhì)的靜能的比）又是

22、多大？ （2）1 kg物質(zhì)從遠(yuǎn)處落到一顆中子星表面時(shí)釋放的引力能是多少？（設(shè)中子星的質(zhì)量等于一個(gè)太陽的質(zhì)量而半徑為10 km）釋能效率又是多大？ 14．一電子具有0.51×106 eV的靜止能量，若使之加速，直至具有4.59 ×106 eV 的動(dòng)能。問該電子的總能量是多少？運(yùn)動(dòng)中電子的慣性質(zhì)量是靜止質(zhì)量mo的多少倍？這時(shí)，該電子的速率是多大？ 參考解答 1．國際物理年。相對論；光的量子性 2．5×1011s 3．對于車廂，，對于地面，， 4． 5． 6．（1）飛船上測量，地球離飛船距離；（2）地球上測量，飛船離地球距離 7． 20090106 8．（1）；（2），坐標(biāo)值不能確定。 9． 10．（1），，，（2） 11．（1），（2），（3）， 12．， 13．（1），；（2），此釋能效率是太陽熱核反應(yīng)釋能效率（0.69%）的約20倍。 14．，10倍，