山東省2019中考數(shù)學 第五章 四邊形 第二節(jié) 矩形、菱形、正方形課件.ppt

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1、考點一 矩形的性質與判定 (5年5考) 例1 如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是( ) A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90 D．CE⊥DE,【分析】 先證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進行分析．,【自主解答】 ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC， AD＝BC. 又∵AD＝DE， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴四邊形BCED為平行四邊形． ∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE， ∴?DBCE為矩形，故A選項不符合題意；,∵對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，

2、不一定為矩形， 故B選項符合題意； ∵∠ADB＝90，∴∠EDB＝90， ∴?DBCE為矩形，故C選項不符合題意； ∵CE⊥DE，∴∠CED＝90， ∴?DBCE為矩形，故D選項不符合題意．故選B.,矩形的性質應用及判定方法 (1)矩形性質的應用：從邊上看，兩組對邊分別平行且相等；從角上看，矩形的四個角都是直角；從對角線上看，對角線互相平分且相等，同時把矩形分為四個面積相等的等腰三角形．,(2)矩形的判定方法：若四邊形可以證為平行四邊形，則 還需證明一個角是直角或對角線相等；若直角較多，可利 用“三個角為直角的四邊形是矩形”來證．,1．(2018棗莊中考)如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的

3、 中點，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值為( ),A,2．(2018濱州中考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ 4，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若AE＝ ，∠EAF＝45，則 AF的長為 ．,3．如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD 上，DF＝BE，連接AF，BF. (1)求證：四邊形BFDE是矩形； (2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB.,(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC∥AB，即DF∥BE. 又∵DF＝BE，∴四邊形BFDE為平行四邊形． 又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90， ∴四邊形BFDE為矩形．,(2)

4、∵四邊形BFDE為矩形，∴∠BFC＝90. ∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝ ＝5. ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝5， ∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA. 又∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.,考點二 菱形的性質與判定 (5年3考) 例2 (2017濱州中考)如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB 長為半徑畫弧交AD于點F；再分別以點B，F(xiàn)為圓心，大于 BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交 BC于點E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形．,(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形； (

5、2)若菱形ABEF的周長為16，AE＝4 ，求∠C的大?。?【分析】 (1)利用“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”進行判定； (2)連接BF，利用菱形的性質，通過解直角三角形確定∠OAF的度數(shù)，從而可知∠C的度數(shù)．,【自主解答】(1)由作圖過程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAF. ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD， ∴∠AEB＝∠EAF，∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE，∴BE＝AF， ∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴四邊形ABEF為菱形．,(2)如圖，連接BF. ∵四邊形ABEF為菱形， ∴BF與AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE，,∵菱形ABEF的周長

6、為16，∴AF＝4， ∴∠OAF＝30，∴∠BAF＝60. ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠C＝∠BAD＝60.,菱形的性質應用及判定方法 (1)判定一個四邊形是菱形時，一是證明四條邊相等；二是先證明它是平行四邊形，進而再證明它是菱形． (2)運用菱形的性質時，要注意菱形的對角線互相垂直這個條件；此外，菱形的對角線所在的直線是菱形的對稱軸，運用這一性質可以求出線段和的最小值．,4．(2015濱州中考)順次連接矩形ABCD各邊的中點， 所得四邊形必定是( ) A．鄰邊不等的平行四邊形 B．矩形 C．正方形 D．菱形,D,5．(2018日照中考)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC， BD

7、相交于點O，AO＝CO，BO＝DO.添加下列條件，不能判定 四邊形ABCD是菱形的是( ) A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO,B,6．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點， 過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF. (1)求證：AF＝DC； (2)若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．,(1)證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE. ∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線， ∴AE＝DE，BD＝CD. 在△AFE和△DBE中， ∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴AF＝BD，∴AF＝DC.,(2)解

8、：四邊形ADCF是菱形． 證明如下：∵AF∥BC，AF＝DC， ∴四邊形ADCF是平行四邊形． ∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，∴AD＝ BC＝DC， ∴平行四邊形ADCF是菱形．,考點三 正方形的性質與判定 (5年3考) 例3 (2014濱州中考)如圖，已知正方形ABCD，把邊DC繞D點順時針旋轉30到DC′處，連接AC′，BC′，CC′，寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過程．,【分析】 利用旋轉的性質、正方形的性質以及全等三角形的性質與判定得出相等的邊，從而得出圖中的等腰三角形． 【自主解答】圖中的等腰三角形有△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC. 推理過程：∵四邊形A

9、BCD是正方形， ∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝90， ∴DC＝DC′＝DA，,∴△DCC′，△DC′A為等腰三角形． ∵∠C′DC＝30，∠ADC＝90，∴∠ADC′＝60， ∴△AC′D為等邊三角形， ∴AC′＝AD＝AB，∴△C′AB為等腰三角形． ∵∠C′AB＝90－60＝30，∴∠CDC′＝∠C′AB，,在△DCC′和△ABC′中， ∴△DCC′≌△ABC′，∴CC′＝C′B， ∴△C′BC為等腰三角形．,判定正方形的方法及其特殊性 (1)判定一個四邊形是正方形，可以先判定四邊形為矩形，再證鄰邊相等或者對角線互相垂直；或先判定四邊形為菱形，再證有一個角是直角或者對角線相等

10、． (2)正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它們的所有性質．,7．(2018青島中考)已知正方形ABCD的邊長為5，點E，F(xiàn)分 別在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點G，點H為BF的 中點，連接GH，則GH的長為 ．,8．已知：如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點G是射線AB上的一個動點，以DG為邊向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于點H.,(1)若點G在點B的右邊．試探索：EH－BG的值是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由． (2)連接EB，在G點的整個運動(點G與點A重合除外)過程中，求∠EBH的度數(shù)．,解：(1)EH－BG的值是定值． ∵EH⊥AB，

11、∴∠GHE＝90，∴∠GEH＋∠EGH＝90. 又∵∠AGD＋∠EGH＝90，∴∠GEH＝∠AGD. ∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形， ∴∠DAG＝90，DG＝GE，∴∠DAG＝∠GHE.,在△DAG和△GHE中， ∴△DAG≌△GHE(AAS)，∴AG＝EH. 又∵AG＝AB＋BG，AB＝4，∴EH＝AB＋BG， ∴EH－BG＝AB＝4.,(2)①如圖1，當點G在點B的左側時， 同(1)可證得△DAG≌△GHE， ∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴BH＝AG＝EH. 又∵∠GHE＝90，∴△BHE是等腰直角三角形， ∴∠EBH＝45.,②如圖2，當點G在點B的右側時， 由△DA

12、G≌△GHE， ∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴AG＝BH. 又∵EH＝AG，∴EH＝HB. 又∵∠GHE＝90，∴△BHE是等腰直角三角形， ∴∠EBH＝45.,③如圖3，當點G與點B重合時， 同理△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG＝AB， ∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形， ∴∠EBH＝45. 綜上所述，在G點的整個運動(點G與點A重合除外)過程中，∠EBH都等于45.,考點四 四邊形綜合題 百變例題(2018棗莊中考改編)如圖，將矩形ABCD沿AF折 疊，使點D落在BC邊上的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G， 連接DG.,(1)求證：四邊形EFDG是菱形；

13、 (2)探究線段EG，GF，AF之間的數(shù)量關系，并說明理由； (3)若 求BE的長．,【分析】 (1)先依據(jù)翻折的性質和平行線的性質證明∠DGF ＝∠DFG，從而得到GD＝DF，再根據(jù)翻折的性質即可證明DG ＝GE＝DF＝EF； (2)連接DE，交AF于點O.由菱形的性質可知GF⊥DE，OG＝OF ＝ GF，然后證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質可 證明DF2＝FOAF，于是可得到EG，AF，GF的數(shù)量關系；,(3)過點G作GH⊥DC，垂足為H.利用(2)的結論可求得FG，然后在△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角

14、形的性質可求得GH的長，最后依據(jù)BE＝AD－GH求解即可．,【自主解答】 (1)∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG. ∵由翻折的性質可知GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF， ∴∠DGF＝∠DFG，∴GD＝DF， ∴DG＝GE＝DF＝EF， ∴四邊形EFDG是菱形． ∵四邊形EFDG是菱形，,變式1：如圖，若點G在BE上，AD＝10，AB＝6，CE＝2， 將△ABG沿AG折疊，點B恰好落在線段AE上的點H處．求證： (1)∠FAG＝45； (2)S△ABG＝ S△EGH； (3)BG＋CE＝GE.,證明：如圖， 由題意可知，BG＝GH，AE＝AD＝10，AH＝AB＝6， ∠1＝∠2，∠3

15、＝∠4. (1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠BAD＝90， ∴∠2＋∠3＝ ∠BAD＝ 90＝45， 即∠FAG＝45.,(2)∵AE＝10，AH＝6，∴HE＝AE－AH＝10－6＝4. 設BG＝x，∴GH＝BG＝x， ∴GE＝AD－BG－EC＝10－x－2＝8－x. 在Rt△GHE中， ∵GE2＝GH2＋HE2，∴(8－x)2＝x2＋42，∴x＝3， 即GH＝BG＝3，,(3)∵GE＝8－x＝8－3＝5，BG＋EC＝3＋2＝5， ∴BG＋CE＝GE.,變式2：如圖，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，若點M是BC邊上一點，連接AM，把∠B沿AM折疊，使點B落在點B′處，當△CMB′為直角三

16、角形時，求BM的長．,解： 如圖，當點B′落在矩形內部時，連接AC. 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10， ∵∠B沿AM折疊，使點B落在點B′處， ∴∠AB′M＝∠B＝90.,當△CMB′為直角三角形時，只能得到∠MB′C＝90， ∴點A，B′，C共線，即∠B沿AM折疊，使點B落在對角線 AC上的點B′處， ∴MB＝MB′，AB＝AB′＝6，∴CB′＝2 －6. 設BM＝x，則MB′＝x，CM＝10－x，,在Rt△CMB′中， ∵MC2＝MB′2＋CB′2， (10－x)2＝x2＋(2 －6)2，,如圖，當點B′落在AD邊上時， 此時四邊形ABMB′為正方形，∴BM＝AB＝6. 綜上所述，BM的長為 或6.,