八上數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)手冊(cè)答案.doc

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1、1 初二數(shù)學(xué)（八上）創(chuàng)新教育實(shí)驗(yàn)手冊(cè) 參考答案（蘇科版） 第一章 軸對(duì)稱圖形 1. 1 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形 【實(shí)踐與探索】 例 1 請(qǐng)觀察 26 個(gè)大寫(xiě)英文字母，寫(xiě)出其中成軸對(duì)稱的字母． 解：成軸對(duì)稱的字母有： A、B、C、D、E、H 、I、 K、M、O、T、U、V、 W、X 、Y ． 注意：字母“N、S、Z ”也具有對(duì)稱的特點(diǎn)，但它們不是軸對(duì)稱圖形． 例 2 國(guó)旗是一個(gè)國(guó)家的象征，觀察圖 1.1.1 中的國(guó)旗，說(shuō)說(shuō)哪些是軸對(duì)稱圖 形，并找出它們的對(duì)稱軸． （略） 【訓(xùn)練與提高】 一、選擇題： 1．A 2．D 3．B 4． A 5．A 二、填空題： 6． （1） （2） （5）

2、（6） 7．2，3，1，4 8．10∶21 三、解答題： 9．如圖： 10．長(zhǎng)方形、正方形、正五邊形 【拓展與延伸】 1． （3）比較獨(dú)特，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸 2 A B C D1 D2 D3 D4 B1 C B A C1 A1 圖 1.2.1 2． 1.2 軸對(duì)稱的性質(zhì)（1） 【實(shí)踐與探索】 例 1 已知△ABC 和△A 1B1C1 是軸對(duì)稱圖形，畫(huà)出它們的對(duì)稱軸． 解： 連接 AA1，畫(huà)出 AA1 的垂直平分線 L，直線 L 就是△ABC 和△A 1B1C1 的 對(duì)稱軸． 回顧與反思 連接軸對(duì)稱圖形的任一組對(duì)稱點(diǎn)，再畫(huà)對(duì)稱點(diǎn)所連接線段的 垂直平分線，就得該圖形的對(duì)稱軸． 例 2 如圖

3、 1.2.2，用針扎重疊的紙得到關(guān)于 L 對(duì)稱的兩個(gè)圖案，并從中找 出兩對(duì)對(duì)稱點(diǎn)、兩條對(duì)稱線段． 解：可標(biāo)注不同的對(duì)稱點(diǎn)．例如：A 與 A是對(duì)稱點(diǎn)，B 與 B是對(duì)稱點(diǎn)． 對(duì)稱線段有 AB 與 AB，CD 與 CD等． 回顧與反思 研究對(duì)稱點(diǎn)是研究對(duì)稱圖形的基礎(chǔ)，一般先研究對(duì)稱點(diǎn)，再研究 對(duì)稱線段，這能更清楚地了解軸對(duì)稱的性質(zhì)． 【訓(xùn)練與提高】 一、選擇題： 1．B 2．D 3．B 4． A 二、填空題： 5．軸對(duì)稱，3 條 6．略 7．810076 8．AB＝CD BE＝DE ∠B ＝∠D 三、解答題： 9．2，4，5 10．略 11．不是，不是 12．略 13．在對(duì)稱軸上 【拓展與延

4、伸】 1．如圖： 圖 1.2.2 3 圖1.2.３ （1） （2） 圖 1．2．4 圖 1．2．5 2．如圖： 1.2 軸對(duì)稱的性質(zhì)（2） 【實(shí)踐與探索】 例 1 畫(huà)出圖 1.2.3 中△ABC 關(guān)于直線 L 的對(duì)稱圖形． 解： 在圖 1.2.3（1）和圖 1.2.3（2）中，先分別畫(huà)出點(diǎn) A、B 、C 關(guān)于直線 L 的 對(duì)稱點(diǎn) 、 和 ，然后連接 、 、 ，則△ 就是△ABCABC1BA1C11 關(guān)于直線 L 對(duì)稱的圖形． 回顧與反思 （1）如果圖形是由直線、線段或射線組成時(shí)，那么在畫(huà)出它關(guān)于 某一條直線對(duì)稱的圖形時(shí)，只要畫(huà)出圖形中的特殊點(diǎn)

5、（如線段的端點(diǎn)、角的頂 點(diǎn)等）的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)，就可以畫(huà)出關(guān)于這條直線的對(duì)稱圖形； （2）對(duì)稱軸上的點(diǎn)（如圖 1.2.3（1）中的點(diǎn) B） ，其對(duì)稱點(diǎn)就是它本身． 例 2 問(wèn)題 1：如圖 1.2.4，在一條筆直的河兩岸各有一個(gè)居民點(diǎn) A 和 B， 為方便往來(lái)，必須在河上架橋，在河的什么位置架橋，才能使 A 和 B 兩地的居 民走的路最短？ 問(wèn)題 2：如圖 1.2.5，在一條河的同岸有兩個(gè)居民點(diǎn) A 和 B，現(xiàn)擬在岸上修 建一個(gè)碼頭，問(wèn)碼頭修在何處，才能使碼頭到 A 和 B 兩地的總長(zhǎng)最短？ 4 ① ② ③ ④ 圖1.2.4 問(wèn)題 1 和問(wèn)題 2 之間有聯(lián)系嗎？能從前一個(gè)問(wèn)題受到啟發(fā)來(lái)解

6、決這個(gè)問(wèn)題嗎？ 探索：對(duì)問(wèn)題 1，顯然只要連接 AB，AB 與 a 的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)． 對(duì)問(wèn)題 2，即要在直線 a 上找一點(diǎn) C，使 AC＋BC 最?。?分析： 我們用“翻折”———軸對(duì)稱的方法．畫(huà)點(diǎn) C： （1）作點(diǎn) A 關(guān)于直線 a 的對(duì)稱點(diǎn) A； （2）連結(jié) AB 交 a 于點(diǎn) C，點(diǎn) C 就是所求作的點(diǎn)． 理由：如圖 1.2.4，如果 C是直線 a 上異于點(diǎn) C 的任意一點(diǎn)，連 A C、B C、A C，則由于 A、A 關(guān)于直線 a 對(duì)稱，所以有 ．,? 所以 ＞ ． BC?BCAA?? 這說(shuō)明，只有 C 點(diǎn)能使 AC＋BC 最?。?【訓(xùn)練與提高】

7、 一、選擇題： 1．C 2．C 3．B 4．A 二、填空題： 5． （1）等腰三角形 （2）矩形 （3）等邊三角形 （4）正方形 （5）五角星 （6）圓 6．不對(duì)稱、不對(duì)稱 7．5 個(gè) 三、解答題： 8．略 9．略 10．畫(huà)圖略 11．如圖： 12．畫(huà)出點(diǎn) A 關(guān)于直線 L 的對(duì)稱點(diǎn) A，連結(jié) AB 與直線 L 的交點(diǎn)即為所求?？?點(diǎn)． 【拓展與延伸】 5 圖1.3.1 圖1.3.2 1．圖略 2．圖略 1.3 設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖形 【實(shí)踐與探索】 例 1 剪紙，千百年來(lái)在民間時(shí)代流傳，給我們的生活帶來(lái)無(wú)限的美麗！動(dòng)手 學(xué)一學(xué)： 觀察一

8、下，圖 1.3.1 中最后的展開(kāi)圖是一個(gè)軸對(duì)稱圖形嗎？它有幾條對(duì)稱軸？ 例 2 如圖 1.3.2，以直線 L 為對(duì)稱軸，畫(huà)出圖形的另一半． 6 圖1.4.1 圖1.4.２ 【訓(xùn)練與提高】 一、選擇題： 1．B 2．B 二、填空題： 3．M、 P、N、Q 三、解答題： 4．如圖： 5．略 6．如日本、韓國(guó) 、等 7．略 8．圖略 【拓展與延伸】 1．圖略 2．圖略，答案不唯一 1.4 線段、角的軸對(duì)稱性(1) 【實(shí)踐與探索】 例1 如圖1.4.1，在△ABC中，已知邊 AB、BC的垂直平分線相交于點(diǎn) P． (1)你知道點(diǎn)P與△ABC的三頂點(diǎn)有什么關(guān)系？

9、(2)當(dāng)你再作出AC的垂直平分線時(shí)，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 解：(1)點(diǎn)P與△ABC的三頂點(diǎn)距離相等，即PA＝PB＝PC． (2)如圖，AC 的垂直平分線也經(jīng)過(guò) P點(diǎn)．即三角形的三條中垂線交于一點(diǎn)． 例2 如圖1.4.2，在△ABC中，已知AB ＝AC，D是AB 的中點(diǎn)，且 DE⊥AB，交AC于E．已知 △BCE周長(zhǎng)為8，且AB－BC ＝2，求AB、BC 的長(zhǎng)． 7 圖1.4.３ 分析 ：由題意可知，DE垂直平分AB，則有AE ＝BE ， 因此△BCE的周長(zhǎng)就轉(zhuǎn)化為AC ＋BC，問(wèn)題即可解決． 解： 因?yàn)镈是AB 的中點(diǎn)，且 DE上AB ，所以AE＝BE， 則△BCE的周長(zhǎng)

10、＝ BE＋CE ＋BC －AE ＋CE＋BC＝AC＋BC ＝8． 又因?yàn)锳B －BC ＝2， AB ＝AC，所以AC－BC＝2. 由上可解得AC ＝5， BC＝3． 回顧與反思 (1)本題中利用“ E是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)”得到“AE＝BE”， 從而實(shí)現(xiàn)了“ 線段BE "的轉(zhuǎn)移，這是我們常用的方法； (2)利用“線段的中垂線的性質(zhì)”可以說(shuō)明兩條線段相等． 【訓(xùn)練與提高】 一、選擇題： 1．C 2．D 3．D 4．A 二、填空題： 5．無(wú)數(shù)個(gè) 6．6，2 7．10，8 cm 8．9 cm 三、解答題： 9．24 0 10．連結(jié) AB，作 AB 的中

11、垂線交直線 L 于 P，點(diǎn) P 即為所求作的點(diǎn) 11．24 cm 12．(1) 35 0 （2）55 0 【拓展與延伸】 1．圖略 （1）只要任意找一個(gè)以 A 為頂點(diǎn)的格點(diǎn)正方形，過(guò)點(diǎn) Ａ 的對(duì)角線 或其延長(zhǎng)線與 BＣ 的交點(diǎn)就是點(diǎn) Ｐ （2）找與 A 為頂點(diǎn)的正方形中與 A 相 對(duì)的頂點(diǎn)． 2． 9 cm 1.4 線段、角的軸對(duì)稱性(2) 【實(shí)踐與探索】 例1 如圖1.4.3，在△ABC中，已知∠ABC和 ∠ACB的角平分線相交于O．請(qǐng)問(wèn)： (1)你知道點(diǎn) O與△ABC 的三邊之間有什么關(guān)系嗎？ (2)當(dāng)你再作出 ∠A的平分線時(shí)，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 8 圖1.

12、4.4 解： (1)點(diǎn)O 到△ABC的三邊的距離相等； (2)如圖1.4.3， ∠A的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn) D，即三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)． 例2 已知：如圖 1.4.4， AD∥BC， DC⊥BC， AE平分∠BAD，且點(diǎn)E 是 DC的中點(diǎn) ．問(wèn)：AD、BC與AB之間有何關(guān)系？試說(shuō)明之． 分析：此題結(jié)論不確定，從已知中收集有效信息，并大膽嘗試 （包括用刻度尺測(cè)量）是探索、猜想結(jié)論的方法． (1)將“AE平分∠BAD"與“DE⊥AD"結(jié)合在一起考慮，可以聯(lián)想到， 若作EF⊥AB于F，就構(gòu)成角平分線性質(zhì)定理的基本圖形，可得AF＝AD． (2)再結(jié)合“點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)”，可得：ED＝

13、 EF＝EC．于是連接BE ，可證 BF＝BC． 這樣，AD ＋ BC ＝AF ＋ BF ＝AB． 解：AD 、BC與AB 之間關(guān)系 ：AD ＋ BC ＝AB ．證明思路簡(jiǎn)記如下 ： 作EF⊥AB，連接BE ，易證 △ADE≌△AFE( AAS)，∴AD ＝ AF． 再由EF＝ED，EF ＝EC，可得△BFE≌△BCE( HL)，∴ BF＝BC ，AD＋BC ＝AB． 回顧與反思 (1)根據(jù)例1的結(jié)論，我們可以在三角形內(nèi)找到一點(diǎn)，使它到三角 形三邊距離都相等； (2)利用角平分線的性質(zhì)，可以說(shuō)明兩條線段相等，這也是我們常用的辦法． 【訓(xùn)練與提高】 一、選擇題： 1．A 2．B 3．A

14、 4． C 二、填空題： 5．線段的垂直平分線、角平分線 6．3 7．90 0 三、解答題： 8．略 9．過(guò) P 點(diǎn)分別作垂線 10．作圖略 11．作 MN 的中垂線，∠AOB 的平分線交點(diǎn)即是 12．6 cm 9 圖1.5.1 B E D C F A 【拓展與延伸】 1．60 0 2．略 1.5 等腰三角形的軸對(duì)稱性(1) 【實(shí)踐與探索】 例1 (1)已知等腰三角形的一個(gè)角是100 0，求它的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)； (2)已知等腰三角形的一個(gè)角是80 0，求它的另外兩個(gè)角的度數(shù)． 分析： (1)由于等腰三角形兩底角相等，且三角形的內(nèi)角和為180 0，所以100 0的 角一

15、定是這個(gè)三角形的頂角； (2)等腰三角形的一個(gè)角是80 0，要分底角為80 0或頂角為80 0兩種情況． 解：(1)由于等腰三角形兩底角相等，且三角形的內(nèi)角和等于180 0，這個(gè)三角形 的頂角等于100 0，所以這個(gè)三角形的另兩個(gè)內(nèi)角應(yīng)為 (1800 － 1000)＝40 0．21 (2)①底角為80 0時(shí)，另外兩角分別為80 0和20 0；②頂角為80 0時(shí)，另外兩角分別為 500和50 0． 回顧與反思 ：(1) 當(dāng)不知道已知的角是等腰三角形的頂角還是底角，此時(shí)須進(jìn) 行討論；(2)若把已知角改為α，則這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是怎樣的 呢？ 例2 如圖1.5.1，在△ABC中，AB

16、＝AC，D為BC 的中點(diǎn)， DE⊥AB，垂足為E， DF⊥AC，垂足為F．試說(shuō)明DE＝DF的道理． 分析：本題可以根據(jù)“ 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等” 來(lái)說(shuō)明 DE＝DF．也可以利用 △ADB和△ACD面積相等來(lái)說(shuō)明DE＝DF， 或用全等來(lái)說(shuō)明． 【訓(xùn)練與提高】 一、選擇題： 1．A 2．C 3．C 4．C 5．A 10 圖 1．5．2 圖1.5.3 二、填空題： 6．5 cm 7．6 cm ，2 cm，或 4 cm，4 cm 8． （1）12.5 （2） ， 9．3，3，4 或 4，4，2 3?a120?b 三、解答題： 10． （1

17、）70 0、40 0 或 550，55 0 （2） 300，30 0 11．75 0，75 0，30 0 12．33 cm 13．108 0 14．BD ＝CE. 理由： ∵AB＝AC，∴∠B ＝∠C．∵AD＝AE ，∴∠ADE＝∠AED．∴∠ADB ＝∠AE C．∴ Δ ABD≌ Δ ACE．∴BD＝CE 【拓展與延伸】 1．100 0 2．略 1.5 等腰三角形的軸對(duì)稱性(2) 【實(shí)踐與探索】 例1 如圖1.5.2，在△ABC中，已知∠A ＝36 0，∠ C＝72 0， BD 平分∠ABC，問(wèn)圖中共有幾個(gè)等腰三角形？為什么？ 解：圖中共有3個(gè)等腰三角形． ∵∠A＝36 0，

18、∠C＝72 0， ∴∠ABC＝180 0一（∠A＋∠C）＝180 0－ (360＋ 720) ＝72 0＝∠C， ∴△ABC是等腰三角形． 又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD ＝∠CBD＝ ∠ABC＝36 0，21 ∠BDC＝∠A＋∠ABD ＝36 0＋36 0＝72 0， 即有∠A＝∠ABD ，∠BDC＝∠C． ∴△ABD和△ BCD都是等腰三角形 ． ∴圖1.5.2中共有3個(gè)等腰三角形． 例 2 如圖 1.5.3 所示，在四邊形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝ 11 900． ，M 、N分別是AC. BD的中點(diǎn)，試說(shuō)明： (1)DM＝BM

19、； (2)MN⊥BD． 解： (1) ∵點(diǎn) M是Rt△ABC 斜邊的中點(diǎn)，∴BM ＝ AC， 21 同理DM ＝ AC，∴BM ＝ BM；21 (2) ∵N 是BD的中點(diǎn)，又BM ＝DM，∴MN⊥BD． 回顧與反思 (1)“等邊對(duì)等角 ”和“等角對(duì)等邊”是證明角相等或邊相等的又一手 段，要能夠?qū)⑦@兩條定理結(jié)合在一起靈活運(yùn)用，要分清區(qū)別和聯(lián)系； (2)看見(jiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn)時(shí)，要聯(lián)想“ 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊 的一半”，這是我們常用的思維方式之一． 【訓(xùn)練與提高】 一、選擇題： 1．D 2．B 3．D 4．C 二、填空題： 5．等腰 6．8 7．35

20、 0 ， 8． （1） Δ BDE 或 Δ ADE （2） Δ BCE ?2 （3） Δ AGF 三、解答題： 9．等腰三角形 10． Δ ABC， Δ AEF， Δ EBO， Δ FCO， Δ OBC BE＝CF ＝ EF21 11．平行 12．10 cm 【拓展與延伸】 1．延長(zhǎng) AE 交 BC 延長(zhǎng)線于 F 2．略 1.5 等腰三角形的軸對(duì)稱性(3) 【實(shí)踐與探索】 12 圖 1.5.4 例1 如圖1.5.4，在△ABC中，AB ＝AC，∠BAC＝ 1200，點(diǎn)D、E在BC上，且BD ＝AD，CE ＝AE ． 判斷△ADE的形 狀，并說(shuō)明理由． 解： △ADE 是等邊三

21、角形． 理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120 ． ，∴∠B＝∠C＝30 0． ∵BD ＝AD， AE＝CE， ∴∠B＝∠BAD ＝30 0，∠C＝∠CAE ＝30 0，∴∠ADE ＝∠DAE＝∠AED＝60 0. ∴△ADE 是等邊三角形． 例2 等腰三角形的底邊長(zhǎng)為5 cm，一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分 為兩部分之差為3 cm，則腰長(zhǎng)為 ( ) A．2 cm B．8 cm C．2 cm或8 cm D． 以上都不對(duì) 分析 可以先畫(huà)出草圖，題中所給條件實(shí)質(zhì)是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)之差的絕對(duì)值為3 cm．因?yàn)榈走呴L(zhǎng)為5 cm，所以

22、腰長(zhǎng)可能為8 cm或2 cm，但由于2 cm ＋2 cm ＜5 cm，故腰長(zhǎng)不能為2 cm ，只能為8 cm ． 解： 選B． 回顧與反思 涉及求等腰三角形邊或角時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)“兩解” 的情況．這樣的“解” 需要檢驗(yàn)它是否滿足三角形的三邊或三角之間的關(guān)系． 【訓(xùn)練與提高】 一、選擇題： 1．D 2．D 3．C 4．A 5．C 二、填空題： 6．等邊、等邊 7．15 0 8．120 0 三、解答題： 9． 10、略 11． （1）EC＝BD （2）添加條件： AB＝AC ，是軸對(duì)cm10 稱圖形，此時(shí)，∠BOC＝120 0， 12．過(guò) D 點(diǎn)作 AC 平行線 【拓展與延伸】 13

23、圖1.6.1 圖1.6.2 1．添輔助線，通過(guò) Δ ACD≌ Δ BCE 來(lái)說(shuō)明 2．略 1.6 等腰梯形的軸對(duì)稱性(1) 【實(shí)踐與探索】 例1 如圖1.6.1，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB＝CD ， 點(diǎn)E在BC上，DE∥AB 且平分∠ADC，△CDE是什么三角形？ 請(qǐng)說(shuō)明理由． 解： △CDE是等邊三角形． 因?yàn)锳D ∥BC， AB＝CD，所以∠B＝∠C．理由：“等腰梯形在同一底上的兩個(gè) 角相等” 又因?yàn)锳D ∥BC，所以∠ADE＝∠CED．由DE 平分 ∠ADC，可得 ∠ADE＝∠CDE ， 于是∠CED＝∠CDE.又因?yàn)锳B

24、∥DE，所以∠B ＝∠CED，從而有 ∠C＝ ∠CED＝∠CDE， 所以△CDE是等邊三角形． 回顧與反思 等腰梯形與等腰三角形有著緊密的聯(lián)系．在研究等腰梯形時(shí)，要 聯(lián)想到等腰三角形中的知識(shí)． 例2 如圖1.6.2，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC， ∠B ＝60 0， AB ＝2，BC＝6．將紙片折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D 恰好重合，折痕為AE，求AE和CE的長(zhǎng)． 解 ∵點(diǎn)B與點(diǎn)D沿折痕AE折疊后重合， ∴△ABE ≌△ ADE ， ∴ ∠1 ＝ ∠B ＝60 0， ∠3 ＝∠4. ∵AD ∥BC， ∴∠1 ＝ ∠2＝60 0. 14 圖1.6.3 B C FA

25、 D E 而∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4＝ 1800， ∴ ∠3 ＋ ∠4 ＝120 0， ∴ ∠3 ＝∠4＝60 0， 而∠B ＝60 0，∴∠5 ＝60 0，因此，△ABE是等邊三角形． ∴AE － BE ＝AB ＝ 2， ∴CE ＝BC － BE ＝4. 回顧與反思 解題過(guò)程中要把等腰梯形和一般梯形的特征區(qū)分開(kāi)，不可誤用． 【訓(xùn)練與提高】 一、選擇題： 1．B 2．C 3．B 二、填空題： 4．108 0，108 0，72 0 5．27 6．①②③④ 7．1 cm 8．15 0 三、解答題： 9．∠A＝∠E 10．72 0 、72 0 、108 0、108 0，11．

26、成立 【拓展與延伸】 1．CE＝ （AB＋BC） 2 過(guò)點(diǎn) C 作 CF∥DB，交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，先證： Δ DCB≌ Δ FBC，則 CF＝DB，又四邊形 ABCD 是等腰梯形，則 AC＝DB，故 AC＝CF ， 易證：∠AOB ＝∠ACF，所以 Δ ACF 為等腰直角三角形． 又因?yàn)?CE⊥AB，易證：CE＝AE＝EF ＝ ．2BCA? 2．4，6 1.6 等腰梯形的軸對(duì)稱性（2） 【實(shí)踐與探索】 例 1 如圖 1.6.3，△ABC 中，∠ACB＝90 0，D 是 AB 的中點(diǎn)，DE∥AC， 且 DE＝ ，點(diǎn) F 在 AC 延長(zhǎng)線上，且 CF＝ ，請(qǐng)說(shuō)明四邊形 AFED 是A

27、C2 AC21 等腰梯形． 略證：先說(shuō)明四邊形 CFED 是平行四邊形． 由 CD∥EF ，∠F＝∠ACD，且 CD 是 RT△ABC 斜邊上的中線 15 (1) (2) (3) (4)圖1.6.4 得∠A＝∠F，證得四邊形 AFED 是等腰梯形 回顧與反思 要證明梯形是等腰梯形時(shí)，只要證明同一底上的兩個(gè)角相等． 例 2 閱讀下面的分析過(guò)程，并按要求回答問(wèn)題． 已知在四邊形 ABCD 中，AB＝CD，AC＝BD，AD≠BC.則四邊形 ABCD 是等腰 梯形．你能說(shuō)明理由嗎？ 分析：要證明四邊形 ABCD 是等腰梯形，因?yàn)?AB＝DC，所以只需證四邊形 ABCD 是梯形即可；又因?yàn)?AD≠BC，

28、故只需證 AD∥BC．現(xiàn)有如圖 1.6.4 所示 的幾種添輔助線的方法，可以任意選擇其中一種圖形，對(duì)原題進(jìn)行證明． 友情提示：充分利用全等三角形與等腰三角形來(lái)完成． 回顧與反思 在研究等腰梯形時(shí)，常常通過(guò)輔助線，使等腰梯形與等腰三角形、 平行四邊形聯(lián)系起來(lái)． 【訓(xùn)練與提高】 一、選擇題： 1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 二、填空題： 6．24 7．50 0 、50 0 、130 0、130 0， 8．是 9．80 0 、80 0 、100 0， 等腰 三、解答題： 10．略 11． Δ ABC≌ Δ DCB 12．是，理

29、由：∵∠E＝∠ACE，∴AE＝AC ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACE ∴∠E＝∠DAC ∵AD ＝BE，∴ Δ ABE≌ Δ CDA ∴ AB＝CD ∴梯形 ABCD 是等腰 梯形． 16 M NF D CB A E 13．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB ． ∵BD⊥ AC，CE⊥AB ，∴∠BEC＝∠CDB＝90 0，BC ＝BC ∴ Δ BEC≌ Δ CDB．∴BE＝CD∴AE＝AD ． ∴AED＝∠ADE＝ ．∵∠ABC＝∠ACB＝ ，2180A??2180A?? ∴∠AED＝∠ ABC.∴ED∥BC . ∵BE 與 CD 相交于點(diǎn) A，∴BE 與 CD 不平行． ∴四邊形 B

30、CDE 是梯形．∵∠EBC＝∠DCB，∴梯形 BCDE 是等腰梯形． 【拓展與延伸】 1．26，32 2．解：設(shè)經(jīng)過(guò) x 秒后梯形 MBND 是等腰梯形， ∵作 ME⊥BC 于點(diǎn) E，DF⊥BC 于點(diǎn) F． ∴BE＝FN＝AM ＝x ．∴EF＝MD＝21－x，CN＝2x，BN ＝24－2x． ∴BN＝2AM＋MD ．即 24－2x ＝2x＋21－x，∴x＝1． 第一章復(fù)習(xí)題 A 組： 1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6． 、18 或 21，22 7．35 0 、35 0 ；40 0、100 0 或 700、70 0 8．3 cm 或 7 cm 9．7，10 或 8.5，

31、8.5 10． （1）30 0， （2）19 11．100 0 12． （1）40 0， （2）35 0， （3）36 0 13．45 0 1350 等腰 14．等腰梯形 15．3 B 組： 16．略 17．略 18．27 300 19．提示：先證： Δ ADE≌ Δ ADC，則 17 DE＝DC， 所以∠DEC＝∠DCE，又 EF∥BC，所以∠DCE＝ ∠FEC，則∠FEC＝∠DEC 20． 21．略 512 22．提示：連結(jié) CR、BP，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半． 第二章 勾股定理與平方根答案 2.1 平方根⑴ 例 1 解： ⑴∵(10) 2

32、＝100，∴100 的平方根是10，即 ；10?? ⑵∵(1.3) 2＝1.69，∴1.69 的平方根是1.3，即 ；3.69.1? ⑶∵ ，( )2＝ ，∴ 的平方根是 ，即 ；49?349224 ⑷∵0 2＝0，∴ 0 的平方根是 0，即 .? 回顧與反思：⑴正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，要防止出現(xiàn) 100 的平方根 是 10 的錯(cuò)誤； ⑵當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí).應(yīng)先將它化成假分?jǐn)?shù)后再求平方根； ⑶ 0 的平方根只有一個(gè)，就是 0，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根. 例 2 解： ⑴∵－64＜0，∴ －64 沒(méi)有平方根； ⑵∵ (－4) 2＝16＞0； ∴(－4) 2 有兩個(gè)平方根，即 ；4

33、16)4(2???? ⑶∵ －5 2＝－25＜0， ∴－5 2 沒(méi)有平方根； ⑷∵ 表示 81 的正的平方根是 9，∵9＞0， ∴ 的平方根有兩個(gè)是3.81 8 回顧與反思：象(－4) 2、 這樣的數(shù)求平方根時(shí)，應(yīng)先將這些數(shù)化簡(jiǎn)，再求化簡(jiǎn)后81 的數(shù)的平方根. 例 3 解：⑴ ∵ ，∴ x 是 196 的平方根，即 ；962?x 1496??x ⑵ ∵ ，∴ ，x 是 2 的平方根，即 ；015?2 2 ⑶ ∵ ， ∴ ，??52x??365?? ∴ 是 的平方根，即 ；36?x 18 ∴ ，6231?x1 【訓(xùn)練與提高】 1. B； 2D； 3B. 4.3； 5.17；4； 6.15； ；

34、 7.－1； ； 8.9；81； 9.0. 54?49 10．⑴－8；⑵1.3；⑶ ；⑷－9；11.⑴5；⑵9；⑶ ；⑷3，－1；12.25； ?2? 13．4. 【拓展與延伸】 1. 9；2.3. 2.1 平方根⑵ 例 1 分析： 表示 10000 的_________根； 表示 的算術(shù)平方根0251? 的相反數(shù)； 表示 的__________根.8149? 解 ⑴ ；002? ⑵ ；15)(252?? ⑶ .97)(81492??? 回顧與反思： 表示 10000 的算術(shù)平方根，要防止出現(xiàn) ＝100 的錯(cuò)誤.0 10 探索：⑴發(fā)現(xiàn)： 當(dāng) 時(shí)， .?aa?2)( ⑵發(fā)現(xiàn)：當(dāng) 時(shí)， ， 當(dāng)

35、時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， .?20?a??2 02?a 即 .??? ????)0(|2aa 例 2 解： ⑴ ＝3； ⑵ ＝3； ⑶ 當(dāng) x＞0 時(shí)，2 2)(? ；x?)( ⑷當(dāng) 時(shí)， ， .0?a aa|)3(922?? 19 回顧與反思：等式 和 ，是算術(shù)平方根的兩個(gè))0(2??a????????)0(|2a 重要性質(zhì).以后經(jīng)常會(huì)用到它們. 【訓(xùn)練與提高】 1.B； 2.A； 3.B 4.D； 5.D； 6.C. 7.⑴15，15；⑵ ， ；⑶0.1，0.1；⑷127? .⑸2，2；8. ； 9. ，2；10. ；11.－1； 12.－3，互為相17,?1693?0?a9?x 反數(shù)

36、. 13.⑴ 1；⑵ ； ⑶ ；⑷0.17；⑸.5；⑹.－0.3；⑺ .⑻ . 5? 54 【拓展與延伸】 1. 5，1 ；12. 5. 2.2 立方根 例 1 分析 因?yàn)榱⒎脚c開(kāi)方互為逆運(yùn)算，因此我們可以用立方運(yùn)算來(lái)求一個(gè)數(shù)的立方根， 也可以通過(guò)立方運(yùn)算來(lái)驗(yàn)證一個(gè)數(shù)是否為另一個(gè)數(shù)的立方根. 例 1 解 ⑴∵ ，∴ ；278)3(?323? ⑵∵ ，∴ ；)(?3? ⑶、⑷、⑸略. 例 2 解 ⑴ ；34)(276410333 ?? ⑵ .5)(85333? ⑶略. 回顧與反思：⑴當(dāng)被開(kāi)方數(shù)帶“－”號(hào)時(shí)，可把“ －”提取到根號(hào)外后再計(jì)算； ⑵當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)；

37、⑶當(dāng)被開(kāi)方數(shù)沒(méi)化簡(jiǎn)時(shí)，應(yīng)先化簡(jiǎn)后再求值. 例 3 解 ⑴ ；⑵略28,,16233 ?????xx 回顧與反思：平方根與立方根的區(qū)別如下：⑴表示的意義不同；⑵ 與 中的被a3 開(kāi)方數(shù) a 的取值范圍不同， 中的 a 應(yīng)滿足 a≥0， 中的 a 可為任何數(shù)；⑶一個(gè)數(shù)3 的平方根與立方根的個(gè)數(shù)也不同，一個(gè)數(shù)的平方根最多有兩個(gè)，也可能是一個(gè)或者不存在， 而它的立方根總有且只有一個(gè)；⑷負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，但負(fù)數(shù)有立方根. 【訓(xùn)練與提高】 20 1. B； 2.C； 3.D； 4.B； 5.8，4，8； 6.－1，5， ， . 7. 100；8； 6?23 8．7，－3； 9.⑴－10； ⑵ ；⑶ ；⑷

38、；⑸ ；⑹3. ⑺0.3；⑻6. 5?7234 10.⑴ .⑵8；⑶－16；⑷－4. 11.⑴5；⑵ ；⑶－4；⑷－2.6?39 【拓展與延伸】 1. ； 2. 37.5㎝ 2.39 2.3 實(shí)數(shù)⑴ 例1 如圖將兩個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形分別沿它的對(duì)角線剪開(kāi)，得到四個(gè)等腰直角三角形， 即可拼成一個(gè)大正方形，容易知道，這個(gè)大正方形的面積是 2，所以大正方形的邊長(zhǎng)是 .2 這就是說(shuō)，邊長(zhǎng)為 1 的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)是 ，利用這個(gè)事實(shí)，我們?nèi)菀自跀?shù)軸上2 畫(huà)出表示 的點(diǎn)，如圖 2.3.2 所示.2 例 2 分析 無(wú)理數(shù)有兩個(gè)特征：一是無(wú)限小數(shù)，二是不循環(huán).因此，要判定一個(gè)數(shù)是不 是無(wú)理數(shù)，應(yīng)從它的定義去

39、判斷，而不是從表面上去判斷.如帶根號(hào)的數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)， 而我們熟悉的圓周率 就是無(wú)理數(shù).? 解 有理數(shù)有－3.1415926， ， ， .135 ?.03625 無(wú)理數(shù)有 ， ， ， 0.1010010001….?392 回顧與反思：有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的區(qū)別是：前者是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，而后者一 定是無(wú)限不循環(huán)小數(shù). 例 3 解 ⑴ 不正確.如 是無(wú)限小數(shù)，但它不是無(wú)理數(shù)； ?53. ⑵ 不正確. 如 是有理數(shù)，但它是無(wú)限小數(shù)； ?2 ⑶ 正確.因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，當(dāng)然是無(wú)限小數(shù)； ⑷ 不正確.如 是有理數(shù).4O 1 x2 圖 2.3.1 21 【訓(xùn)練與提高】 1.B； 2. C；

40、3.C. 4.實(shí)數(shù)； 5. ， ，0，252252225 ， ； 5.121121121…，257?64.3 ， ， . 6． ；7. . 2?18?32 【拓展與延伸】 1. C； 2. 8. 2.3 實(shí)數(shù)⑵ 例 1 分析 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的意義與有理數(shù)范圍內(nèi)的意義完全 相同.所以我們可以用在有理數(shù)范圍內(nèi)的同樣方法來(lái)求一個(gè)實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值. 解 ⑴ ∵ ，∴ 的相反數(shù)是 4，絕對(duì)值是 4；46433???36 的相反數(shù)是 ，∵ ＜0，∴ .??3||??? ⑵ ∵ ， ，∴ 這個(gè)數(shù)是3|?3|| 解 由圖可知， ∴ .∵ ，∴ ，∴,?aa??cb?0?bc?? ∵

41、，∴ ，0,b? ∴ caccc ?????)() 回顧與反思：⑴根據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置可以確定各數(shù)的符號(hào)以及這些數(shù)的大小關(guān)系； ⑵在求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，首先要確定這個(gè)數(shù)的符號(hào)，然后根據(jù)“正數(shù)和零的絕對(duì)值是 本身，負(fù)數(shù)和零的絕對(duì)值是它的相反數(shù)”來(lái)求出它的絕對(duì)值. ⑶每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)，但數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，數(shù)軸上的點(diǎn) 與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，即每個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反過(guò)來(lái)數(shù)軸上的每一 個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù). 例 3 解： （1）∵ ， ，又 ， ∴ .5)(2?425)(?25 （2）∵ ，∴ ， ∴5?31?31? 回顧與反思：比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)的大小，通常可以用計(jì)

42、算器求它們的近似值再進(jìn)行比較. 估算一個(gè)無(wú)理數(shù)的大小 ，還可以用與它相近的有理數(shù)逐步逼近的方法來(lái)實(shí)現(xiàn). 【訓(xùn)練與提高】 1. D ； 2.B； 3.⑴2，2；⑵ ， ；⑶－3，3；⑷ ， . 4． ＜， ＜， 1225? ＜； 5.－1，0，1； 6. ； 7.⑴2.02；⑵－10.95；⑶－0.98 ；⑷1.29； 7? 8.⑴－5；⑵－4；⑶ ；⑷－9. 9.b－2 a－2c . 10＜； ＜； ＜； ＞.5 22 【拓展與延伸】 1. 2a－b .2. 4－ . 2 2.3 近似數(shù)與有效數(shù)字 例 1 分析 生活中形形色色的數(shù)， 哪些是近似數(shù)？哪些是準(zhǔn)確數(shù)?需要我們仔細(xì)去辨別.脫 離了現(xiàn)

43、實(shí)背景的數(shù)，有時(shí)則無(wú)法區(qū)分. 解 略. 例 2 解 ⑴ 43.8 精確到十分位(即精確到 0.1)，有 3 個(gè)有效數(shù)字， 分別為 4、3、8. ⑵ 0.03086 精確到十萬(wàn)分位，有 4 個(gè)有效數(shù)字，分別為 3、0、8、6. ⑶ 2.40 萬(wàn)精確到百位，有 3 個(gè)有效數(shù)字，分別為 2、4、0. 回顧與反思：由于 2.40 萬(wàn)的單位是萬(wàn)，所以不能看成精確到百分位，另外 2.4 萬(wàn)和 2.40 萬(wàn)作為近似數(shù)，它們是不一樣的. 例 3 解 ⑴3.4802≈3.48 ； ⑵ 3.4802≈3.480； ⑶3.1415926≈3.14； ⑷ 26802≈2.710 4. 回顧

44、與反思：（1）本題⑴、⑵小題，由于精確度要求不同，同一個(gè)數(shù)的近似結(jié)果是不 一樣的，所以第⑵題中 3.480 后面的 0 不能省略不寫(xiě)；反之同一個(gè)近似結(jié)果所對(duì)應(yīng)的原數(shù) 也不一定相同，你能舉例說(shuō)明嗎? （2）第⑷小題中若把結(jié)果寫(xiě)成 27000，就看不出哪些是保留的有效數(shù)字，所以此時(shí)要 用科學(xué)計(jì)數(shù)法，把結(jié)果寫(xiě)成 2.7104. 【訓(xùn)練與提高】 1. D； 2.C； 3.A； 4.略；5. ⑴ 百分位，4 個(gè)； ⑵ 個(gè)位，2 個(gè)； ⑶ 千 分位，3 個(gè)； ⑷ 個(gè)位，5 個(gè)；⑸ 萬(wàn)分位，3 個(gè)； ⑹萬(wàn)位，3 個(gè)； ⑺ 百 分位，3 個(gè)； ⑻百萬(wàn)位，3 個(gè). 【拓展與延伸】 ⑴110 2；⑵－

45、0.54；⑶－3.6410 3；；⑷3.5. 2.4 勾股定理（1） 例 1 解：⑴在 Rt△ABC 中， ∠C＝90 ，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a＝6，c＝10， ∴b2＝ c2－a 2＝64，∴b＝8.(b＝－8 舍去) ⑵在 Rt△ABC 中， ∠C＝90，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a＝40， b＝9， ∴c2＝ a2＋b 2＝1681，∴c＝41. .(c＝－41 舍去) ⑶在 Rt△ABC 中， ∠C＝90，∴a 2＋b 2＝c 2，∵b＝15，c＝ 25， ∴a2＝ c2－b 2＝400， ，∴a＝20. .( a＝－20 舍去) ⑷在 Rt△ABC 中， ∠C＝90，∴

46、a 2＋b 2＝c 2，∵3a＝4b，∴a︰b＝4︰3， ∴設(shè) a＝ 4k，b＝3k ，則 c＝5k.∵c＝2.5，∴k＝0.5，∴a＝2， ，b＝1.5. 回顧與反思：勾股定理反映直角三角形中三邊的關(guān)系，運(yùn)用勾股定理在直角三角形的 三邊中已知任意兩邊就可以求出第三邊. 例 2 解 ①∵△ABC 中， ∠ACB＝90，AC＝BC ＝1， ∴AB＝ ，2122??BCA ②∵△ABC 中， ∠ACB＝90， BC＝1，AB＝2， ∴AC＝ 322? 回顧與反思：運(yùn)用勾股定理的前提是三角形必須是直角三角形．若已知條件中沒(méi)有直 角三角形時(shí)，應(yīng)構(gòu)造直角三角形后方可運(yùn)用勾股定理． 【訓(xùn)練與提高】

47、 1.D； 2.A； 3. 13，60； 4. 225，39， 225； 5. 5， 6.5； 7. 49； 8.13； 9. 7 23 a3 【拓展與延伸】4. 2.4 勾股定理（2） 例 1 略 例 2 解：由題意得∠AOB＝90，AO＝30，BO ＝40. (海里)504322????BOA 答：1 小時(shí)后兩艦相距 50 海里 例 3 分析 此題首先要解決△ABC 的面積，為此，可考慮作 AD⊥BC 于 D. 解 過(guò) A 作 AD⊥BC 于 D，則 AD2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2. 設(shè) BD＝x，則 CD＝14－x，∴13 2―x 2＝15 2―(14－x) 2， ∴x

48、＝5 即 BD＝ 5，∴AD 2＝144. ∴AD＝12，S △ABC＝ BCAD＝84m 2. 1 ∴費(fèi)用 8450＝4200 元. 回顧與反思：（1）勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，已知直角三角形中 任意兩邊就可以依據(jù)勾股定理求出第三邊.在實(shí)際問(wèn)題中若存在現(xiàn)成的直角三角形，就可以 直接運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題. （2）涉及面積計(jì)算往往需要添加輔助線(高) 來(lái)構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理求 得相應(yīng)的線段，進(jìn)而求出所需面積. 【訓(xùn)練與提高】 1. D． 2．D. 3．4，6 ，2. 4. 7 ，1.8 ； 5. 3㎝； 6. 略 . 【拓展與延伸】 1.圖略； 2. 圖略. 2.5

49、 神秘的數(shù)組（ 例 1 解 ⑴∵ .根據(jù)直角三角形的判定條件知，2225647cba??? 由 a、b、c 為三邊組成的三角形是直角三角形，且∠C＝90. ⑵∵ .根據(jù)直角三角形的判定條件知，由222.5..1a? a、b、c 為三邊組成的三角形是直角三角形，且∠A＝90. ⑶∵ c ＞ a， c ＞ b， ，而 ，∴164522???????? 92532???????c ，根據(jù)直角三角形的判定條件知，由 a、b、c 為三邊組成的三角形不是22b?? 直角三角形. 回顧與反思：要判定一個(gè)三角形是否為直角三角形，只要計(jì)算兩條較短邊的平方和， 以及最長(zhǎng)邊的平方，然后看它們是否相等即可. 例 2

50、解 ∵在△ ABD 中，AB 2＋ AD2＝9＋16＝25＝BD 2， ∴△ABD 是直角三角形，∠A 是直角 . ∵在 △BCD 中， BD2＋BC 2＝25＋144＝169＝CD 2， ∴△BCD 是直角三角形， ∠DBC 是直角. 24 ∴這個(gè)零件符合要求. 回顧與反思：像(3，4，5)、(6，8，10) 、(5，12，13)等滿足 a2＋b 2＝c 2 的一組正整數(shù)， 通常稱為勾股數(shù)．利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形. 例 3 解 ∵ .1412)(1( 2424222 ????????? nnnba 根據(jù)直角三角形的判定條件，得∠C＝90.2)1(cn? 【訓(xùn)練與提高】 1. B； 2.

51、B； 3.C； 4. C； 5.C ； 6. 直角三角，B； 7. 12，13，5；直角三角形； 8. 直角三角形，略 9. ∵AB⊥BC ，∴∠B ＝90，∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝5，又 ∵AC 2＋CD 2＝5＋4＝9＝AD 2.∴∠ACD＝90，∴AC ⊥CD . 10.是，略； 11.連接 AC，∵∠ADC＝90， AD＝4，CD＝3，∴AC 2＝AD 2＋CD 2＝25，∴AC＝5，∵AB＝13，BC＝12，∴AC 2＋BC 2＝ 25＋144＝169＝AB 2，∠ACB＝90，S＝30－6＝24. 【拓展與延伸】 1. 連結(jié) EC，∵D 是 BC 的中點(diǎn)，DE ⊥BC 于

52、 D，交 AB 于 E，∴BE＝CE∵BE 2－EA 2＝AC 2，∴CE 2－EA 2＝AC 2，∴ CE2＝EA 2＋AC 2∴∠A＝90.2.略 2.6 勾股定理的應(yīng)用（1） 例 1 分析 ⑴根據(jù)勾股定理，直角三角形中若兩直角邊長(zhǎng)分別為 1 個(gè)單位和 3 個(gè)單位， 則斜邊長(zhǎng)為 個(gè)單位，因此，以原點(diǎn)為圓心， 個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓與數(shù)軸的交點(diǎn)010 表示的數(shù)即分別為 .1 解：⑴如圖圖 2.6.1①； ⑵如圖圖 2.6.1② 例 2 分析：幾何應(yīng)用問(wèn)題重在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，此題若設(shè) AE＝x km，由△ DAE、△EBC 均為直角三角形，且它們的斜邊相等，運(yùn)用勾股定理可建立方程.

53、解：設(shè) AE＝x km，則 BE＝(25－x)km. ∵CE＝DE，∴CE 2＝DE 2 . 由勾股定理得 152＋x 2＝(25－x) 2＋10 2 解得 x＝10 . 答：E 站應(yīng)建在距 A 站 10km 處. 回顧與反思：（1）運(yùn)用勾股定理的前提是三角形必須是直角三角形．若已知條件中沒(méi) 有直角三角形時(shí)，應(yīng)構(gòu)造直角三角形后方可運(yùn)用勾股定理． （2）勾股定理是直角三角形中三邊數(shù)量之間的一個(gè)關(guān)系式，也常被用作列方程的等量 關(guān)系； 【訓(xùn)練與提高】 ① 0 1-1 ② 0 1-1 5 圖 2.6.1 A D E C B 圖 2.6.1 25 1. B . 2.C； 3.34； 4. 5，13； 5

54、. 24，4.8. 6. . 7. 能，略 8. 能，略； 9. 略； 2 10.10； 11. 4； 12. 25 . 【拓展與延伸】 1. 19.5m； 2. 作 AD⊥BC 于 D，設(shè) BD＝x，由題意 10―x 2＝17 2―( x＋9) 2，解得 x＝6.由 勾股定理得 AD＝8. 2.6 勾股定理的應(yīng)用⑵ 例 1 分析：設(shè) EC＝x ，則 DE＝8－x ，由于折疊長(zhǎng)方形的邊 AD，且 D 落在點(diǎn) F 處，故 △AFE 和△ADE 全等，則 EF＝8－x，AF ＝AD ＝10，在 Rt△EFC 中，運(yùn)用勾股定理得到關(guān) 于 x 的方程，可以求出 x 的值 . 解：設(shè) EC＝x cm，

55、則 DE＝(8－x)cm ， ∵D、 F 關(guān)于 AE 對(duì)稱∴△AFE ≌△ADE， ∴AF＝AD＝BC＝10，EF ＝ DE＝8－x. 在 Rt△ABF 中， 622???ABFB ∴FC＝BC－BF＝4. 在 Rt△EFC 中，由勾股定理得： ， 22)8(4xx? 解得 x＝3. 答：EC 長(zhǎng)為 3cm.. 回顧與反思：（1）折疊問(wèn)題和軸對(duì)稱密切相關(guān)，要注意翻折圖形的特征； （2）從應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題中，我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到把直角三角形中三邊關(guān)系 “a2＋b 2＝c 2”，看成一個(gè)方程，只要依據(jù)問(wèn)題的條件把它轉(zhuǎn)化為我們會(huì)解的方程，就把實(shí)際 問(wèn)題的條件轉(zhuǎn)化為解方程. 例2 分析 求證的結(jié)論

56、中出現(xiàn)平方的形式，我們?？陕?lián)想勾股定理.要運(yùn)用勾股定理，首 先要找到與結(jié)論中的線段有關(guān)的直角三角形，若題中沒(méi)有現(xiàn)成的直角三角形，則需要構(gòu)造 直角三角形. 解 作 AE⊥BC 于 E，則在△ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2； 又∵∠BAC＝90，AB＝AC，∴AE＝BE＝CE. ∵BD2＋CD 2＝(BE－DE) 2＋(CE ＋DE) 2 ＝BE 2＋CE 2＋ 2DE2 ＝2AE 2＋2DE 2＝2AD 2， ∴BD2＋CD 2＝2 AD2. 回顧與反思：（1）在三角形中若要說(shuō)明某個(gè)角是直角，常常想到勾股定理的逆定理. （2）說(shuō)明含某些線段的平方形式的問(wèn)題，常通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，

57、運(yùn)用勾股定 理來(lái)解決. 【訓(xùn)練與提高】 1. 1.5. 2．直角三角形； 2.5. 3．不一定，也可能只是 a＝b ； 4.略； 5⑴3，⑵設(shè) CD＝x，由題意 62＋x 2＝ (8－ x)2，解得 x＝ ∴CD＝ .47 【拓展與延伸】 1. 2a2； 2.略. 第二章復(fù)習(xí)題 1. 8；8；4； 5. 2． . 3．－1 ，0，1. 4.＜，＞. 5. ，?,93? 32? A F E C D B 圖 2.6.3 D A B CE 圖 2.6.4 26 . 6. 4. 7. 1，2. 8. 12. 9. 2，3. 10. . 11. . 任何實(shí)數(shù).12. ⑴32? 23?0?x . ⑵ ，

58、⑶10，24. 13. . 14. 30. 15. B． 16.C. 17.B. 18.B. 19.C. 541 20.C. 21.⑴ .⑵－3.⑶3，－1； 22.直角三角形. 23. 5㎝. 24. 43.4. 25. 1. 26. 2. 27. 2? 2010. 28. x＝6. 29. 2， . 30. 3. 31. 132. 32. ， ， ， ， . 33. 12. 74210721n? 34. ， . 35. . 36. 6(提示：設(shè) CD＝x，由勾股定理得 x2＋9 2＋x 2＋4 2＝13 2). 1062n 37. . 38. ＜，＞.327 第三章 中心對(duì)稱圖形（一）參

59、考答案 3．1 圖形的旋轉(zhuǎn) 例 1 如圖 3． 1．1，△ABC 是等邊三角形，D 是 BC 上的一點(diǎn)， △ABD 經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后 達(dá)到△ACE 的位置．⑴旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？ ⑵旋轉(zhuǎn)了多少度？ ⑶如果 M 是 AB 的中點(diǎn)， 那么經(jīng)過(guò)上述旋轉(zhuǎn)后點(diǎn) M 轉(zhuǎn)到了什么位置？ ⑷圖中相等的線段有哪些？相等的角有哪些？ 分析 解決本題只需利用旋轉(zhuǎn)的定義及其特征． 解 ⑴旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn) A； ⑵旋轉(zhuǎn)了 60； ⑶點(diǎn) M 轉(zhuǎn)到了 AC 的中點(diǎn)位置上； ⑷相等的線段有：AB=BC=AC，AD=AE，BD=CE；相等 的角有：∠B=∠BCA=∠ CAB=∠DAE=60 ， ∠BAD=∠CAE， ∠BDA=∠CEA．

60、回顧與反思：本題應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)的定義及特征，知道旋轉(zhuǎn)圖形哪些變，哪些不變．本題 的難點(diǎn)在于旋轉(zhuǎn)角度，注意圖中∠DAC 不是旋轉(zhuǎn)角度．另外，注意到對(duì)應(yīng)線段 AB、AC 所 在直線的夾角是 60（旋轉(zhuǎn)角度） ，那么對(duì)應(yīng)線段 BD、CE 所在直線的夾角呢？由此你想到 什么？ 例 2 已知，如圖 3．1．2 ，△ABC 中，∠BAC =120， ⑴以 點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心，將△BAC 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得△ ADE，畫(huà)出△ ADE； ⑵設(shè)題⑴ 中 AD、BC 交于 F，AC、DE 交于點(diǎn) G，請(qǐng)你猜 想旋轉(zhuǎn)后△ABF 能否與△ADG 重合？為什么？ 解 ⑴△ADE 如圖所示（畫(huà)法略） ； 圖 3． 1． 1

61、M E D CB A 圖 3． 1． 2 GF E D C B A 27 ⑵△ABF 能與△ADG 重合，理由如下：∵∠ BAC=120， ∠BAD=60，∴∠DAG=60=∠BAF ；又由旋轉(zhuǎn)知 ∠B=∠D，BA=DA ，∴△ ABF≌△ADG（ASA） ． 回顧與反思：觀察一下△AFC 與△ AGE 是否也具備這樣的關(guān)系？本題中△ ABF 與△ ADG 能夠重合是由∠ BAC 及旋轉(zhuǎn)角的特殊性導(dǎo)致的，如果，將△ADE 再繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋 轉(zhuǎn)過(guò) 1，則∠BAD=59，∠ DAG=61，結(jié)論就不成立． 【訓(xùn)練與提高】 1．D 2．點(diǎn) A，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45 3．⑴點(diǎn) A，⑵△AEF 是等腰直角

62、三角形，⑶略 4．⑴110 或 290，⑵180 5．以 A 為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120得△AEF，以 C 為中心順時(shí)針 旋轉(zhuǎn) 120得△ CED，以 AC 中點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn) 180得△ACE 6． 7．圖略 8．圖略，用41 SAS 證△EAC≌△BAD，再證 BD⊥EC 【拓展與延伸】 1．圖略．△A′′B′′C′′可由△ABC 繞點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn) 2∠P 得到 2．圖略 3．2 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形⑴ 例 1 如圖 3．2．1，已知△ ABC 和點(diǎn) O，試畫(huà)出△DEF，使△DEF 和△ABC 關(guān)于點(diǎn) O 成中心對(duì)稱． 解 ①連接 AO 并延長(zhǎng) AO 到 D，使 OD=OA，得到點(diǎn) A 的

63、對(duì)稱點(diǎn) D； ②同樣方法畫(huà)出點(diǎn) B、C 的對(duì)稱點(diǎn) E、F； ③順次連接 DE、EF、FD． 所以，△DEF 即為所求的三角形． 回顧與反思：畫(huà)出一個(gè)別圖形關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，關(guān)鍵 在于分別作出每一點(diǎn)關(guān)于該點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)所畫(huà)出的對(duì)應(yīng)點(diǎn)必須按順 序連接相應(yīng)的線段． 把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180，如果它能和另一個(gè)圖形重合，則這兩個(gè)圖形成中心 對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)為對(duì)稱中心．其中一個(gè)圖形上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在另一個(gè)圖形上，中心對(duì)稱 是旋轉(zhuǎn)角度為 180的特殊的旋轉(zhuǎn)，因此具有圖形旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)． 例 2 如圖 3．2．2，已知 ∠QPR 為直角，畫(huà)出△ ABC 關(guān)于 PQ 對(duì)稱的△A′B′C′，再畫(huà)出△

64、A′B′C′關(guān)于 PQ 對(duì) 稱的△A′′B′′C′′ ．觀察△ABC 和△A′′B′′C′′，你能發(fā)現(xiàn)這兩 個(gè)三角形有什么關(guān)系嗎？ 解 作圖如圖所示：△A′′B′′C′′可看作是△ABC 關(guān)于 點(diǎn) P 成中心對(duì)稱的圖形． 回顧與反思：成中心對(duì)稱與成軸對(duì)稱有什么區(qū)別和聯(lián)系？題 中改變△ABC 的形狀和位置，所得到的△A′′B′′C′′與△ABC 是 圖 3． 2． 1 E D C B A O F RP Q C’’ A’ ’ B’ ’ C’ B’ A’ C B A 圖 3． 2． 2 28 否總是成中心對(duì)稱的？為什么？ 【訓(xùn)練與提高】 1．⑴√ ⑵ ⑶√ ⑷√ 2．⑴點(diǎn) A、B 、C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

65、是 A、D 、E；⑵點(diǎn) C、A、 E 在一直線上； ⑶AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠BAC=∠DAE，∠B=∠ D，∠C=∠E． 3．略 4．略 5．略 6．略 7．略 【拓展與延伸】 1．圖略，△ABC、△A′′B′′C′′關(guān)于點(diǎn) O 成中心對(duì)稱 2．觀察，分別連結(jié)兩對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，其交點(diǎn)就是對(duì)稱中心；理由：成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形， 其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心 3．2 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形⑵ 例 1 在圖 3．2．12 的四個(gè)圖案中，哪些圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形？ 解 A 與 B 是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形，C 與 D 既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱 圖形． 回顧與反思

66、：從軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形等圖形及實(shí)例中，我們不難看出：軸對(duì)稱 圖形不一定是中心對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形不一定是軸對(duì)稱圖形．那么，如果一個(gè)圖形既 是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它將具備怎樣的特征？ 例 2 用四塊如圖 3．2．13 中 的⑴圖的瓷磚拼成一個(gè)正方形，使 拼成的圖形滿足下列要求；⑵圖是 軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；⑶ 圖是軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖 形；⑷圖是中心對(duì)稱圖形而不是軸 對(duì)稱圖形．請(qǐng)你按要求涂上陰影． 解 如上圖涂好，特別要當(dāng)心⑷圖是中心對(duì)稱圖形而不是軸對(duì)稱圖形，要熟悉常見(jiàn)的 中心對(duì)稱圖形而非軸對(duì)稱圖形，如平行四邊形、X 形（或 Z 形） ，這樣可給我們解題 帶來(lái)很多方便． 例 3 如圖 3．2．14，BD、AC 交于 O，且 BO=DO，∠B=∠D，AE ⊥BO 于 E，CF⊥DO 于 F，試說(shuō)明圖 3．2．14 是中心對(duì)稱圖形的理由． 圖 3． 2． 12 D