（新課標）2020版高考數學二輪復習 專題三 立體幾何 第2講 空間點、線、面的位置關系練習 理 新人教A版

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1、第2講　空間點、線、面的位置關系 一、選擇題 1．(2019·合肥市第一次質量檢測)平面α外有兩條直線a，b，它們在平面α內的投影分別是直線m，n，則下列命題正確的是(　　) A．若a⊥b，則m⊥n B．若m⊥n，則a⊥b C．若m∥n，則a∥b D．若m與n相交，則a與b相交或異面 解析：選D．對于選項A，當直線a，b相交，且所在平面與平面α垂直時，直線m，n重合，故A不正確；對于選項B，不妨在正方體ABCD-A1B1C1D1中考慮，取面對角線AB1，AD1，其所在直線分別記為a，b，其在平面ABCD上的投影分別為AB，AD，記為m，n，此時m⊥n，但a與b不垂直，故B不正

2、確；對于選項C，不妨在正方體ABCD-A1B1C1D1中考慮，取面對角線AB1，CD1，其所在直線分別記為a，b，其在平面ABCD上的投影分別為AB，CD，記為m，n，此時m∥n，但a與b不平行，故C不正確；對于選項D，若m與n相交，則a與b不可能平行，只能是相交或異面，故D正確，選D． 2．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)已知直線m，n，平面α，β，命題p：若α∥β，m∥α，則m∥β；命題q：若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n.下列是真命題的是(　　) A．p∧q　　　　　　　　　 B．p∨(﹁q) C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧q 解析：選D．對于命題p，若α∥β，m∥α，

3、則還需m?β才能推出m∥β，所以命題p為假命題，命題﹁p為真命題；對于命題q，若m∥α，m∥β，α∩β＝n，由線面平行的性質可推出m∥n，所以命題q為真命題，命題﹁q為假命題，所以(﹁p)∧q為真命題，故選D． 3.如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE 解析：選C．因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是

4、AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選C． 4．(2019·長春市質量監(jiān)測(一))在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為(　　) A．1 B． C． D． 解析：選D．由題意畫出圖形如圖所示，取AD1的中點為O，連接OC1，OA1，易知OA1⊥平面ABC1D1，所以∠A1C1O是直線A1C1與平面ABC1D1所成的角，在Rt△OA1C1中，A1C1＝2OA1，所以sin∠A1C1O＝＝.故選D． 5．(2019·江西省五校協(xié)作體試題)如圖，圓錐的底面

5、直徑AB＝4，高OC＝2，D為底面圓周上的一點，且∠AOD＝，則直線AD與BC所成的角為(　　) A． B． C． D． 解析：選B．如圖，過點O作OE⊥AB交底面圓于E，分別以OE，OB，OC所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，因為∠AOD＝π，所以∠BOD＝，則D(，1，0)，A(0，－2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，＝(，3，0)，＝(0，－2，2)，所以cos〈，〉＝＝－，則直線AD與BC所成的角為，故選B． 6.如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，將△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置為D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在

6、四面體D1ABC的四個面中，有n對平面相互垂直，則n等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選B．如圖，設D1在平面ABC上的射影為E，連接D1E，則D1E⊥平面ABC， 因為D1E?平面ABD1， 所以平面ABD1⊥平面ABC. 因為D1E⊥平面ABC，BC?平面ABC， 所以D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E， 所以BC⊥平面ABD1， 又BC?平面BCD1， 所以平面BCD1⊥平面ABD1， 因為BC⊥平面ABD1，AD1?平面ABD1， 所以BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C， 所以AD1⊥平面BCD1，又AD1

7、?平面ACD1， 所以平面ACD1⊥平面BCD1. 所以共有3對平面互相垂直．故選B． 二、填空題 7．(2019·沈陽市質量監(jiān)測(一))如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下面結論中正確的是________．(寫出所有正確結論的序號) ①BD∥平面CB1D1； ②AC1⊥平面CB1D1； ③異面直線AC與A1B成60°角； ④AC1與底面ABCD所成角的正切值是. 解析：對于①，BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，①正確；對于②，因為AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1，連接A1C1，又A1C1

8、⊥B1D1，所以B1D1⊥平面AA1C1，所以B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，所以AC1⊥平面CB1D1，②正確；對于③，易知AC∥A1C1，異面直線AC與A1B所成角為∠BA1C1，連接BC1，又△A1C1B為等邊三角形，所以∠BA1C1＝60°，異面直線AC與A1B成60°角，③正確；對于④，AC1與底面ABCD所成角的正切值是＝＝≠，故④不正確．故正確的結論為①②③. 答案：①②③ 8．(2019·武漢市調研測試)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A關于平面BDC1的對稱點為M，則M到平面A1B1C1D1的距離為________． 解析：法一：建立如圖所示的空

9、間直角坐標系，正方體的棱長為1，在正方體ABCD-A1B1C1D1下面補一個棱長為1的正方體ABCD-A2B2C2D2，連接A2C2，B2D2，AC2，設B2D2∩A2C2＝E，連接CE交AC2于M(即A關于平面BDC1的對稱點)，易得M，所以點M到平面A1B1C1D1的距離為1－＝. 法二：依題意，點M在平面ACC1A1上，建立如圖所示的平面直角坐標系，由已知得A，C1，直線OC1的方程為y＝x，其斜率為， 因為點A關于直線OC1的對稱點為M，設M(a，b)， 所以，解得， 所以點M到直線A1C1的距離為1－＝， 所以點A關于平面BDC1的對稱點M到平面A1B1C1D1的距

10、離為. 答案： 9．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2.過點A1作平面α與AB，AD分別交于M，N兩點，若AA1與平面α所成的角為45°，則截面A1MN面積的最小值是________． 解析：如圖，過點A作AE⊥MN，連接A1E，因為A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥MN，所以MN⊥平面A1AE，所以A1E⊥MN，平面A1AE⊥平面A1MN，所以∠AA1E為AA1與平面A1MN所成的角，所以∠AA1E＝45°，在Rt△A1AE中，因為AA1＝2，所以AE＝2，A1E＝2，在Rt△MAN中，由射影定理得ME·EN＝AE2＝4，由基本不等式得MN＝ME＋EN≥2

11、＝4，當且僅當ME＝EN，即E為MN的中點時等號成立，所以截面A1MN面積的最小值為×4×2＝4. 答案：4 三、解答題 10.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD、BD上，且EF⊥AD. 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 證明：(1)在平面ABD內，因為AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB. 又因為EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因為平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， BC?平面BCD且BC⊥BD，所以BC

12、⊥平面ABD. 因為AD?平面ABD，所以BC⊥AD. 又因為AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因為AC?平面ABC，所以AD⊥AC. 11.如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F為CD的中點． 求證：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE. 證明：(1)如圖，取CE的中點G，連接FG，BG. 因為F為CD的中點， 所以GF∥DE且GF＝DE. 因為AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE， 所以GF∥AB. 又因為AB＝

13、DE，所以GF＝AB. 所以四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG. 因為AF?平面BCE，BG?平面BCE， 所以AF∥平面BCE. (2)因為△ACD為等邊三角形，F為CD的中點， 所以AF⊥CD. 因為DE⊥平面ACD，AF?平面ACD， 所以DE⊥AF. 又CD∩DE＝D， 所以AF⊥平面CDE. 因為BG∥AF，所以BG⊥平面CDE. 又因為BG?平面BCE， 所以平面BCE⊥平面CDE. 12．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如

14、圖2所示的幾何體． (1)求證：AB⊥平面ADC； (2)若AD＝1，AC與其在平面ABD內的正投影所成角的正切值為，求點B到平面ADE的距離． 解：(1)證明：因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， 又DC⊥BD，DC?平面BCD， 所以DC⊥平面ABD. 因為AB?平面ABD， 所以DC⊥AB. 又因為折疊前后均有AD⊥AB， 且DC∩AD＝D， 所以AB⊥平面ADC. (2)由(1)知DC⊥平面ABD， 所以AC在平面ABD內的正投影為AD， 即∠CAD為AC與其在平面ABD內的正投影所成的角． 依題意知tan ∠CAD＝＝， 因為AD＝1，所以DC＝. 設AB＝x(x＞0)，則BD＝， 易知△ABD∽△DCB，所以＝， 即＝，解得x＝， 故AB＝，BD＝，BC＝3. 由于AB⊥平面ADC， 所以AB⊥AC，又E為BC的中點，所以由平面幾何知識得AE＝＝， 同理DE＝＝， 所以S△ADE＝×1× ＝. 因為DC⊥平面ABD，所以VA-BCD＝CD·S△ABD＝. 設點B到平面ADE的距離為d， 則d·S△ADE＝VB-ADE＝VA-BDE＝VA-BCD＝， 所以d＝，即點B到平面ADE的距離為. - 8 -