2020春人教版八年級數(shù)學(xué)下冊-第十六章二次根式 知識清單

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1、第十六章 二次根式思維導(dǎo)圖【二次根式】(1)二次根式的概念 一般地,我們把形如(a0)的式子叫做二次根式.其中“”稱為二次根號,“a”稱為被開方數(shù).(2)二次根式概念的理解 “2”中一般把根指數(shù)2省略,寫作“”,但不要誤認(rèn)為根指數(shù)是1或沒有. 二次根式中的a可以是數(shù),也可以是單項式、多項式、分式等。 a0是為二次根式的前提條件,如， (xy)是二次根式，而， (負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根)不是二次根式。 形如b (a0)的式子都是二次根式，如5是二次根式.【二次根式有意義的條件】(1)對于二次根式來說,被開方數(shù)a必須是一個非負(fù)數(shù),即a0,當(dāng)a是一個代數(shù)式時，可根據(jù)二次根式的概念來確定a中字母的取值范圍

2、，如是一個二次根式，則2-x0，x2.(2)如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是使各個二次根式中的被開方數(shù)都必須為非負(fù)數(shù)。例如:要使 +有意義,則x-10且3-x0, 1x3如果所給的式子中含有分母,那么式子有意義的條件是除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外,還必須保證分母不能為零。典例1 (中考)二次根式中,x的取值范圍為 。解析: 二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于或等于0.則x-30,解得x3答案: x3典例2 (中考)使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是 。解析: 若要使代數(shù)式有意義,則x需要滿足2x-10且3-x0,解得x且x3答案: x且x3【二次根式的性質(zhì)】名稱數(shù)學(xué)描述文字描述

3、舉例說明(a0)的性質(zhì)0 (a0)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)若+=0，則a=0，b=0；若+|b|=0，則a=0，b=0；若+b2=0，則a=0，b=0；()2(a0)的性質(zhì)()2=a(a0)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身()2=5，()2=4，()2=m2+1的性質(zhì)=a=一個數(shù)的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值=3-=-3點撥：()2(a0)既可正向應(yīng)用,也可逆向應(yīng)用,如()2=5,反過來5=()2.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式或有關(guān)化簡求值中應(yīng)用此式較多,例如:分解因式a2-5=a2-()2=(a+)(a-)。典例 (中考)若實數(shù)x,y滿足|x-4|+=0,則以x，y的值為邊長的等腰三角形的周長為

4、 。解析：由絕對值和二次根式的非負(fù)性可得x-4=0，y-8=0，所以，x=4，y=8,以x，y的值為邊長的等腰三角形的周長為8+8+4=20.答案：20【與()2的區(qū)別與聯(lián)系】表達(dá)式()2區(qū)別取值范圍不同a為全體實數(shù)a0運算順序不同 先平方后開方()2先開方后平方運算結(jié)果不同=a=()2=a(a0)聯(lián)系與()2均為非負(fù)數(shù)，且當(dāng)a0時，=()2【代數(shù)式】 用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子稱為代數(shù)式。例如3，x，x+y，( x0)，-ab，(t0)，x3都是代數(shù)式。提醒 (1)單獨一個數(shù)或字母也是代數(shù)式。 (2)代數(shù)式中不能含有“”“”0)

5、二次根式相除,把被開方數(shù)相除,根指數(shù)不變。點撥 (1)a必須是非負(fù)數(shù),b必須是正數(shù),式子才成立若a,b都是負(fù)數(shù)雖然0，有意義，但，在實數(shù)范圍內(nèi)無意義；若b=0,則無意義(2)如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將其化成假分?jǐn)?shù)，如必須化成，以免出現(xiàn)=這樣的錯誤。(2)二次根式的除法法則的逆用 把 = 反過來，就得到：=(a0,b0) 商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根除以除數(shù)的算術(shù)平方根。點撥 (1)利用此公式時要注意公式成立的限制條件:a0，b0。 (2)利用此公式可以進行二次根式的化簡、計算，可以化去根號內(nèi)的分母?！咀詈喍胃健?1)最簡二次根式的概念 被開方數(shù)不含分母 被開方數(shù)中不含能開得盡方的

6、因數(shù)或因式 把滿足上述兩個條件的二次根式,叫做最簡二次根式 在二次根式的運算中,一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式,并且分母中不含二次根式。(2)最簡二次根式概念的理解 被開方數(shù)中不含分母,也就是被開方數(shù)必須是整數(shù)或整式 被開方數(shù)中每一個因數(shù)或因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2,即每個因數(shù)或因式的指數(shù)都是1。典例 (中考)下列式子中,屬于最簡二次根式的是( )A. B. C. D. 解析：=3，=2，= ，A，C，D項都不是最簡二次根式。答案：B【二次根式的加減】 二次根式加減時,可以先將二次根式化成最簡二次根式,再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。 二次根式的加減法與整式的加減法類似,步驟如下: (1)

7、化成最簡二次根式; (2)找出被開方數(shù)相同的二次根式 (3)合并被開方數(shù)相同的二次根式將系數(shù)相加減仍作為系數(shù)根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。點撥 二次根式的加減與整式的加減相比,可將被開方數(shù)相同的二次根式看作整式加減中的同類項進行合并。另外，有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律，乘法對加法的分配律，以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算。典例1 (中考)下列各式中,正確的是 ( )A. += B.2+=2 C.3-=3 D. -=解析：與不能合并，A錯誤；2和為不同的被開方數(shù)，不能直接相加，B錯誤；3-=23，C錯誤；-=- = ，D正確。答案：D。典例2 (中考)計算-的結(jié)果是 。

8、解析：原式= -= = 答案：【二次根式的混合運算】 (1)二次根式的混合運算包括二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方運算。 (2)二次根式的混合運算實質(zhì)上就是實數(shù)的混合運算和無理數(shù)的混合運算.因此:運算順序與有理數(shù)的運算順序相同;運算律仍然適用;與多項式的乘法和因式分解類似,可以利用乘法公式與因式分解的方法來簡化二次根式的有關(guān)運算;對于分母含有二次根式的代數(shù)式,要掌握有理化的方法,化分母為整式,如：= = ， = = 提醒 在進行二次根式的計算時，能用乘法公式的要盡量使用乘法公式，有時還需要靈活運用公式和逆用公式，這樣可以使計算過程大大簡化。 典例1 （中考）計算：-+解：原式=-+2 =-+2 =4+ .典例2 （中考）計算：(2-)2019(2+)2020-2|- |-(-)0解：原式=2019(2+)-1 =2+-1 =1 . 7 / 7