2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練17 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 新人教A版選修2-3

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1、課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十七) 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 (時(shí)間45分鐘) 題型對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間20分鐘) 題組一　求線性回歸方程 1．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程為＝x＋.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是(　　) A.>b′，>a′ B.>b′，a′ D.，a′＝－2<. [答案]

2、　C 2．對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(2)，由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(　　) A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) [解析]　夾在帶狀區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，總體呈上升趨勢(shì)的屬于正相關(guān)，總體呈下降趨勢(shì)的屬于負(fù)相關(guān)．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)，故選C. [答案]　C 3．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)

3、行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià)x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程＝x＋，其中＝－20，＝－； (2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)＝銷售收入－成本) [解]　(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80. 所以＝－＝80＋20×8.5＝250，從而回歸直線方程為＝－20x＋250. (2)設(shè)工廠獲得的利

4、潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－202＋361.25. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時(shí)，L取得最大值． 故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)． 題組二　線性回歸分析 4．對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是(　　) [解析]　用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高． [答案]　A 5．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說明殘差平方和(　　) A．越大

5、 B．越小 C．可能大也可能小 D．以上均錯(cuò) [解析]　因?yàn)镽2＝1－，所以當(dāng)R2越大時(shí)，(yi－i)2越小，即殘差平方和越?。? [答案]　B 6．通過下面的殘差圖，我們發(fā)現(xiàn)在采集樣本點(diǎn)的過程中，樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確的為(　　) A．第四個(gè) B．第五個(gè) C．第六個(gè) D．第七個(gè) [解析]　由題圖可知第六個(gè)數(shù)據(jù)的偏差最大，故選C. [答案]　C 7．在一段時(shí)間內(nèi)，某淘寶網(wǎng)店一種商品的銷售價(jià)格x元和日銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)為： 價(jià)格x元 22 20 18 16 14 日銷售量y件 37 41 43 50 56 求出y關(guān)于x的回歸方程，并說明該方

6、程擬合效果的好壞． 參考數(shù)據(jù)：xiyi＝3992，x＝1660. [解]　作出散點(diǎn)圖(此處略)，觀察散點(diǎn)圖，可知這些點(diǎn)散布在一條直線的附近，故可用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)． 因?yàn)椋剑?8， ＝＝45.4. 所以＝＝－2.35， ＝45.4－(－2.35)×18＝87.7. 所以回歸方程為＝－2.35x＋87.7. yi－i與yi－的值如下表： yi－i 1 0.3 －2.4 －0.1 1.2 yi－ －8.4 －4.4 －2.4 4.6 10.6 計(jì)算得(yi－i)2＝8.3， (yi－)2＝229.2， 所以R2＝1－≈0.964. 因?yàn)?.96

7、4很接近于1，所以該模型的擬合效果比較好． 題組三　非線性回歸分析 8．若一函數(shù)模型為y＝sin2α＋2sinα＋1，為將y轉(zhuǎn)化為t的回歸直線方程，則需做變換t＝(　　) A．sin2α B．(sinα＋1)2 C.2 D．以上都不對(duì) [解析]　因?yàn)閥是關(guān)于t的回歸直線方程，實(shí)際上就是y是關(guān)于t的一次函數(shù)，又因?yàn)閥＝(sinα＋1)2，若令t＝(sinα＋1)2，則可得y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝t，此時(shí)變量y與變量t是線性相關(guān)關(guān)系．故選B. [答案]　B 9．在彩色顯影中，由經(jīng)驗(yàn)可知：形成染料光學(xué)密度y與析出銀的光學(xué)密度x由公式y(tǒng)＝Ae (b<0)表示．現(xiàn)測(cè)得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：

8、 xi 0.05 0.06 0.25 0.31 0.07 0.10 yi 0.10 0.14 1.00 1.12 0.23 0.37 xi 0.38 0.43 0.14 0.20 0.47 yi 1.19 1.25 0.59 0.79 1.29 試求y對(duì)x的回歸方程． [解]　由題意知，對(duì)于給定的公式y(tǒng)＝Ae(b<0)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lny＝lnA＋，與線性回歸方程相對(duì)照可以看出，只要取u＝，v＝lny，a＝lnA，就有v＝a＋bu. 這是v對(duì)u的線性回歸直線方程，對(duì)此我們?cè)偬子孟嚓P(guān)性檢驗(yàn)，求回歸系數(shù)b和a.題目中所給的數(shù)據(jù)由

9、變量置換u＝，v＝lny，變?yōu)槿缦卤硭镜臄?shù)據(jù). ui 20.000 16.667 4.000 3.226 14.286 10.000 vi －2.303 －1.966 0 0.113 －1.470 －0.994 ui 2.632 2.326 7.143 5.000 2.128 vi 0.174 0.223 －0.528 －0.236 0.255 可求得b≈－0.146，a≈0.548， ∴＝0.548－0.146u. 綜合提升練(時(shí)間25分鐘) 一、選擇題 1．如圖所示是四個(gè)殘差圖，其中回歸模型的擬合效果最好的是(　　

10、) [解析]　選項(xiàng)A與B中的殘差圖都是水平帶狀分布，并且選項(xiàng)B的殘差圖散點(diǎn)分布集中，在更狹窄的范圍內(nèi)，所以B中回歸模型的擬合效果最好，選B. [答案]　B 2．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 廣告費(fèi)用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 [解析]　樣本點(diǎn)的中心是(3.5,42)，則＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回歸直線方程是＝9.4x

11、＋9.1，把x＝6代入得＝65.5. [答案]　B 3．某飲料店的日銷售收入y(單位：百元)與當(dāng)天平均氣溫x(單位：度)之間有下列數(shù)據(jù)： x －2 －1 0 1 2 y 5 4 2 2 1 甲、乙、丙三位同學(xué)對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，分別得到了x與y之間的三個(gè)線性回歸方程：①＝－x＋2.8，②＝－x＋3，③＝－1.2x＋2.6；其中正確的是(　　) A．① B．② C．③ D．①③ [解析]　回歸方程＝x＋表示的直線必過點(diǎn)(，)，即必過點(diǎn)(0,2.8)，而給出的三個(gè)線性回歸方程中，只有①表示的直線過點(diǎn)(0,2.8)，故正確的是①，故選A. [答案]　A

12、二、填空題 4．在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí)，若求得相關(guān)指數(shù)R2≈0.85，則表明氣溫解釋了________的熱茶銷售杯數(shù)變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的________，所以氣溫對(duì)熱茶銷售杯數(shù)的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多． [解析]　由相關(guān)指數(shù)R2的意義可知，R2≈0.85表明氣溫解釋了85%，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的15%. [答案]　85%　15% 5．某種商品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有如下關(guān)系：(單位：萬元) x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋17.5，當(dāng)廣告費(fèi)支出5萬元時(shí)，殘差為______

13、__． [解析]　當(dāng)廣告費(fèi)x＝5時(shí)，＝6.5×5＋17.5＝50，殘差為60－50＝10. [答案]　10 三、解答題 6．在一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數(shù)據(jù)為： 價(jià)格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y 12 10 7 5 3 (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)求出y對(duì)x的線性回歸方程； (3)如果價(jià)格定為1.9萬元，預(yù)測(cè)需求量大約是多少． [解]　(1)散點(diǎn)圖如圖所示． (2)采用列表的方法計(jì)算與. ＝×9＝1.8， ＝×37＝7.4， ＝＝＝－11.5， ＝－ ＝7.4＋11.5×1.8＝28

14、.1， 所以y對(duì)x的線性回歸方程為＝＋x＝28.1－11.5x. (3)當(dāng)x＝1.9時(shí)，＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)， 所以價(jià)格定為1.9萬元時(shí)，需求量大約是6.25 t. 7．已知某種商品的價(jià)格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求y對(duì)x的回歸直線方程，并說明回歸模型擬合效果的好壞． [解]　＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， x＝142＋162＋182＋202＋222＝1660， y＝122＋102＋72＋52＋32＝327， xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， 所以＝＝＝－1.15， ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回歸直線方程是＝－1.15x＋28.1. 列出殘差表： yi－i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以(yi－i)2＝0.3， (yi－)2＝53.2， R2＝1－≈0.994， 所以回歸模型的擬合效果很好． 10