《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 新人教A版選修4-5》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 新人教A版選修4-5(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、一 數(shù)學(xué)歸納法,學(xué)生用書P56)A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1數(shù)學(xué)歸納法證明中,在驗(yàn)證了n1時(shí)命題正確,假定nk時(shí)命題正確,此時(shí)k的取值范圍是()AkNBk1,kNCk1,kN Dk2,kN解析:選C.數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法,所以k是正整數(shù),又第一步是遞推的基礎(chǔ),所以k大于等于1.2設(shè)f(n)1(nN),則f(n1)f(n)等于()A BC D解析:選D.因?yàn)閒(n)1,所以f(n1)1,所以f(n1)f(n).3用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xnyn能被xy整除”,第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成()A假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí),xnyn能被xy整除B假設(shè)當(dāng)n2k(kN)時(shí),xnyn能被xy整除C假
2、設(shè)當(dāng)n2k1(kN)時(shí),xnyn能被xy整除D假設(shè)當(dāng)n2k1(kN)時(shí),xnyn能被xy整除答案:D4用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN)”時(shí),從nk到nk1,等式左邊需要增乘的代數(shù)式是()A2k1 BC2(2k1) D解析:選C.當(dāng)nk時(shí),等式左邊為(k1)(k2)(kk);當(dāng)nk1時(shí),等式左邊為(k2)(k3)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk),即增乘了2(2k1)5在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1232n2n2n(nN*)的第(ii)步中,假設(shè)nk時(shí)原等式成立,那么在nk1時(shí)需要證明的等式為()A1232k2(k1)
3、2k2k2(k1)2(k1)B1232k2(k1)2(k1)2(k1)C1232k2k12(k1)2k2k2(k1)2(k1)D1232k2k12(k1)2(k1)2(k1)解析:選D.因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法證明等式1232n2n2n時(shí),當(dāng)n1時(shí)左邊所得的項(xiàng)是12;假設(shè)nk時(shí),命題成立,1232k2k2k,則當(dāng)nk1時(shí),左端為1232k2k12(k1),所以1232k2k12(k1)2(k1)2(k1)故選D.6用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),設(shè)f(k)1427k(3k1)k(k1)2,則f(k1)_解析:f(k1)1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2.答案:(k1)(k2)27用數(shù)學(xué)歸納法
4、證明“12222n12n1(nN)”的過(guò)程中,第二步假設(shè)nk時(shí)等式成立,則當(dāng)nk1時(shí)應(yīng)得到_解析:因?yàn)閚k時(shí),命題為“12222k12k1”,所以nk1時(shí),為使用歸納假設(shè),應(yīng)寫成12222k12k2k11.答案:12222k12k2k118已知平面上有n(nN,n3)個(gè)點(diǎn),其中任何三點(diǎn)都不共線,過(guò)這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)作直線,設(shè)這樣的直線共有f(n)條,則f(3)_,f(4)_,f(5)_,f(n1)f(n)_解析:當(dāng)nk時(shí),有f(k)條直線當(dāng)nk1時(shí),增加的第k1個(gè)點(diǎn)與原k個(gè)點(diǎn)共連成k條直線,即增加k條直線,所以f(k1)f(k)k.又f(2)1,所以f(3)3,f(4)6,f(5)10,f(n1
5、)f(n)n.答案:3610n9用數(shù)學(xué)歸納法證明:123234n(n1)(n2)(nN)證明:(1)當(dāng)n1時(shí),左邊1236,右邊6,等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN)時(shí)等式成立,即123234k(k1)(k2),那么當(dāng)nk1時(shí),123234k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k4)即當(dāng)nk1時(shí)等式成立綜合上述(1)(2)得,對(duì)一切正整數(shù)n,等式都成立10證明:凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)為f(n)n(n3)(n4,nN)證明:(1)當(dāng)n4時(shí),四邊形有兩條對(duì)角線,f(4)4(43)2,命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k4,nN)時(shí)命題成立,即f(k
6、)k(k3),那么,當(dāng)nk1時(shí),增加一個(gè)頂點(diǎn),凸多邊形的對(duì)角線增加k1條,則f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3,即當(dāng)nk1時(shí)命題也成立根據(jù)(1)(2),可知命題對(duì)任意的n4,nN都成立B能力提升1已知f(n)(2n7)3n9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意nN,都能使m整除f(n),則最大的m的值為()A30 B26C36 D6解析:選C.因?yàn)閒(1)36,f(2)108336,f(3)3601036,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除證明如下:n1,2時(shí),由上得證,設(shè)nk(k2,kN)時(shí),f(k)(2k7)3k9能被36整除,
7、則f(k1)f(k)(2k9)3k1(2k7)3k(6k27)3k(2k7)3k(4k20)3k36(k5)3k2,故f(k1)能被36整除因?yàn)閒(1)不能被大于36的數(shù)整除,所以所求最大的m值等于36.2用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時(shí),由nk的假設(shè)到證明nk1時(shí),等式左邊應(yīng)添加的式子是_解析:nk時(shí)等式為1222(k1)2k2(k1)22212,nk1時(shí)等式為1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212.所以nk1時(shí)等式左邊比nk時(shí)等式左邊增加了k2(k1)2.答案:k2(k1)2(或2k22k1)3已知數(shù)列an滿足a10,a21,當(dāng)nN時(shí),an2an1
8、an,求證:數(shù)列an的第4m1項(xiàng)(mN)能被3整除證明:(1)當(dāng)m1時(shí),a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即當(dāng)m1時(shí),第4m1項(xiàng)能被3整除(2)假設(shè)當(dāng)mk(k1,kN)時(shí),a4k1能被3整除,則當(dāng)mk1時(shí),a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.顯然,3a4k2能被3整除,又由假設(shè)知a4k1能被3整除所以3a4k22a4k1能被3整除即當(dāng)mk1時(shí),a4(k1)1也能被3整除由(1)和(2)知,對(duì)于nN,數(shù)列an中的第4m1項(xiàng)能被3整除4求證:tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan nn(n2,nN)證明:(1)當(dāng)n2時(shí),左邊tan tan 2,右邊222tan tan 2,等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2,kN)時(shí)等式成立,即有:tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan kk.當(dāng)nk1時(shí),tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)ktan ktan(k1)k1tan(k1)tan ktan(k1)tan k(k1)所以當(dāng)nk1時(shí),等式也成立6