（新課程）高中數(shù)學(xué)《第二章 推理與證明》質(zhì)量評估 新人教A版選修2-2

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1、章末質(zhì)量評估(二) (時間：100分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選 項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列說法中正確的是(　　)． A．合情推理就是正確的推理 B．合情推理就是歸納推理 C．歸納推理是從一般到特殊的推理過程 D．類比推理是從特殊到特殊的推理過程 答案　D 2．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，則當(dāng)n＝2時，f(n)是(　　)． A．1＋ 　　 B. C．1＋＋＋＋ 　　 D．非以上答案 解析　∵f(n)＝1＋＋＋…＋，分子是1，分母為1,2,3，…，2n＋1，故當(dāng)n＝2時，f(

2、2)＝1＋＋…＋＝1＋＋＋＋. 答案　C 3．凡自然數(shù)是整數(shù)，4是自然數(shù)，所以4是整數(shù)．以上三段論推理(　　)． A．正確 　　 B．推理形式不正確 C．兩個“自然數(shù)”概念不一致 　　 D．“兩個整數(shù)”概念不一致 解析　三段論中的大前提，小前提及推理形式都是正確的． 答案　A 4．用反證法證明命題“如果a>b，那么>”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是(　　)． A.＝ B.< C.＝，且< D.＝或< 答案　D 5．下面幾種推理是合情推理的是(　　)． ①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)； ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°歸納出所有三角形的內(nèi)角和都

3、是180°； ③某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學(xué)成績都是100分； ④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n－2)·180°. A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④ 解析?、偈穷惐龋冖苁菤w納推理． 答案　C 6．已知命題1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其證明： (1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，所以等式成立； (2)假設(shè)n＝k時等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，則當(dāng)n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1時等式也

4、成立． 由(1)(2)知，對任意的正整數(shù)n等式都成立． 判斷以上評述(　　)． A．命題、推理都正確 B．命題正確、推理不正確 C．命題不正確、推理正確 D．命題、推理都不正確 解析　推理不正確，錯在證明n＝k＋1時，沒用假設(shè)n＝k的結(jié)論，命題由等比數(shù)列求和公式知正確，故選B. 答案　B 7．黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案： 則第n個圖案中的白色地面磚有(　　)． A．4n－2塊 B．4n＋2塊 C．3n＋3塊 D．3n－3塊 解析　法一　第1個圖案中有6塊白色地面磚，第二個圖案中有10塊，第三個圖案中有14塊，歸納為：第n個圖

5、案中有4n＋2塊． 法二　驗n＝1時，A、D選項不為6，排除．驗n＝2時，C選項不為10，排除．故選B. 答案　B 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1時，為了使用假設(shè)，應(yīng)將5k＋1－2k＋1變形為(　　)． A．(5k－2k)＋4×5k－2k B．5(5k－2k)＋3×2k C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k 解析　5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k. 答案　B 9．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)

6、，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?　　)． ①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角相等；②各個面是全等的正三角形，相鄰的兩個面所成的二面角相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點的任兩條棱的夾角相等；④各棱長相等，相鄰兩個面所成的二面角相等． A．①④ B．①② C．①②③ D．③ 解析　類比推理原則是：類比前后保持類比規(guī)則的一致性，而③④違背了這一規(guī)則，①②符合． 答案　B 10．設(shè)P＝＋＋＋，則(　　)． A．0

7、1

8、為底，將四面體分割為4個棱錐，得證． 答案　R(S1＋S2＋S3＋S4) 13．在△ABC中，D為BC的中點，則＝( ＋)，將命題類比到三棱錐中去得到一個類比的命題為___________________________． 答案　在三棱錐A-BCD中，G為△BCD的重心，則＝·(＋＋) 14．在數(shù)列{an}中，a1＝1，且Sn、Sn＋1、2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列{an}的前n項和)，則S2、S3、S4分別為__________，由此猜想Sn＝________. 解析　由Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列， 得2Sn＋1＝Sn＋2S1， ∵S1＝a1＝1，∴2Sn＋1＝Sn＋2

9、. 令n＝1，則2S2＝S1＋2＝1＋2＝3?S2＝， 同理分別令n＝2，n＝3， 可求得S3＝，S4＝. 由S1＝1＝，S2＝＝， S3＝＝，S4＝＝， 猜想Sn＝. 答案　，，　 三、解答題(本大題共5小題，共54分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過 程或演算步驟) 15．(10分)在不等邊△ABC中，A是最小角，求證：A<60°. 證明　假設(shè)A≥60°，∵A是不等邊三角形ABC的最小角(不妨設(shè)C為最大角)， ∵B>A≥60°，C>A≥60°， ∴A＋B＋C>180°，與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾，∴假設(shè)錯誤，原結(jié)論成立，即A<60°. 16．(10分)設(shè)S

10、n＝＋＋＋…＋，寫出S1，S2，S3，S4的值，歸納并猜想出結(jié)果． 解　當(dāng)n＝1,2,3,4時， 計算得原式的值分別為： S1＝，S2＝，S3＝，S4＝. 觀察這4個結(jié)果都是分?jǐn)?shù)，每個分?jǐn)?shù)的分子與項數(shù)對應(yīng)，且分子比分母恰好小1. 歸納猜想：Sn＝. 證明　∵＝1－，＝－，…， ＝－. ∴Sn＝1－＋－＋－＋…＋－ ＝1－＝. 17．(10分)先解答(1)，再通過類比解答(2)． (1)求證：tan＝； (2)設(shè)x∈R且f(x＋1)＝，試問f(x)是周期函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論． (1)證明　tan＝ ＝； (2)解　f(x)是以4為一個周期的周期函數(shù)．證明如下： ∵

11、f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝ ＝＝－， ∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)， ∴f(x)是周期函數(shù)． 18．(12分)若a1>0、a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…，) (1)求證：an＋1≠an； (2)令a1＝，寫出a2、a3、a4、a5的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式an； (3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值． (1)證明　(采用反證法)．假設(shè)an＋1＝an，即＝an，解得an＝0,1. 從而an＝an－1＝……＝a1＝0,1，與題設(shè)a1>0，a1≠1相矛盾， ∴假設(shè)錯誤． 故an＋1≠an成立． (2)

12、解　a1＝、a2＝、a3＝、a4＝、a5＝，an＝. (3)證明　因為＝，又＝·q，所以(2＋p－2q)an＋p(1－2q)＝0， 因為上式是關(guān)于變量an的恒等式， 故可解得q＝、p＝－1. 19．(12分)已知點Pn(an，bn)滿足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且點P1的坐標(biāo)為(1，－1)． (1)求過點P1，P2的直線l的方程； (2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于n∈N*，點Pn都在(1)中的直線l上． (1)解　由P1的坐標(biāo)為(1，－1)知a1＝1，b1＝－1. ∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝. ∴點P2的坐標(biāo)為. ∴直線l的方程為2x＋y＝1. (2)證明?、佼?dāng)n＝1時，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時，2ak＋bk＝1成立． 則2ak＋1＋bk＋1＝2akbk＋1＋bk＋1 ＝(2ak＋1)＝＝＝1. ∴n＝k＋1時，命題也成立． 由①②知，對n∈N*，都有2an＋bn＝1，即點Pn在直線l上．