2020版高考數(shù)學(xué) 3年高考2年模擬 第2章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

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1、第二章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第一部分 三年高考薈萃2020年高考題 一、選擇題 1.（安徽理3） 設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 （A） (B) （Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）3 【答案】A 【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的求法.屬容易題. y 0.5 1 x O 0.5 【解析】.故選A. 2.(安徽理10) 函數(shù)在區(qū) 間〔0,1〕上的圖像如圖所示，則m，n的值 可能是 （A） (B) (C) (D) 【答案】B【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究

2、函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查函數(shù)圖像，考查思維的綜合能力.難度大. 【解析】代入驗(yàn)證，當(dāng)，，則 ，由可知，，結(jié) 合圖像可知函數(shù)應(yīng)在遞增，在遞減，即在取得最大值，由 ，知a存在.故選B. 3.（安徽文5）若點(diǎn)(a,b)在 圖像上，,則下列點(diǎn)也在此圖像上的是 （A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b) 【答案】D【命題意圖】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的基本運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系. 【解析】由題意，，即也在函數(shù) 圖像上. 4.0.5 1 x y O 0.5 (安徽文10) 函數(shù)在 區(qū)間〔0,1〕上的

3、圖像如圖所示，則n可 能是 （A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】A【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查函數(shù)圖像，考查思維的綜合能力.難度大. 【解析】代入驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)， ，則， 由可知，，結(jié)合圖像可知函數(shù)應(yīng)在遞增，在遞減，即在取得最大值，由，知a存在.故選A. 5.（北京理6）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位：分鐘）為（A，c為常數(shù)）。已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第A件 產(chǎn)品時(shí)用時(shí)15分鐘，那么c和A的值分別是 A. 75，25 B. 75，1

4、6 C. 60，25 D. 60，16 【答案】D 【解析】由條件可知，時(shí)所用時(shí)間為常數(shù)，所以組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)必然滿足第一個(gè)分段函數(shù)，即，，選D。 6.（北京文8）已知點(diǎn),,若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 7.（福建理5）等于 A．1 B．

5、 C． D． 【答案】C 8.（福建理9）對(duì)于函數(shù) (其中，)，選取的一組值計(jì)算和，所得出的正確結(jié)果一定不可能是 A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 【答案】D 9.（福建理10）已知函數(shù)，對(duì)于曲線上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是

6、 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 10.（福建文6）若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 A．（－1，1） B．（－2，2） C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C 11.（福建文8）已知函數(shù)f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于 A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A 12.（福建文10）若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大

7、值等于 A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】D 13.（廣東理4）設(shè)函數(shù)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 A．+|g(x)|是偶函數(shù) B．-|g(x)|是奇函數(shù) C．|| +g(x)是偶函數(shù) D．||- g(x)是奇函數(shù) 【答案】A 【解析】因?yàn)?g(x)是R上的奇函數(shù),所以|g(x)|是R上的偶函數(shù),從而+|g(x)|是偶函數(shù),故選A. 14.（廣東文4）函數(shù)的定義域是 （ ）

8、 A． B． C． D． 【答案】C 15.（廣東文10）設(shè)是R上的任意實(shí)值函數(shù)．如下定義兩個(gè)函數(shù)和；對(duì)任意,；．則下列等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 16.（湖北理6）已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足 ，若，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由條件，，即 ，由此解得，， 所以，，所以選B. 17.（湖北理10）放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象成為衰變，假設(shè)在放射性同位素銫137

9、的衰變過程中，其含量（單位：太貝克）與時(shí)間（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系：，其中為時(shí)銫137的含量，已知時(shí)，銫137的含量的變化率是（太貝克/年），則 A. 5太貝克 B. 太貝克 C. 太貝克 D. 150太貝克 【答案】D 【解析】因?yàn)?，則，解得，所以，那么 （太貝克），所以選D. 18.（湖南文7）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以 。 19.（湖南文8）已知函數(shù)若有則的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題可知，，若有則，即，解得。

10、 20.（湖南理6）由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由定積分知識(shí)可得，故選D。 21.（湖南理8）設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由題，不妨令，則，令解得，因時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小。即。 22.（江西文3）若，則的定義域?yàn)? ) B. C. D. 【答案】C 【解析】 23.（江西文4）曲線在點(diǎn)A（0,1）處的切線斜率為（

11、 ） A.1 B.2 C. D. 【答案】A 【解析】 24.（江西文6）觀察下列各式：則，…，則的末兩位數(shù)字為（ ） A.01 B.43 C.07 D.49 【答案】B 【解析】 25.（江西理3）若，則定義域?yàn)? A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由解得，故，選A 26.（江西理4）設(shè)，則的解集為 A. B. C. D. 【

12、答案】C 【解析】定義域?yàn)?，又由，解得或，所以的解? 27.（江西理7）觀察下列各式：，，，…，則的末四位數(shù)字為 A. 3125 B. 5625 C. 0625 D.8125 【答案】D 【解析】觀察可知當(dāng)指數(shù)為奇數(shù)時(shí)，末三位為125；又，即為第1004個(gè)指數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)，應(yīng)該與第二個(gè)指數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)（）末四位相同，∴的末四位數(shù)字為8125 28.（遼寧理9）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是 A．，2] B．[0，2] C．[1，+] D．[0，+] 【答案】D 29.（遼寧理11）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)任意

13、，，則的解集為 A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+） 【答案】B 30.（遼寧文6）若函數(shù)為奇函數(shù)，則a= A． B． C． D．1 【答案】A 31.（全國(guó)Ⅰ理2）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是 （A） (B) （C） (D) 【答案】B 32.（全國(guó)Ⅰ理9）由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為 （A） （B）4

14、（C） （D）6 【答案】C 33. (全國(guó)Ⅰ理12)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 【答案】D 34.（全國(guó)Ⅰ文4）曲線在點(diǎn)（1,0）處的切線方程為 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 35. (全國(guó)Ⅰ文9)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4 (x0），則=

15、 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 36.（全國(guó)Ⅱ理2）函數(shù)＝（≥0）的反函數(shù)為 (A)＝（∈R） (B)＝（≥0） (C)＝（∈R） (D)＝（≥0） 【答案】B 【命題意圖】：本小題主要考查函數(shù)與反函數(shù)概念及求法特別要注意反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。 【解析】由＝，得＝.函數(shù)＝（≥0）的反函數(shù)為＝.（≥0） 37.（全國(guó)Ⅱ理8）曲線在點(diǎn)（0,2）處的切線與直線和圍成的三角形的面積為 (A) (B) (C) (D)1 【答案】A 【命題意圖】：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的求法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及

16、過曲線上一點(diǎn)切線的方程的求法。 【解析】，故曲線在點(diǎn)（0,2）處的切線方程為，易得切線與直線和圍成的三角形的面積為。 38.（全國(guó)Ⅱ理9）設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【命題意圖】：本小題主要考查了函數(shù)的奇偶性、周期性的概念。 【解析】。 39.（山東理9）函數(shù)的圖象大致是 【答案】C 【解析】因?yàn)?所以令,得,此時(shí)原函數(shù)是增函數(shù);令,得,此時(shí)原函數(shù)是減函數(shù),結(jié)合余弦函數(shù)圖象，可得選C正確. 40.（山東理10）已知是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的圖象在

17、區(qū)間[0,6]上與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （A）6 （B）7 （C）8 （D）9 【答案】A 【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí), ,又因?yàn)槭巧献钚≌芷跒?的周期函數(shù)，且,所以,又因?yàn)?所以,,故函數(shù)的圖象在區(qū)間[0,6]上與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6個(gè),選A. 41.（山東文4）曲線在點(diǎn)P(1，12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 （A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15 【答案】C 42.（陜西理3）設(shè)函數(shù)（R）滿足，，則函數(shù)的圖像是 （

18、） 【答案】B 【分析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質(zhì)，再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì)． 【解析】選由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B． 43.（陜西文4） 函數(shù)的圖像是 （ ） 【答案】B 【分析】已知函數(shù)解析式和圖像，可以用取點(diǎn)驗(yàn)證的方法判斷． 【解析】 取，，則，，選項(xiàng)B，D符合；取，則，選項(xiàng)B符合題意． 44.（上海理16）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（ ） （A）. （B）.

19、（C）. （D）. 【答案】A 45.（上海文15）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 46.（四川理7）若是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的反函數(shù)的圖象大致是 【答案】A 【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，值域?yàn)?，此時(shí)，其反函數(shù)單調(diào)遞減且圖象在與之間，故選A． 47.（四川文4）函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象像大致是 【答案】A 【解析】圖象過點(diǎn)，且單調(diào)遞減，故它關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象過點(diǎn)且單調(diào)遞減，選A． 48.（天津理2）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（　?。?

20、?。粒　　。拢　　。茫　　。模? 【答案】B 【解析】解法1．因?yàn)?，，? 所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是．故選Ｂ． 解法2．可化為． 畫出函數(shù)和的圖象，可觀察出選項(xiàng)Ｃ，Ｄ不正確，且 ，由此可排除Ａ，故選Ｂ． 49.（天津理8）設(shè)函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ 　 ）． 　?。粒　　　　。拢? 　?。茫　　　。模? 【答案】C 【解析】若，則，即，所以， 若則，即，所以，。 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，即．故選C． 50.（天津文4）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（　　）． 　?。粒　　。拢　　　。茫　　。模? 【答案】C 【解析】因?yàn)?，? ，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在

21、的一個(gè)區(qū)間是．故選Ｃ． 51.（天津文6）設(shè)，，，則（　　?。? 　?。粒　　　　　　。拢? 　?。茫　　　　　　。模? 【答案】D 【解析】因?yàn)?，，? 所以， 所以，故選Ｄ． 52.（天津文10）設(shè)函數(shù)，則的值域是（　?。? 　?。粒　　　　。拢?， 　?。茫　　　　　　　。模? 【答案】D 【解析】解得，則或．因此的解為：．于是 當(dāng)或時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，，則， 又當(dāng)和時(shí)，，所以． 由以上，可得或，因此的值域是．故選Ｄ． 53.（浙江理1）已知，則的值為 A．6 B．5 C．4

22、 D．2 【答案】B 54.（浙江文10）設(shè)函數(shù)，若為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為的圖象是 【答案】D 55.（重慶理5）下列區(qū)間中，函數(shù)=在其上為增函數(shù)的是 （A）（- （B） （C） （D） 【答案】D 56.（重慶理10）設(shè)m，k為整數(shù)，方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則m+k的最小值為 （A）-8 （B）8 (C)12

23、 (D) 13 【答案】D 57. (重慶文3)曲線在點(diǎn),處的切線方程為 A (A)　　　　　　　　　　(B) (C) (D) 58. (重慶文6)設(shè),,,則,,的大小關(guān)系是 (A)　　　　　　　　　　(B) (C)　　　　　　　　　　(D) 【答案】B 59. (重慶文7)若函數(shù)在處取最小值,則 (A)　　　　　　　　　　　(B) (C)3　　　　　　　　　　　　 (D)4 【答案】C 二、填空題 60. (重慶文15)若實(shí)

24、數(shù),,滿足,，則的最大值是 . 【答案】 61.（浙江文11）設(shè)函數(shù) ,若,則實(shí)數(shù)=________________________ 【答案】-1 62.（天津文16）設(shè)函數(shù)．對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　　　． 【答案】． 【解析】解法1．顯然，由于函數(shù)對(duì)是增函數(shù)， 則當(dāng)時(shí)，不恒成立，因此． 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在 是減函數(shù)， 因此當(dāng)時(shí)，取得最大值， 于是恒成立等價(jià)于的最大值， 即，解得．于是實(shí)數(shù)的取值范圍是． 解法2．然，由于函數(shù)對(duì)是增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，不成立，因此． ， 因?yàn)?，，則，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，于是時(shí)，取得最小值． 解得．于是實(shí)數(shù)的

25、取值范圍是． 解法3．因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以對(duì)，不等式也成立，于是，即，解得．于是實(shí)數(shù)的取值范圍是． 63.（天津理16）設(shè)函數(shù)．對(duì)任意， 恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　　?。? 【答案】． 【解析】解法１．不等式化為，即 ， 整理得， 因?yàn)?，所以，設(shè)，． 于是題目化為，對(duì)任意恒成立的問題． 為此需求，的最大值．設(shè)，則． 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，因而在處取得最大值． ，所以， 整理得，即， 所以，解得或， 因此實(shí)數(shù)的取值范圍是． 解法2．同解法1,題目化為，對(duì)任意恒成立的問題． 為此需求，的最大值． 設(shè)，則．． 因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．

26、 從而有最大值．所以，整理得， 即，所以，解得或， 因此實(shí)數(shù)的取值范圍是． 解法3．不等式化為，即 ， 整理得， 　　令． 由于，則其判別式，因此的最小值不可能在函數(shù)圖象的頂點(diǎn)得到， 所以為使對(duì)任意恒成立，必須使為最小值， 即實(shí)數(shù)應(yīng)滿足 　　　 　解得，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是． 解法4．(針對(duì)填空題或選擇題)由題設(shè)，因?yàn)閷?duì)任意， 恒成立， 則對(duì)，不等式也成立， 把代入上式得，即 ，因?yàn)?，上式兩邊同乘以，并整理? ，即，所以，解得或， 因此實(shí)數(shù)的取值范圍是． 64.（四川理13）計(jì)算_______． 【答案】－20 【解析】． 65.（四川理16

27、）函數(shù)的定義域?yàn)锳，若且時(shí)總有，則稱為單函數(shù)．例如，函數(shù)=2x+1()是單函數(shù)．下列命題： ①函數(shù)（xR）是單函數(shù)； ②若為單函數(shù)，且，則； ③若f：A→B為單函數(shù)，則對(duì)于任意，它至多有一個(gè)原象； ④函數(shù)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則一定是單函數(shù)． 其中的真命題是_________．（寫出所有真命題的編號(hào)） 【答案】②③ 【解析】對(duì)于①，若，則，不滿足；②實(shí)際上是單函數(shù)命題的逆否命題，故為真命題；對(duì)于③，若任意，若有兩個(gè)及以上的原象，也即當(dāng)時(shí)，不一定有，不滿足題設(shè)，故該命題為真；根據(jù)定義，命題④不滿足條件． 66.（上海文3）若函數(shù)的反函數(shù)為，則 【答案】 67.（上

28、海文12）行列式所有可能的值中，最大的是 【答案】 68.（上海文14）設(shè)是定義在上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則在區(qū)間上的值域?yàn)? 【答案】 69.（上海理1）函數(shù)的反函數(shù)為 . 【答案】 70.（上海理10）行列式所有可能的值中，最大的是 . 【答案】 71.（上海理13） 設(shè)是定義在上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t在區(qū)間上的值域?yàn)? . 【答案】 72.（陜西文11）設(shè)，則______. 【答案】 【分析】由算起，先判斷的范圍，是大于0，

29、還是不大于0,；再判斷作為自變量的值時(shí)的范圍，最后即可計(jì)算出結(jié)果． 【解析】∵，∴，所以，即． 73.（陜西理11）設(shè)，若，則 ． 【分析】分段函數(shù)問題通常需要分布進(jìn)行計(jì)算或判斷，從算起是解答本題的突破口. 【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋? 所以，所以，． 【答案】1 74.（陜西理12）設(shè)，一元二次方程有整數(shù)根的充要條件是 ． 【答案】3或4 【分析】直接利用求根公式進(jìn)行計(jì)算，然后用完全平方數(shù)、整除等進(jìn)行判斷計(jì)算． 【解析】，因?yàn)槭钦麛?shù)，即為整數(shù)，所以為整數(shù)，且，又因?yàn)椋?，?yàn)證可知符合題意；反之時(shí)，可推出一元二次方程有整數(shù)根． 75.（山東理16）

30、已知函數(shù)=當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn) . 【答案】5 【解析】方程=0的根為,即函數(shù)的圖象與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為,且,結(jié)合圖象,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,此時(shí)對(duì)應(yīng)直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo);當(dāng)時(shí), 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo),直線的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo),故所求的. 76.（遼寧文16）已知函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是___________． 【答案】 77.（江蘇2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是__________ 【答案】 【解析】在在大于零,且增. 本題主要考查函數(shù)的概念，基本性質(zhì)，指數(shù)與對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)，容易題 78.（江蘇8）在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖象

31、交于P、Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值是________. 【答案】4. 【解析】設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的交點(diǎn)為，，則. 本題主要考查冪函數(shù)，函數(shù)圖象與性質(zhì)，函數(shù)與方程，函數(shù)模型及其應(yīng)用,兩點(diǎn)間距離公式以及基本不等式，中檔題. 79.（江蘇11）已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則a的值為________ 【答案】 【解析】 . ，不符合； . 本題主要考查函數(shù)概念，函數(shù)與方程,函數(shù)模型及其應(yīng)用,含參的分類討論，中檔題. 80.（江蘇12）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在P處的切線交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的

32、最大值是_____________ 【答案】 【解析】設(shè)則，過點(diǎn)P作的垂線 ， ，所以，t在上單調(diào)增，在單調(diào)減， . 本題主要考查指數(shù)運(yùn)算,指數(shù)函數(shù)圖象、導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)公式,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、直線方程及其斜率、直線的位置關(guān)系，運(yùn)算求解能力,綜合應(yīng)用有關(guān)知識(shí)的能力,本題屬難題. 81.（湖南文12）已知為奇函數(shù)， ． 【答案】6 【解析】，又為奇函數(shù)，所以 。 82.（湖北文15）里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：，其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅 是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅，假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1000

33、,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為__________級(jí)；9級(jí)地震的最大的振幅是5級(jí)地震最大振幅的__________倍。 【答案】6，10000 83.（廣東文12）設(shè)函數(shù)若，則 ． 【答案】-9 84.（廣東理12）函數(shù)在 處取得極小值. 【答案】 85.（北京理13）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的 實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 【答案】 【解析】單調(diào)遞減且值域?yàn)?0,1]，單調(diào)遞增且值域?yàn)?，有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0,1）。 86.（安徽文13）函數(shù)的定義域是

34、 . 【答案】（－3,2）【命題意圖】本題考查函數(shù)的定義域，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由可得，即，所以. 三、解答題 87.（安徽理16）設(shè)，其中為正實(shí)數(shù) （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)； （Ⅱ）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，極值點(diǎn)的判斷，導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)變化之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力. 解：對(duì)求導(dǎo)得 ① （I）當(dāng)，若 綜合①,可知 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以,是極小值點(diǎn),是極大值點(diǎn). （II

35、）若為R上的單調(diào)函數(shù)，則在R上不變號(hào)，結(jié)合①與條件a>0，知 在R上恒成立，因此由此并結(jié)合，知 88.（北京理18）已知函數(shù). (1)求的單調(diào)區(qū)間； (2)若對(duì)，，都有，求的取值范圍。 解：(1)，令得 當(dāng)時(shí)，在和上遞增，在上遞減； 當(dāng)時(shí)，在和上遞減，在上遞增 (2) 當(dāng)時(shí)，；所以不可能對(duì)，都有； 當(dāng)時(shí)有（1）知在上的最大值為，所以對(duì)，都有 即，故對(duì)，都有時(shí)，的取值范圍為。 89.（北京文18）已知函數(shù)，（I）求的單調(diào)區(qū)間； （II）求在區(qū)間上的最小值。 解：（I），令；所以在上遞減，在上遞增； （II）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以； 當(dāng)即時(shí)，由（I）知，函數(shù)在

36、區(qū)間上遞減，上遞增，所以； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞減，所以。 90.（福建理18）某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價(jià)格(單位：元/千克)滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克． (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售價(jià)格的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大． 解：(Ⅰ)因?yàn)闀r(shí)，所以； (Ⅱ)由(Ⅰ)知該商品每日的銷售量，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)： ； ，令得 函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值 答：當(dāng)銷售價(jià)格時(shí),商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最

37、大，最大值為42. 91.（福建文22）已知a、b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。 （Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值； （Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）當(dāng)a＝1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（m＜M），使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y＝t與曲線y＝f(x)（x∈[，e]）都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說明理由。 解：（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間是（1，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），a＜0時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在m，M；m的最

38、小值為1，M的最大值為2。 92.（廣東理21） （2）設(shè)是定點(diǎn)，其中滿足.過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與分別交于.線段上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為.證明： ； 解：（１）， 直線AB的方程為，即， ，方程的判別式， 兩根或， ，，又， ，得， ． （２）由知點(diǎn)在拋物線L的下方， ①當(dāng)時(shí)，作圖可知，若，則，得； 若，顯然有點(diǎn)； ． ②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第二象限， 作圖可知，若，則，且； 若，顯然有點(diǎn)； ． 根據(jù)曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，， 綜上所述，（*）； 由（１）知點(diǎn)M在直線EF上，方程的兩根或， 同理點(diǎn)M在直線上，方程的兩根或， 若，則不比、、小， ，

39、又， ；又由（１）知，； ，綜合（*）式，得證． （３）聯(lián)立，得交點(diǎn)，可知， 過點(diǎn)作拋物線L的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則， 得，解得， 又，即， ，設(shè)，， ，又，； ，， ． 93.（廣東文19） 設(shè),討論函數(shù) 的單調(diào)性． 解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，+∞） 綜上所述，f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表： （其中） 94.（湖北理17）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時(shí)）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞

40、，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)時(shí)，車流速度是車流密度的一次函數(shù)． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式； （Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時(shí)） 本題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 解析：（Ⅰ）由題意：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然在是減函數(shù)，由已知得，解得 故函數(shù)的表達(dá)式為= （Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得 當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為； 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立． 所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間

41、上取得最大值． 綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值， 即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)． 95.（湖北理21）（Ⅰ）已知函數(shù)，，求函數(shù)的最大值； （Ⅱ）設(shè)…，均為正數(shù)，證明： （1）若……，則； （2）若…=1，則…+。 解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋睿? 在上遞增，在上遞減，故函數(shù)在處取得最大值 （Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)有即， ∵，∴ ∵∴即 （2）①先證，令，則 由（1）知 ∴； ②再證…+，記 則于是由（1）得 所以…+。綜合①②，（2）得證 96.（湖北文20）設(shè)函數(shù)，，其中，a、b為常數(shù)，已知曲線與在點(diǎn)（2,

42、0）處有相同的切線。 (I) 求a、b的值，并寫出切線的方程； (II)若方程有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、、，其中，且對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 解：(I)，由于曲線曲線與在點(diǎn)（2,0）處有相同的切線，故有，由此解得：； 切線的方程：‘ (II)由(I)得，依題意得：方程有三個(gè)互不相等的根 ，故是方程的兩個(gè)相異實(shí)根，所以 ； 又對(duì)任意的，恒成立，特別地，取時(shí)， 成立，即，由韋達(dá)定理知：，故，對(duì)任意的，有，則： ；又 所以函數(shù)在上的最大值為0，于是當(dāng)時(shí)對(duì)任意的，恒成立；綜上：的取值范圍是。 97.（湖南文22）設(shè)函數(shù) (I)討論的單調(diào)性； （II）若有兩個(gè)極值

43、點(diǎn)，記過點(diǎn)的直線的斜率為，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 解析：（I）的定義域?yàn)? 令 當(dāng)故上單調(diào)遞增． 當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，，故上單調(diào)遞增． 當(dāng)?shù)膬筛鶠椋? 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （II）由（I）知，． 因?yàn)?，所? 又由(I)知，．于是 若存在，使得則．即．亦即 再由（I）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾．故不存在，使得 98.（湖南理20）如圖6，長(zhǎng)方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為，雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為。E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)

44、的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與×S成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為E移動(dòng)過程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d=100，面積S=時(shí)。 （Ⅰ）寫出的表達(dá)式 （Ⅱ）設(shè)0＜v≤10,0＜c≤5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度，使總淋雨量最少。 解析：（I）由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為， 故. （II）由(I)知，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故。 (1)當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的減函數(shù).故當(dāng)時(shí)，。 (2) 當(dāng)時(shí)，在上，是關(guān)于的減函數(shù)；在上，是關(guān)于的增函數(shù)；故當(dāng)時(shí)，。 99.（湖南理22） 已知函數(shù)() =，g ()=+。

45、 （Ⅰ）求函數(shù)h ()=()-g ()的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)M,使得對(duì)于任意的，都有≤?. 解析：（I）由知，，而，且，則為的一個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)有零點(diǎn)，因此至少有兩個(gè)零點(diǎn) 解法1：，記，則。 當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)?，則在內(nèi)有零點(diǎn)，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 所以， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)； 從而在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。 解法2：，記，則。 當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。因此在

46、內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn)， 綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。 （II）記的正零點(diǎn)為，即。 （1）當(dāng)時(shí)，由，即.而，因此，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時(shí)，顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由 知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。 故對(duì)任意的，成立。 （2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時(shí)，顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由 知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。 故對(duì)任意的，成立。 綜上所述，存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有. 100.（江蘇17）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片

47、，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm. （1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問x應(yīng)取何值？ （2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值. 【解】（1）根據(jù)題意有 （0

48、值為. 即x=20包裝盒容積V（cm）最大, 此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為 解析：本題主要考查空間想象能力、數(shù)學(xué)閱讀能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力、建立數(shù)學(xué)函數(shù)模型求解能力、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，中檔題. 101.（江蘇19）已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù) 和是的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間I上恒成立，則稱和在區(qū)間I上單調(diào)性一致. （1）設(shè)，若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)b的取值范圍； （2）設(shè)且，若函數(shù)和在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值. 答案： 因?yàn)楹瘮?shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，所以， 即 即實(shí)數(shù)b的取值范圍是 由 若,則由,,和在區(qū)間上不是單調(diào)

49、性一致, 所以. ;又. 所以要使,只有, 取,當(dāng)時(shí), 因此 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，函?shù)和在區(qū)間（b,a）上單調(diào)性一致，所以， 即， 設(shè)，考慮點(diǎn)(b,a)的可行域，函數(shù)的斜率為1的切線的切點(diǎn)設(shè)為 則； 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，函?shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以， 即， 當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瘮?shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以， 即而x=0時(shí)，不符合題意， 當(dāng)時(shí)，由題意： 綜上可知，。 解析：本題主要考查單調(diào)性概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及應(yīng)用、含參不等式恒成立問題，綜合考查、線性規(guī)劃、解二次不等式、二次函數(shù)、化歸及數(shù)形結(jié)合的思想，考查用分類討論思想進(jìn)行探索分析和解決問題的綜合能力

50、.(1)中檔題；（2）難題. 102.（江西理19）設(shè). （1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值. 【解析】（1）在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即存在某個(gè)子區(qū)間 使得.由，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則只需即可。由解得， 所以，當(dāng)時(shí)，在上存在單調(diào)遞增區(qū)間. （2）令，得兩根，，. 所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，有，所以在上的最大值為 又，即 所以在上的最小值為，得，， 從而在上的最大值為. 103.（江西文18） 如圖，在交AC于 點(diǎn) D,現(xiàn)將 （1）當(dāng)棱錐的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)； （2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為

51、 解：（1）設(shè)，則 令 則 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 由上表易知：當(dāng)時(shí)，有取最大值。 證明：作得中點(diǎn)F，連接EF、FP，由已知得： 為等腰直角三角形，，所以. 104.（江西文20）設(shè). （1）如果在處取得最小值，求的解析式； （2）如果，的單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù)，試求和 的值．(注：區(qū)間的長(zhǎng)度為） .解：（1）已知， 又在處取極值， 則，又在處取最小值-5. 則， （2）要使單調(diào)遞減，則 又遞減區(qū)間長(zhǎng)度是正整數(shù)，所以兩根設(shè)做a，b。即有： b-a

52、為區(qū)間長(zhǎng)度。又 又b-a為正整數(shù)，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。 105.（遼寧理21）已知函數(shù)．（I）討論的單調(diào)性； （II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，； （III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明： （x0）＜0． 解：（I） （i）若單調(diào)增加. （ii）若且當(dāng) 所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. （II）設(shè)函數(shù)則 當(dāng). 故當(dāng)， （III）由（I）可得，當(dāng)?shù)膱D像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)， 故，從而的最大值為 不妨設(shè) 由（II）得從而 由（I）知， 106.（遼寧文20）設(shè)函數(shù)=x+ax2+bl

53、nx，曲線y=過P（1,0），且在P點(diǎn)處的切斜線率為2． （I）求a，b的值；（II）證明：≤2x-2． 解：（I） 由已知條件得，解得 （II），由（I）知 設(shè)則 而 107.（全國(guó)Ⅰ理21）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍。 解：（Ⅰ），由于直線的斜率為，且過點(diǎn)， 故即 解得，。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。 考慮函數(shù)，則。 (i)設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，。而，故 當(dāng)時(shí)，，可得； 當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）<0，可得 h（x）>0 從而當(dāng)x>0,且x1時(shí)，f（x）-（+）>0，

54、即f（x）>+. （ii）設(shè)00,故 (x）>0,而 h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾。 （iii）設(shè)k1.此時(shí)（x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設(shè)矛盾。綜合得，k的取值范圍為（-，0] 108.（全國(guó)Ⅰ文21）設(shè)函數(shù) （Ⅰ）若a=，求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若當(dāng)≥0時(shí)≥0，求a的取值范圍 （21）解： （Ⅰ）時(shí)，，。當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。故在，單調(diào)增加，在（-1，0）單調(diào)減少。 （Ⅱ）。令，則。若，則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，而

55、，從而當(dāng)x≥0時(shí)≥0，即≥0. 若，則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)時(shí)＜0，即＜0.綜合得的取值范圍為 109.（全國(guó)Ⅱ理22）（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)＞0時(shí)，＞0； （Ⅱ）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為.證明：＜＜. 【命題立意】：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明及等可能事件的概率等知識(shí)。通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問題,考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 【解析】（Ⅰ），（僅當(dāng)時(shí)） 故函數(shù)在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)＞0時(shí)，＞0. （Ⅱ）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽

56、取一張，然后放回，連續(xù)抽取20次，則抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為，要證＜（）19＜. 先證： 即證 即證而 ……… 所以. 即 再證：，即證，即證，即證 由（Ⅰ），當(dāng)＞0時(shí)，＞0. 令則，即 綜上有： 110.（全國(guó)Ⅱ文20）已知函數(shù) (Ⅰ)證明：曲線 （Ⅱ）若,求的取值范圍。 【解析】(Ⅰ) ，，又 曲線的切線方程是：，在上式中令，得 所以曲線 （Ⅱ）由得，（i）當(dāng)時(shí)，沒有極小值； (ii)當(dāng)或時(shí)，由得 故。由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，不等式 無解； 當(dāng)時(shí)，解不等式得 綜合(i)(ii)得的取值范圍是。 111.（山東理21）某企業(yè)擬建造如圖所示的

57、容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元. （Ⅰ）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域； （Ⅱ）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的. 【解析】（Ⅰ）因?yàn)槿萜鞯捏w積為立方米，所以,解得,所以圓柱的側(cè)面積為=,兩端兩個(gè)半球的表面積之和為,所以+,定義域?yàn)?0,). （Ⅱ）因?yàn)?=,所以令得:; 令得:,所以米時(shí), 該容器的建造費(fèi)用最小. 112.（陜西理21）設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)，．

58、（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值； （2）討論與的大小關(guān)系； （3）是否存在，使得對(duì)任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【分析】（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負(fù)；（3）存在性問題通常采用假設(shè)存在，然后進(jìn)行求解；注意利用前兩問的結(jié)論． 【解】（1）∵，∴（為常數(shù)），又∵，所以，即， ∴；，∴，令，即，解得， 當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的減區(qū)間； 當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的增區(qū)間； 所以是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，

59、從而是最小值點(diǎn)， 所以的最小值是． （2），設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，， 因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，=0，∴； 當(dāng)時(shí)，=0，∴． （3）滿足條件的不存在．證明如下： 證法一 假設(shè)存在，使對(duì)任意成立， 即對(duì)任意有 ① 但對(duì)上述的，取時(shí)，有，這與①左邊的不等式矛盾， 因此不存在，使對(duì)任意成立． 證法二 假設(shè)存在，使對(duì)任意成立， 由（1）知，的最小值是， 又，而時(shí)，的值域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋? 從而可以取一個(gè)值，使，即 ,∴，這與假設(shè)矛盾．∴不存在，使對(duì)任意成立． 113.（陜西文21）設(shè)，． （1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值； （

60、2）討論與的大小關(guān)系； （3）求的取值范圍，使得＜對(duì)任意＞0成立． 【分析】（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負(fù)；（3）對(duì)任意＞0成立的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問題． 【解】（1）由題設(shè)知，∴令0得=1， 當(dāng)∈（0，1）時(shí)，＜0，是減函數(shù)，故（0，1）是的單調(diào)減區(qū)間。 當(dāng)∈（1，+∞）時(shí)，＞0，是增函數(shù)，故（1，+∞）是的單調(diào)遞增區(qū)間， 因此，=1是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以的最小值為 (2)，設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)

61、，， 因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即 （3）由（1）知的最小值為1，所以，，對(duì)任意，成立 即從而得。 114.（上海理20） 已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足 （1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）若，求時(shí)的的取值范圍． 解：⑴ 當(dāng)時(shí)，任意， 則 ∵ ，， ∴ ，函數(shù)在上是增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，同理函數(shù)在上是減函數(shù)。 ⑵，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則。 115.（上海文21）已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足 （1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）若，求時(shí)的的取值范圍. 解：⑴ 當(dāng)時(shí)，任意， 則 ∵ ，， ∴ ，函數(shù)在上是增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，同理函數(shù)在上是減函數(shù)。 ⑵ 當(dāng)時(shí)，，則； 當(dāng)時(shí)，，則

62、。 116.（四川理22）已知函數(shù)，． （Ⅰ）設(shè)函數(shù)F(x)＝f(x)－h(huán)(x)，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； （Ⅱ）設(shè)，解關(guān)于x的方程； （Ⅲ）試比較與的大小． 本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基本知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法及推理運(yùn)算、分析問題、解決問題的能力． 解：（Ⅰ）由（）知，，令，得． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 故當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；時(shí)，是增函數(shù)． 函數(shù)在處有得極小值． （Ⅱ）方法一：原方程可化為， 即為，且 ①當(dāng)時(shí)，，則，即， ，此時(shí)，∵， 此時(shí)方程僅有一解． ②當(dāng)時(shí)，，由，得，， 若，則，方程有兩解

63、； 若時(shí)，則，方程有一解； 若或，原方程無解． 方法二：原方程可化為， 即， ①當(dāng)時(shí)，原方程有一解； ②當(dāng)時(shí)，原方程有二解； ③當(dāng)時(shí)，原方程有一解； ④當(dāng)或時(shí)，原方程無解． （Ⅲ）由已知得． 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（） 從而，當(dāng)時(shí)，． 又 ． 即對(duì)任意時(shí)，有，又因?yàn)?，所以? 故． 117.（四川文22）已知函數(shù)，． （Ⅰ）設(shè)函數(shù)F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； （Ⅱ）設(shè)，解關(guān)于x的方程； （Ⅲ）設(shè)，證明：． 本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想

64、方法及推理運(yùn)算、分析問題、解決問題的能力． 解：（Ⅰ）， ． 令，得（舍去）． 當(dāng)時(shí)．；當(dāng)時(shí)，， 故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)． 為的極大值點(diǎn)，且． （Ⅱ）方法一：原方程可化為， 即為，且 ①當(dāng)時(shí)，，則，即， ，此時(shí)，∵， 此時(shí)方程僅有一解． ②當(dāng)時(shí)，，由，得，， 若，則，方程有兩解； 若時(shí)，則，方程有一解； 若或，原方程無解． 方法二：原方程可化為， 即， ①當(dāng)時(shí)，原方程有一解； ②當(dāng)時(shí)，原方程有二解； ③當(dāng)時(shí)，原方程有一解； ④當(dāng)或時(shí)，原方程無解． （Ⅲ）由已知得， ． 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（） 從而有，當(dāng)時(shí)，． 又 ． 即對(duì)任

65、意時(shí)，有，又因?yàn)?，所以? 則，故原不等式成立． 118.（天津理21）已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱．證明當(dāng)時(shí)，． （Ⅲ）如果，且，證明． 【解】（Ⅰ）．令，則． 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 增 極大值 減 所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 函數(shù)在處取得極大值．且． （Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱， 所以，于是． 記，則，， 當(dāng)時(shí)，，從而，又，所以， 于是函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)． 因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，．因此． （Ⅲ）(1) 若，由（

66、Ⅰ）及,得,與矛盾； (2) 若，由由（Ⅰ）及,得,與矛盾； 根據(jù)(1)，(2)可得．不妨設(shè)． 由（Ⅱ）可知，所以． 因?yàn)椋?，又，由（Ⅰ），在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)， 所以　，即． 119.（天津文20）已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍． 【解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，．，． 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即． （Ⅱ）． 令，解得或．針對(duì)區(qū)間，需分兩種情況討論： (1) 若,則． 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 增 極大值 減 所以在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點(diǎn)得到．因此在區(qū)間上，恒成立，等價(jià)于 　　即解得，又因?yàn)?，所以? (2) 若，則． 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 增 極大值 減 極小值 增 所以在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點(diǎn)或處得到． 因此在區(qū)間上，恒成立，等價(jià)于　　　即 解得或，又因?yàn)?，所以? 綜合(1),(2), 的取值范圍為. 120.（浙江理22）已知函數(shù). （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值