江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.1空間向量及其運算學(xué)案（無答案）蘇教版選修2-1

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1、3．1 空間向量及其運算 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 學(xué)習(xí)建議 空間向量的概念 了解 空間向量的定義、表示方法及相等關(guān)系都與平面向量相同．可在復(fù)習(xí)平面向量的定義、表示方法及其相等關(guān)系后類比進行理解﹒ 空間向量共線、共面的充分必要條件 理解 共面向量與共線向量的定義對象不同，但定義形式相同． 空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算 理解 掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算．利用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律﹒ 空間向量的坐標(biāo)表示 理解 空間向量的坐標(biāo)運算，加法、減法和數(shù)量積同平面向量類似，具有類似的運算法則，學(xué)習(xí)中可類比推廣． 空

2、間向量的數(shù)量積 理解 掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；掌握空間向量的坐標(biāo)表示；掌握用直角坐標(biāo)計算空間向量數(shù)量積的公式；理解向量長度公式及空間兩點間距離公式． 空間向量的共線與垂直 理解 能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直． 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)了解空間向量的概念及空間向量的幾何表示法、字母表示法和坐標(biāo)表示法； (2)了解共線或平行向量概念、向量與平面平行(共面)意義，掌握它們的表示方法； (3)會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律； (4)了解空間向量基本定理及其意義；會在簡單問題中選用空間三個不共面向量作基底，表示其他的向量；

3、 (5)會用向量解決立體幾何中證明直線和平面垂直、直線和直線垂直、求兩點距離或線段長度等問題的基本方法步驟． (6)掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示； (7)理解空間向量夾角和模的概念及表示方法，理解兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì) 和計算方法及運算律． (8)理解向量的長度公式、夾角公式、兩點間距離公式，并會用這些公式解決有關(guān)問題． 2．預(yù)習(xí)提綱 (1)回顧平面向量的相關(guān)知識： ①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的? ③特殊的平面向量有那些? ④什么是平行向量(共線向量)? ⑤什么是相等向量?

4、 ⑥什么是相反向量? ⑦平面向量共線定理是什么? ⑧平面向量基本定理你知道嗎? (2)請你填一填： ①對平面內(nèi)任意的四點A，B，C，D，則 ； ②設(shè)，則C、D的坐標(biāo)分別是____________； ③已知，若，則 ； ④若三點共線，則 ____________； ⑤已知正方形的邊長為1，，則的模等于____________； ⑥已知向量，且三點共線，則 ； ⑦等腰中，= ； ⑧已知，則的值= ____________； ⑨，則與的夾角是____________； ⑩已知是兩個非零向量，且的夾角= _______

5、_____． (3)研讀教材P71—P83 3．典型例題 例1 如圖，已知四面體，分別是棱的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量． 解： ∴ 點評：若變題為已知，求﹒則由空間向量基本定理存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組知． 例2 設(shè)空間任意一點和不共線的三點，若點滿足向量關(guān)系(其中)．試問：四點是否共面? 解：由可以得到 (見教材P75) 由三點不共線，可知與不共線，所以，，共面且具有公共起點．從而四點共面． 點評：若三點不共線，則空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使得：，或?qū)臻g任意一點有：． 例3 已知空間四邊形，為的中

6、點，為中點， 求證：． 證明：(法一)如圖， ，， 兩式相加得： ， 所以，，得證． (法二)如圖，在平面上任取一點，作、， ∵，， ∴ ． 點評：若表示向量，，…，的有向線段終點和始點連結(jié)起來構(gòu)成一個封閉折圖形，則．這一結(jié)論的使用往往能夠給解題帶來很大的方便． 例4 如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值． 分析：與的夾角即為與的夾角，可根據(jù)夾角公式求解． 解：∵， ∴ ∴， 所以，與的夾角的余弦值為． 點評：由圖形知向量的夾角時易出錯，如易錯寫成 ． 例5 已知三角形的頂點是

7、，，，試求這個三角形的面積． 分析：可用公式來求面積 解：∵，， ∴，， ， ∴， ， ∴． 例6 已知，，，求滿足，的點的坐標(biāo)． 分析：已知條件，，也即，，可用向量共線的充要條件處理． 解：設(shè)點， ∴，，∵， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，， 又∵，∴設(shè)， ∴， ∴∴， 所以，點坐標(biāo)為． 點評：本題采用的方法是用向量坐標(biāo)運算處理空間向量共線問題的常用方法． 4．自我檢測 (1)已知點，則點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為____________． (2)設(shè)，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為 ． (3)已知，則的最小值是

8、 ． (4)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若=a，=b，=c．則= ． (用a，b，c表示)﹒ (5)已知四邊形為平行四邊形，且，則點的坐標(biāo)為 ． (6)設(shè)向量，若， 則 ， ． (7)已知，則向量與的夾角是 ． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1．已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點，化簡下列各 表達式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量： (1)； (2)； (3)． 2．平行六面體中，設(shè)=，=，=，E、F分別是AD1、

9、BD中點，試用、、表示下列向量： (1)；(2)；(3)；(4)． 3．正方體中，= ，=，=，=，=，=， 設(shè)=λ＋μ＋γ，則= ＋ ＋ ． 4．設(shè)、、不共面，，判斷、、是否共 面． 5﹒已知空間四邊形，，，，點在上，且，為中點，試用表示． B組 6．已知三點不共線，為空間任意一點，若，試證： 點與共面． 7．證明四點在同一平面上． 8．已知，若，且垂直于軸，求． 9．已知、、是兩兩垂直的單位向量，求： (1)； (2)； (3)． 10．已知直角坐標(biāo)系內(nèi)的、、的坐標(biāo)，判斷這些向量是否共面?如果不共面，求出以 它們?yōu)槿忂吽鞯钠叫辛?/p>

10、面體的表面積： (1)； (2)． 11．已知為夾角，求． 12．已知 (1)求與夾角余弦值的大小； (2)若，且分別與垂直，求． 13. 平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都等于1，且兩兩夾角都為600，求的長． 14．已知，求： (1)△的面積； (2)△的邊上的高． 15．空間兩個不同的單位向量，都與成角． (1)分別求出和的值；(2)若為銳角，求． 知識點 題號 注意點 空間向量的線性運算 1，2，3，5 類比平面向量 空間向量的數(shù)量積 8，9，11，12，13 類比平面向量 空間向量基本定理 4，6，7， 空間向量基本定理的應(yīng)用 四

11、、學(xué)習(xí)心得 五、拓展視野 N維向量空間的起源 宇宙，一個人類永遠的話題，也是人類永遠探索的目標(biāo)． “沒人確切的知道宇宙是怎么開始的．有人推論是一場無序的災(zāi)難性爆炸使無盡的世界群不斷旋轉(zhuǎn)向黑暗--這些世界隨后有了不可思議的生命形態(tài)和天差地別的炯異．也有人相信宇宙是被某個強大實體以整體形式創(chuàng)造出來的．” 　　宇宙， 是一個空間概念． 它包括行星， 星系等實體．宇宙同時也是一個時間概念． 現(xiàn)代有人解釋宇宙為“無限的空間與時間”，正好印證了中國的一本古書<淮南子>對宇宙的定義，其中說“四方上下謂之宇， 古往來今謂之宙”． “四方上下”概括了所有空間， "古往來今"則概括了

12、部分的時間．為什么說是部分的時間呢? “古往來今”的含義是從永遠的過去到現(xiàn)在的今天． 這樣的定義沒有把從現(xiàn)在到無限的未來包括進來．如果我們把時間用一個變量 t 表示．那么“古往來今”則表示的是 t 在負無窮大到零的區(qū)間，即(-∞， 0]，如果我們設(shè)定坐標(biāo)零點為現(xiàn)在，負方向代表過去，正方向代表將來．對于無限的空間的定義(即，時間 t 從永遠的過去到永遠的將來)，就成為了(-∞， ＋∞)．那么空間呢?同樣我們可以用坐標(biāo)系的方式來定義空間．問題的關(guān)鍵就在于，我們怎么看待我們生存的空間．我們不是生活在一個2維的平面上(而古代的中國人認為地是方的，就如同我小時候想得一樣．)，而是生活在一個類似于球體的物

13、體上．這樣，很多人會說，我們生活在一個3維空間里面．這樣一個3維空間由三個坐標(biāo)軸 X， Y， Z 組成．在這樣一個3維空間中，任何一個位置p都可以用三個數(shù)(x， y， z)表示，x為位置p在X軸上的取值(也是投影)，同理，y和z也是．同時，這三條坐標(biāo)軸是正交的．何謂正交，就是三條坐標(biāo)軸互相垂直．在這個3維空間中，我們有兩點(可能是倫敦)和(可能是巴黎)，從到之間(倫敦到巴黎)的最小距離(直線距離)為D=||-||=sqrt((-)2＋(-)2＋(-)2)．在一般情況，因為各種限制，我們可能用不了最小距離，但是最小距離給我們找到一個下限． 宇宙不僅包括空間，而且包括時間，所以，我們的這個宇宙就

14、變成了3＋1=4維的了．那么宇宙就可以描述為，有了四條正交的坐標(biāo)軸．比如說事件A為表示，事件A發(fā)生在地點，發(fā)生在t時間．在這樣一個4維空間中，兩個事件之間的最小距離也可以表示出來．但是這個“距離”就不是空間上的相對位置的改變，而是表示兩個事件之間的“關(guān)系”． 跳出我們僅僅對宇宙作為時間＋空間的定義．如果我們將宇宙描述為包容萬象的，我們就會看到僅僅用時間＋空間不能來完整來表示．比如說，如何表述一個人?如何表述我們情感?僅僅用四條坐標(biāo)軸很難去表述這些東西．顯然，我們需要更多的坐標(biāo)軸．如果要表示我是高興還是悲傷，我們可以加一條坐標(biāo)軸e，e=0表示我即不高興也不悲傷，當(dāng)e取負值，越遠離坐標(biāo)原點，說明

15、我越不happy，相反，當(dāng)e取正值，越遠離坐標(biāo)原點，說明我越happy．如果我們要描敘其他的屬性，我們有加入了新的坐標(biāo)軸．如果，要描述的屬性不計其數(shù)，要加入的坐標(biāo)軸也不計其數(shù)了．顯然，這是有可能的，因為我們對事物的認識是沒有止境的，所以，當(dāng)我們要描敘一個事物時，其屬性可能無限多．這也反過來說明了宇宙的包容一切． 所以，宇宙是一個無限維的空間，定為n維空間(n=∞)，其存在n條正交的坐標(biāo)軸．無數(shù)的基本元素組成了宇宙(注意，這里的元素與化學(xué)中提到的元素不同，這里的元素是指單元)．每個元素是一個向量v， v = {v1， v2， v3， ．．．， vn}， n =∞，(其實就相當(dāng)于3維和2維空間中的一個點)．無數(shù)個向量組成的空間叫做向量空間．向量空間的維度就是坐標(biāo)軸的個數(shù)．宇宙就是一個n維向量空間