江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 2.1圓錐曲線學案（無答案）蘇教版選修2-1

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1、2．1 圓錐曲線 一、學習內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 橢圓、拋物線的定義　 掌握 學生通過用平面截圓錐面，從具體情境中抽象出圓錐曲線模型，掌握橢圓和拋物線的定義，了解雙曲線的定義． 雙曲線 了解 二、預習指導 1．預習目標 (1)認識用平面截圓錐面得到的各種曲線； (2)掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義； (3)會根據(jù)不同的已知條件，利用圓錐曲線的定義判斷動點的軌跡． 2．預習提綱 (1)查找有關(guān)軌跡的概念，回答下列問題： ①平面內(nèi)到線段兩端點距離相等的點的軌跡是____________； ②平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是_______

2、_____； ③空間中到定點的距離等于定長的點的軌跡是____________． (2)閱讀教材選修4－1的71頁到78頁，教材選修2－1的25頁到27頁寫下列空格： ①一個平面截一個圓錐面，改變平面的位置，可得到如下圖形____________， ____________，____________，____________，____________； ②平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離_____等于常數(shù)(__________)的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的__________； ③平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離____________等于常

3、數(shù)(______________)的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距； ④平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(________________)的距離________的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的_________． (3)閱讀課本例1，動手實踐借助細繩畫橢圓，結(jié)合課本27頁習題2．1第3題，動手實踐借助拉鏈畫雙曲線，并說明理由，以此加深對橢圓、雙曲線定義的認識． 3．典型例題 例1 動點P(x，y)與兩個定點A(－2，0)、B(2，0)構(gòu)成的三角形周長為10． (1)試證：動點P在一個橢圓上運動； (

4、2)寫出這個橢圓的焦點坐標． 分析：找動點P滿足的條件，利用圓錐曲線的定義． 解：(1)由題意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4． 由橢圓的定義得：動點P在以A(－2，0)、B(2，0)為焦點的橢圓上運動． (2)由(1)得：這個橢圓的兩個焦點坐標為A(－2，0)、B(2，0)． 點評：在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的定義中，條件都有特定的限制，如在具體問題中不加以判斷，會造成錯解．如本題中PA+PB=6>4是十分必要的． 在橢圓的定義中，PF1+PF2等于常數(shù)，常數(shù)大于F1F2的判斷是必不可少的．若常數(shù)等于F1F2，則軌跡是線段F1F2；若常數(shù)小于F1

5、F2，則不表示任何圖形． 在雙曲線的定義中，注意兩個限制：一是常數(shù)小于F1F2，二是差的絕對值，兩者缺一不可．若PF1－PF2是正常數(shù)且常數(shù)小于F1F2，則點的軌跡是雙曲線以F2為焦點的一支；若PF2－PF1是正常數(shù)且常數(shù)小于F1F2，則點的軌跡是雙曲線以F1為焦點的一支；若|PF1－PF2|是常數(shù)且等于F1F2，則點的軌跡是兩條射線；若PF1－PF2是常數(shù)且等于F1F2，則點的軌跡是以F2為端點與F1F2同向的射線；若PF2－PF1是常數(shù)且等于F1F2，則點的軌跡是以F1為端點與F1F2反向的射線． 在拋物線的定義中，當點F在直線l上時，則點P的軌跡是過點F與直線l垂直的直線． 例2

6、 已知圓和圓，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，試問動圓圓心M在怎樣的曲線上運動? 分析：兩圓外切，則圓心距等于半徑之和． 解： 設動圓的半徑為R，則由動圓M同時與圓C1及圓C2相外切得： 消去R得：MC2－MC1=2，故可知動點M到兩定點C1，C2的距離之差是常數(shù)2． 由雙曲線的定義得：動圓圓心M在雙曲線的一支(左邊的一支)上運動． 點評：本題由于動點M到兩定點C1，C2的距離之差是常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，因此其軌跡只能是雙曲線的一支．這一點在應用過程中要特別注意． 4．自我檢測 (1)已知點A(1，0)、B(－1，0)，動點P滿足：PA+PB=4，則動點P的軌跡是_

7、_ ． (2)已知點A(－2，0)、B(2，0)，動點M滿足：|MA－MB|=2，則動點M的軌跡是 ____ ，其兩個焦點分別為 ． (3)已知定點A(1，0)和定直線l：x= －3，若點N到定點A與到定直線l的距離相等，則點N的軌跡是 ，其焦點為 ，準線為 ． (4)已知點A(－2，0)、B(2，0)，動點M滿足：|MA－MB|=4，則動點M的軌跡是 _． (5)在△ABC中，B(0，－3)，C(0，3)，且AB，BC，AC成等差數(shù)列，

8、試證：點A在以B、C為焦點的橢圓上運動． 三、課后鞏固練習 A組 1．用合適的選項填寫下列軌跡 ( 要求只填寫序號 )①直線；②圓；③橢圓；④雙曲線；⑤雙曲線的一支；⑥拋物線；⑦線段 (1)動點P到兩定點F1(－4，0)、F2(4，0)的距離和是8，則動點P的軌跡為_______； (2)已知橢圓的焦點為F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得PQ=PF2，那么動點Q的軌跡是_________； (3)動點P到直線x+4=0的距離減去它到M(2，0)的距離之差等于2，則動點P的軌跡是___________； (4)經(jīng)過定圓外一定點，并且與定圓外切的動圓圓心的軌跡

9、是__________． 2．已知O(0，0)、A(，0)為平面內(nèi)兩個定點，動點P滿足：PO+PA=2，求動點P的軌跡． 3．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且b，a，c成等差數(shù)列，b≥c．已知頂點B、C的坐標為B(－1，0)，C(－1，0)．試證：點A在以B、C為焦點的左半橢圓上運動． 4．在△ABC中，A為動點，為定點，且滿足：，試問動點A在怎樣的曲線上運動? B組 5．圓O1與圓O2的半徑分別為1和2，O1O2=4，動圓與圓O1內(nèi)切而與圓O2外切，則動圓圓心的軌跡是_____________________． 6．已知定點A(－3，3)和定直線l：x=－3

10、，若點N到定點A與到定直線l的距離相等，則點N的軌跡是 ． 7．已知圓的方程為，點A的坐標為(－6，0)，M是圓O上的任意一點，AM的垂直平分線交OM于點P，試證明：點P在以A、O為焦點的橢圓上運動． C組 8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C為一個焦點作過A、B的橢圓，記橢圓的另一個焦點為F，證明：點F在以A(0，7)、B(0，－7)為焦點的雙曲線的一支上運動． 9．已知兩個同心圓，其半徑分別為R，r(R>r)，AB為小圓的一條定直徑，求證：以大圓切線為準線，且過A、B兩點的拋物線的焦點F在以A、B為焦點的橢圓上． 10．若一個

11、動點P(x，y)到定點F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)距離之和為定值m(m≥0)，試討論點P的軌跡． 知識點 題號 注意點 橢圓的定義 2，3，7，9，10 注意橢圓定義的前提條件 雙曲線的定義 4，5，8 注意雙曲線定義的前提條件；注意軌跡是雙曲線的哪一支 拋物線的定義 6 注意拋物線定義的前提條件 綜合問題 1 注意尋找動點滿足的等量關(guān)系 四、 學習心得 五、拓展視野 我們身邊的圓錐曲線 圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)確實是一個偉大的發(fā)現(xiàn)．在笛卡爾直角坐標系中，這些曲線的方程是二次方程，所以圓錐曲線又叫做二次曲線．對于二次曲線的價值大概還沒有人

12、會估計得過高．在我們的實際生活中處處都有圓錐曲線．例如，我們的地球繞太陽運行的軌道是橢圓，太陽系的其他行星的運行軌道都是橢圓．這個事實是由開普勒第一定律確定的，之所以沿著橢圓軌道運動，是因為每一個行星在每一個瞬間都有不超過某一個值的速度．事實證明，假如這個速度過大了，運動就會沿著拋物線或雙曲線軌道運行．相對于一個靜止的物體，并按照萬有引力定律受它吸引的物體運動，不可能有任何其他的軌道．因此，二次曲線實際上是以我們的宇宙為基礎的．又如，如果讓拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，就得到一個叫做旋轉(zhuǎn)拋物面的曲面．在拋物面的軸上，有一個具有美妙性質(zhì)的焦點，任何一條通過該點的直線由拋物面上反射出來之后，在指向上都平行于拋

13、物面的軸．而這意味著如果把探照燈做成拋物面的形狀，并且把燈泡放在焦點上，那么從拋物面上反射回來的所有光線就形成一束平行光束．這顯然是一個很大的優(yōu)點，因為正是這樣一束光線在空間中，甚至于在離光源距離相當大的情況下，很少擴散．當然，實際上我們得不到理想的平行光束，因為燈泡不是一個點，但對于實用的目的來說，只要接近于這樣的光束就夠了． 天文望遠鏡上的反射鏡也是利用拋物面的形狀制作的．它的作用剛好和探照燈的作用相反：探照燈的反射鏡把光線反射到空間，天文望遠鏡的反射面則把來自宇宙的光線聚焦到自己的焦點上．只要用放大鏡組瞄準這個焦點就行了，這樣，我們就會得到聚焦到其光線的那個星球的信息，這比肉眼觀察所能

14、提供的信息要多得多．那條不穿過雙曲線的對稱軸叫做雙曲線的虛軸．如果使雙曲線繞這條軸旋轉(zhuǎn)，那么，形成的曲面(這樣的曲面稱為單葉雙曲面)也有許多實際用處．單葉雙曲面是直紋曲面．上面有兩組母直線族，各組內(nèi)母線彼此不相交，而與另一組母線永遠相交．正是這種性質(zhì)在技術(shù)中得到了應用．例如，用直立木桿造水塔，如果把這些桿垂直地放置，那就只能得到一個很不牢固的建筑物，他會因為非常小的負荷而損壞．如果立桿時，使他們構(gòu)成一個單葉雙曲面(就是兩組母線族)，并使他們的交點處連接在一起，就會得到一個非常輕巧而又非常堅固的建筑物．許多化工廠或熱電廠的冷卻塔就是利用了這個原理． 在嘗試解決古代名題的過程中，所發(fā)現(xiàn)的各種美妙

15、曲線遠不限于螺線，蚌線和圓錐曲線．可是，不管找到了多少美妙的曲線，他們還是解決不了古代名題．要知道，正像我們還記得的那樣，要求不只是解出這些名題，而是除了直尺和圓規(guī)外，不準利用其他任何工具．而僅僅利用這兩種工具能否解決其中任何一個問題呢?這個問題該如何回答呢?如果這個答案存在的話，對這個問題給與肯定的回答，原則上顯得比給與否定的回答更容易，只不過需要嘗試才能找到這個答案．經(jīng)過或多或少接連不斷的尋找，這種題解通?？梢哉业剑陬}解不存在的情況下，事情則難辦的多．這時，只停留在普通的幾何直觀上，幾乎不可能得到所需要的答案．在這種情況下，可以對問題進行精確的代數(shù)分析，以便歸結(jié)為完成某些代數(shù)方程的不可能性證明解答這個問題的不可能性．這樣，就要求助于代數(shù)！