江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義學(xué)案(無(wú)答案)蘇教版選修2-1

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江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義學(xué)案(無(wú)答案)蘇教版選修2-1_第1頁(yè)
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1、2.5 圓錐曲線的統(tǒng)一定義 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識(shí)、方法 要求 建議 圓錐曲線的統(tǒng)一定義 了解 課本以拋物線的定義作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),設(shè)計(jì)了用電腦實(shí)驗(yàn)探索的問(wèn)題情境,在實(shí)驗(yàn)前,請(qǐng)學(xué)生大膽猜想. 最后理論證明猜想, 并進(jìn)行歸納總結(jié),得出圓錐曲線的統(tǒng)一定義. 準(zhǔn)線方程 掌握 多角度認(rèn)識(shí)a, b, c, e的幾何意義以及它們之間的關(guān)系. 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1.預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義; (2)掌握根據(jù)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求準(zhǔn)線方程的各種方法. 2.預(yù)習(xí)提綱 (1)回顧前4節(jié)的內(nèi)容,思考并回答下列問(wèn)題: ①拋物線是如何定義的? ②橢圓、雙曲線、拋物

2、線都可以用平面截圓錐面得到,這三種曲線還有沒(méi)有什么聯(lián)系? (2)閱讀課本第51-52頁(yè),鏈接http://baike.baidu.com/view/368458.htm,回答下列問(wèn)題: ①圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為:平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離之比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)01時(shí),它表示____________________,當(dāng)e=1時(shí),它表示____________________. ②橢圓(a>b>0)的準(zhǔn)線方程是_________________,雙曲線的準(zhǔn)線方程是_________,拋物線的準(zhǔn)線方程為_

3、___________,拋物線的準(zhǔn)線方程為_____________; (3)課本第51頁(yè)例1探究平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離之比等于一個(gè)位于區(qū)間(0,1)中的常數(shù)時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡.思考,當(dāng)距離之比等于一個(gè)大于1的常數(shù)時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么? 3.典型例題 (1)圓錐曲線的統(tǒng)一定義 運(yùn)用圓錐曲線的統(tǒng)一定義,有時(shí)需要構(gòu)造運(yùn)用定義的條件,對(duì)于含有字母的問(wèn)題,有時(shí)需要對(duì)字母進(jìn)行分類討論. 例1 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足 ,則P點(diǎn)的軌跡是________________________. A.兩條相交直線 B.拋物線 C.雙曲線

4、 D.橢圓 分析:從動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足的關(guān)系式產(chǎn)生聯(lián)想:表示動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(1,2)的距離,表示動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定直線l:3x+4y+12=0的距離,然后我們可以利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解. 解:將化為, 設(shè)F(1,2),l:3x+4y+12=0,則F為定點(diǎn),l為定直線,且F不在l上,因此平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F和到定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e,而且e=1,所以P點(diǎn)的軌跡是拋物線,選B. 點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵之處在于利用兩點(diǎn)之間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式,創(chuàng)設(shè)出運(yùn)用圓錐曲線統(tǒng)一定義的情境. 思考:若將動(dòng)點(diǎn)P滿足的條件給為,結(jié)果又如何? 例2

5、 若方程+=1所表示的曲線為C,給出下列四個(gè)命題: ①若C為橢圓,則14或t<1; ③曲線C不可能是圓; ④若C表示橢圓,且長(zhǎng)軸在x軸上,則14或t<1,故②正確; 若C表示橢圓,且長(zhǎng)軸在x軸上,則解得1

6、④. 點(diǎn)評(píng):本題讓我們體會(huì)到含字母的方程中字母的變化對(duì)方程所表示的曲線的影響,培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn). (2)在根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求圓錐曲線的準(zhǔn)線方程時(shí),我們要先分析曲線的類型,再求其準(zhǔn)線方程. 例3 若曲線的一條準(zhǔn)線方程為x = 10,則m的值_______ . 分析:本題可從曲線的類型入手. 解:據(jù)題意,該曲線的焦點(diǎn)在x軸上, ∴方程只能表示橢圓,且m+4>9, ∴a2=m+4,b2=9,∴c2=m-5, ∴右準(zhǔn)線方程為,∴.解得m=6或m=86. 點(diǎn)評(píng):本題考查根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求圓錐曲線的準(zhǔn)線方程的方法. 4.自我檢測(cè) (1)中心在原點(diǎn),短軸長(zhǎng)為

7、,準(zhǔn)線方程為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________ . (2)若橢圓的一條準(zhǔn)線方程是,則=______ . (3)若雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合,則雙曲線的離心率為 ________________. (4)橢圓上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為8,則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為_________. 三、課后鞏固練習(xí) A組 1.求下列曲線的準(zhǔn)線方程: (1) 16x2+9y2=144; (2) 4x2+25y2=100; (3) x2-4y2=64; (4) x2-y2=-8; (5) y2= 4x; (6) x2= -4

8、y. 2.已知P是橢圓上的一點(diǎn),則P到一條準(zhǔn)線的距離與P到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離之比為______ . 3.已知拋物線方程為,(1)若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于_____ ;(2)若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4,則點(diǎn)的坐標(biāo)為______. 4.已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為____. 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線上一點(diǎn)

9、M,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3,則M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是____________. 6. 已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),是短軸的一個(gè)端點(diǎn),線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),且,則的離心率為 . 7.已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)F(10,0)離心率e=2,則雙曲線方程為______. 8.一個(gè)橢圓的離心率為e=,準(zhǔn)線方程為x=4,對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)F(2,0),則橢圓的方程為____________. y x D F Q B O l A 9.如圖,F(xiàn)是橢圓焦點(diǎn),A是頂點(diǎn),l是準(zhǔn)線,則在下列關(guān)系:e =,e =,e =,e =,e =中,能正確表示離心率的有_________

10、__ 個(gè) B組 10.已知橢圓的離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn).若,則_______ . 11.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若,則的面積為_______ . 12.若橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A(1,-1),F(xiàn)為右焦點(diǎn),M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),則MA+2MF的最小值是_________,點(diǎn)M的坐標(biāo)為_______. 13.已知點(diǎn)M是拋物線y2=2x上一動(dòng)點(diǎn),M在y軸上的射影是N,點(diǎn)A(,4),則MA+MN的最小值是_________________. 14.已知雙曲線,M為其右支上一動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)為其右焦點(diǎn),點(diǎn)A(3,1),則MA+MF的最小值是_______________

11、__. C組 15.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為,點(diǎn)在棱上,且,點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn),且動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是_____ .(填圓、拋物線、雙曲線、直線) 16.已知橢圓,能否在此橢圓位于軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn),使它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng),若能找到,求出該點(diǎn)的坐標(biāo),若不能找到,請(qǐng)說(shuō)明理由. 知識(shí)點(diǎn) 題號(hào) 注意點(diǎn) 求圓錐曲線的軌跡或軌跡方程 7,8,15 注意圓錐曲線方程可能是非標(biāo)準(zhǔn)方程 圓錐曲線定義的應(yīng)用 1~6,9,10,11 注意曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的相互轉(zhuǎn)化 綜合問(wèn)題 12~14,16 注意幾何法求

12、最值的方法 四、自學(xué)心得 五、拓展視野 從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系   早在17世紀(jì)初,在當(dāng)時(shí)關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一個(gè)形狀的新思想的影響下,法國(guó)天文學(xué)家開普勒對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述.他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)和離心率,并指明拋物線還有一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn),直線是圓心在無(wú)窮遠(yuǎn)處的圓.從而他第一個(gè)掌握了這樣的事實(shí):橢圓、拋物線、雙曲線、圓,都可以從其中的一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€(gè),從而辯證地看到了各類圓錐曲線間的關(guān)系.   下面我們從離心率對(duì)圓錐曲線的形狀的影響入手,來(lái)研究圓錐曲線間的關(guān)系,為了討論這個(gè)問(wèn)題,我們首先在同一直角坐標(biāo)系中把橢圓、拋物線、雙曲線

13、這三種曲線的方程統(tǒng)一起來(lái).   1.橢圓、拋物線、雙曲線的統(tǒng)一方程 將橢圓按向量平移得到,即.作橢圓的半通徑(即過(guò)橢圓焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的半弦),用表示,易證,同時(shí)易知.故橢圓的方程可寫成. 類似地,將雙曲線按向量平移得到,即.作雙曲線的半通徑(即過(guò)雙曲線焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的半弦),用表示,易證,同時(shí)易知.故雙曲線方程可寫成.   對(duì)于拋物線,為半通徑長(zhǎng),離心率,它也可寫成   ,于是在同一坐標(biāo)系下,三種曲線有統(tǒng)一方程,其中是曲線的半通徑長(zhǎng),當(dāng),,時(shí)分別表示橢圓、拋物線、雙曲線.   2.從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系   設(shè)橢圓、雙曲線、拋物線有相同的半通徑,即統(tǒng)一方程中的 不變,令離

14、心率 變化,在這種情況下,我們討論曲線變化趨勢(shì). 在同一坐標(biāo)系下,作出這三種曲線如圖所示,設(shè)分別是拋物線焦點(diǎn)、橢圓的左焦點(diǎn)和雙曲線的右焦點(diǎn),則有 , , , 所以.   這說(shuō)明B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè),而C點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè).   由此,我們來(lái)看三種曲線的位置關(guān)系(由曲線的對(duì)稱性,只考慮第一象限內(nèi)的情況),從統(tǒng)一方程不難看出,當(dāng)任意取定時(shí),設(shè)橢圓、拋物線和雙曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為,有.   這說(shuō)明,雙曲線在拋物線上側(cè),而橢圓在拋物線下側(cè).   下面我們進(jìn)一步討論圓錐曲線間的關(guān)系.   (1)當(dāng)離心率e由小于1無(wú)限趨近于1時(shí),  ?。?符號(hào)“→”表示無(wú)限趨近于).即B→A.   這說(shuō)

15、明橢圓的左焦點(diǎn)無(wú)限趨近于拋物線的焦點(diǎn),且橢圓在第一象限內(nèi)向上移動(dòng)無(wú)限接近拋物線.   又因?yàn)?,所以?   由于e由小于1無(wú)限趨近于1,所以.   這說(shuō)明橢圓右焦點(diǎn)沿x軸正向趨于無(wú)限遠(yuǎn).因此可以看出,在橢圓的情況下,當(dāng)時(shí),橢圓的極限情況就是拋物線.   (2)當(dāng)離心率e由大于1無(wú)限趨近于1時(shí),   ,即C→A.   這說(shuō)明雙曲線右焦點(diǎn)無(wú)限接近于拋物線的焦點(diǎn),且雙曲線右支在第一象限內(nèi)向下移動(dòng)無(wú)限接近拋物線.   又因?yàn)椋裕?   由于e由大于1無(wú)限趨近于1,所以. 這說(shuō)明雙曲線左焦點(diǎn)沿x軸負(fù)方向趨于無(wú)限遠(yuǎn).因此可以看出,在雙曲線的情況下,當(dāng)時(shí),雙曲線的極限情況就是拋物線. (3)在橢圓情況下,當(dāng)時(shí)有   ,.   故當(dāng)時(shí),橢圓的極限情況是以點(diǎn)為圓心、以為半徑的圓.這個(gè)事實(shí)也可以從統(tǒng)一方程中,令,得到的就是這個(gè)圓的方程:.

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