江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.1函數(shù)的概念和圖象（1）學(xué)案 蘇教版必修1

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1、2．1 函數(shù)的概念和圖象(1) 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 函數(shù)的概念 函數(shù)的三要素 理解 與初中函數(shù)定義比較，理解高中函數(shù)定義，會解決函數(shù)的三要素問題，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，會作函數(shù)的圖象，利用圖象解決相關(guān)問題，注意函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用. 函數(shù)的表示方法 函數(shù)的圖象 作圖象 圖象的變換 二、 預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1． 預(yù)習(xí)目標 (1)準確利用前面所學(xué)的集合以及對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)； (2)了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域； (3)在實際問題中會用恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)； (4)了解并能應(yīng)用簡單的分段函數(shù)； (5)了解函數(shù)

2、圖象的簡單變換. 2．預(yù)習(xí)提綱： (1) 強化對函數(shù)的概念的認識 閱讀教材第21-23頁以及典型例題例1-5，教材開頭以三個問題引出函數(shù)的概念，這三個函數(shù)分別以表格、解析式、圖象形式給出的，具有一定的代表性．教材的例1和典型例題例1、例3是從“數(shù)”的角度深化對函數(shù)概念的認識，教材例2以及典型例題例4都是求函數(shù)的定義域，要注意對常見的約束條件的認識．教材例3和典型例題例4-5都是求函數(shù)的值域問題，要掌握求值域的常見方法． (2) 養(yǎng)成通過“形”(主要指圖象)來研究函數(shù)的習(xí)慣 閱讀教材第25-27頁，教材例4目的是熟悉一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象的作法，而例5是離散型的函數(shù)圖象(由一些孤立的

3、點組成)，例6是函數(shù)圖象的一個直接應(yīng)用(比大小),可以體會到圖象的直觀性的好處． (3)能夠用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎竞瘮?shù)，并能夠利用函數(shù)解決一些實際問題 閱讀教材第30-31頁，典型例題例6-8，教材例1目的是熟悉用三種常見的表示方法來表示離散的直線型函數(shù)，例2和例3都是分段函數(shù)問題，相應(yīng)地，典型例題7-8是作這樣的函數(shù)的圖象及圖象應(yīng)用．典型例題例6是求函數(shù)的解析式問題，掌握求解析式常見的方法．例7、8是函數(shù)的實際應(yīng)用，注重數(shù)學(xué)與生產(chǎn)、生活實際的聯(lián)系． (4)了解函數(shù)圖象的變換 閱讀典型例題例9-11，了解三種常見的圖象變換方式． (5)完成自我測試題 3． 典型例題 例1 判斷下列對

4、應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系． ⑴，；⑵,； ⑶為的平方根，． 分析：欲判斷一個對應(yīng)A→B是否為函數(shù)，必須抓住函數(shù)概念的實質(zhì)，即A中元素的任意性，B中元素的惟一性． 解：(1)對于任意一個實數(shù),被惟一確定,所以這個對應(yīng)是函數(shù)； (2)對于,在中沒有元素與它對應(yīng),所以這個對應(yīng)不是函數(shù)； (3)對于,有兩個元素與它對應(yīng),所以這個對應(yīng)也不是函數(shù)． 點評：函數(shù)的本質(zhì)是兩個非空數(shù)集之間的一種單值對應(yīng),把握函數(shù)定義中的“非空”、“每一個”、“惟一”三個關(guān)鍵詞,并能據(jù)此判斷一個對應(yīng)是否是函數(shù)． 例2 判斷下列函數(shù)與是否表示同一函數(shù)，為什么？ ⑴； ⑵； ⑶； ⑷． 分析

5、：相同函數(shù)是指定義域、對應(yīng)法則、值域都相同的函數(shù)，由于這些函數(shù)都是以解析形式給出，因此，可以用研究其函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則是否相同來說明兩個函數(shù)是否相同．必要的時候,可以對這些解析式等價變形，直接說明． 解：(1)中和的定義域不同,所以表示不同的函數(shù)； (2)中和的對應(yīng)法則和值域都不同,所以表示不同函數(shù)； (3)中和的對應(yīng)法則不同,所以表示不同的函數(shù)； (4)中和的定義域都是,,對應(yīng)法則也相同,所以表示相同的函數(shù)． 點評：第(4)個問題也說明了函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)形式不同,但有可能表示相同的函數(shù)． 例3 求下列函數(shù)的定義域： ⑴； ⑵； ⑶ 分析：求函數(shù)定義域首先是列

6、出對自變量的全部限制要求，使函數(shù)式各部分同時有意義；其次是對各式的求解要準確；最后借助數(shù)軸求各約束條件所表示集合的交集． 解：(1)由可得 ∴函數(shù)的定義域為； (2)由可得 ∴函數(shù)的定義域為. (3)由可得 ∴函數(shù)的定義域是． 點評：求解定義域的問題一般來講比較容易，關(guān)鍵是能正確地運算． 例4 作出下列函數(shù)的圖象： (1)，； (2)； (3)，； (4)，． 分析：(1)的圖象是線段．因為直線可以由兩點來確定,所以我們不妨就描出這條線段的兩個端點．(2)可做等價變形,轉(zhuǎn)化成我們熟悉的函數(shù)

7、這將函數(shù)關(guān)系式恒等變形，再用描點法作圖．前三個圖象都是“直線型”的,我們一般不需要列表．(3)的圖象是離散的一些點,我們描出這些點即可．(4)的圖象是拋物線的一段弧(僅包含一個端點),可以先作整個拋物線,然后截取我們所要的一部分,注意作圖需要列表． 解：(1)如圖①； (2)函數(shù)等價于．如圖②； (3)如圖③； (4)列表： x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 如圖④． 圖① 圖② 圖③

8、 圖④ 點評：對于直線型的函數(shù)圖象我們一般可以直接作圖，而作其他函數(shù)圖象應(yīng)注意規(guī)范性，一般我們采用描點法作圖，其基本步驟是：列表，描點，連線． 問：下列圖形哪些是可以作為函數(shù)的圖象． 欲判斷一個圖形是否可以作為函數(shù)的圖象，必須抓住函數(shù)概念的實質(zhì)，對定義域中的任意的x．有惟一的y與之對應(yīng),體現(xiàn)在圖象上就是任意的平行于y軸的直線跟函數(shù)的圖象至多有1個公共點．圖形(1)(3)可以作為函數(shù)的圖象，圖形(2)(4)不能作為函數(shù)的圖象． 你能寫出下列函數(shù)的值域嗎？ (1)； (2)； (3) ． 分析： 通過討論將絕對值符號去掉，

9、畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解． 解： (1)原函數(shù)即由圖①知,函數(shù)的值域是； (2)原函數(shù)即由圖②知,函數(shù)的值域是； (3)原函數(shù)即由圖③知,函數(shù)的值域是． 圖① 圖② 圖③ 點評： 對于容易作出圖象的一些函數(shù),我們可以利用函數(shù)的圖象來求最值以及值域． 圖象是函數(shù)的一種重要的表達形式，具有很強的直觀性，應(yīng)加以重視． 例5 求下列函數(shù)的值域： ⑴； ⑵，； ⑶； ⑷； (5) ； (6)； (7)

10、． 分析： 前3個函數(shù)是比較熟悉的函數(shù)，而第四個函數(shù)的定義域是由一些離散的量組成的，一般直接代入．(5)、(6)、(7) 這三個函數(shù)的解析式都比較復(fù)雜,都可以通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),但換元時要注意新元的取值范圍． 解：(1)∵,∴,∴． ∴函數(shù)的值域是； 　 (2) 列表： x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 根據(jù)函數(shù)的圖象(如右圖)知，函數(shù)的值域為. 　 (3)∵，∴(這一步可考察函數(shù) 在區(qū)間上的圖象得到)， ∴, 　　 ∴函數(shù)的值域為. (4)將一一代入,可得函數(shù)的值域為． (5)令,則． ∴

11、 ∵區(qū)間在右側(cè), ∴t取0時,y取最小值-1, ∴函數(shù)的值域為． (6)令,則, ． ∴()． ∵區(qū)間在右側(cè), ∴t取0時,y取最小值-1, ∴函數(shù)的值域為． (7)(法一)令 ∵,∴, ∴, ∴, ∴， ∴函數(shù)的值域為． (法二)由原函數(shù)解析式得， ， 又∵，∴， 解得，， ∴函數(shù)的值域為． 點評：值域是一切函數(shù)值的集合，因此，求函數(shù)值域的基本方法是由函數(shù)的定義域即x的取值范圍，通過恒等變形一步一步得到函數(shù)值的取值范圍，這種方法我們通

12、常稱為“不等量分析法”．本例的(1)、(3)都是利用這種方法得到的．(2)是利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，這種方法稱為“圖象法”．本例(5)的結(jié)構(gòu)特征比較明顯，通過換元很容易轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題，本例(6)是無理函數(shù)，且根式內(nèi)外都是一次式，也可以通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題，本例(7)可通過換元轉(zhuǎn)化成不帶有絕對值符號的函數(shù)，通過不等量分析法求解．這幾個問題是常見的利用換元法求值域的問題． 而(7)的方法二，通過考慮的取值范圍來約束的取值范圍．這種求函數(shù)值域的方法稱為“反表示法”，它適用于求能反解出自變量x或者含有x的某個表達式的函數(shù)的值域． 例6 (1)已知一次函數(shù)滿足，試求解析式； (2)已知

13、二次函數(shù)圖象的頂點是，與x軸的兩個交點間的距離為6，求該二次函數(shù)的解析式； (3)已知，求． 分析：題(1)可以先假設(shè),然后通過已知條件將系數(shù)a,b求出；題(2)也可用待定系數(shù)法，利用頂點式或兩點式求解．本例(3) 用整體的觀點看這個問題 解：(1)∵是一次函數(shù), ∴可設(shè)． ∴, 又∵ ∴，解得或， ∴． (2)由題意得：函數(shù)圖象與x軸交點為,故設(shè)． 又函數(shù)圖象過點,則,解得． ∴,即． (3)把看作一個整體,就得到, 立即就可以得到．這就是“配湊”法． 點評：一次函數(shù)和二次函數(shù)是最基本也是最重要的函數(shù)模型，求解這

14、些函數(shù)的解析式的最基本的方法是待定系數(shù)法，這取決于它們解析式的結(jié)構(gòu)特征．對于二次函數(shù)，解析式的設(shè)法一般有多種形式(例如一般式，兩點式，頂點式等)，應(yīng)根據(jù)條件靈活地選用適當(dāng)?shù)男问剑? 例7 某洗衣店，每洗一次衣服(4．5kg以內(nèi))需要付費4元，如果在這家店洗衣10次， 洗衣次數(shù)n 5 9 10 11 15 洗衣費用c 則其后可以免費洗一次．如果某人在這家店洗了15次， (1)根據(jù)題意填寫表格，并用圖象法將洗衣費用表示成洗衣次數(shù)的函數(shù)； (2)寫出當(dāng)時函數(shù)的解析式，并求其值域． 分析：由題意10次以內(nèi)每次4元，10次以外可優(yōu)惠一次，故是分段函數(shù)，

15、分別寫出表達式． 解：(1)空格依次填入：20,36,40,40,56； 圖象為五個點((5,20),(9,36),(10,40),(11,40),(15,56)),圖略． (2)函數(shù)的解析式為 值域為． 點評：本例是離散型的分段函數(shù)的一個實際應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂題意，理清一些量之間的關(guān)系． 例8 某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價20元，茶杯每只定價5元，該商店制定了兩種優(yōu)惠方法：(Ⅰ)買一只茶壺贈送一只茶杯；(Ⅱ)按總價的92%付款． 某顧客購茶壺4只，茶杯若干只(不少于4只)，若購買茶杯數(shù)為x(只)，付款數(shù)為y(元)，試分別建立兩種優(yōu)惠方法中y

16、與x間的函數(shù)關(guān)系式，并討論該顧客買同樣多的茶杯，兩種方法哪一種更省錢． 分析： 解決此問題的關(guān)鍵是要建立兩種優(yōu)惠辦法的函數(shù)關(guān)系式，然后比較當(dāng)x取相同值時，哪種函數(shù)的函數(shù)值小，則哪種優(yōu)惠辦法最省錢． 解： 優(yōu)惠辦法(Ⅰ)：,即． 優(yōu)惠辦法(Ⅱ)：,即． 令． 當(dāng)時,,即,此時優(yōu)惠辦法(Ⅰ)省錢； 當(dāng)時,,即,此時兩種優(yōu)惠辦法同樣省錢； 當(dāng)時,,即,此時優(yōu)惠辦法(Ⅱ)省錢． 點評： 本例也是一個比較容易的實際應(yīng)用問題，值得注意的是解題的規(guī)范，應(yīng)用問題的一般解決步驟是：建立函數(shù)模型，解決函數(shù)模型，回歸到實際問題中去．一般來講，應(yīng)用問題需要一些必要的文字說明，以便于

17、有條理地表達． 例9 (1)已知函數(shù)，在同一直角坐標系中畫出，，，，的圖象，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ (2)函數(shù)的圖象可以由的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到？ (3)試作出函數(shù)的示意圖． 分析：(1)可先求出各函數(shù)的解析式；(2)可用描點法作出函數(shù)圖象,也可根據(jù)(1)的結(jié)論；(3)． 解：(1) 通過觀察上面的圖象,我們可以發(fā)現(xiàn)： 的圖象是有的圖象向右平移1個單位得到的； 的圖象是有的圖象向左平移1個單位得到的； 的圖象是有的圖象向下平移1個單位得到的； 的圖象是有的圖象向上平移1個單位得到的

18、． (2)函數(shù)的圖象可以由的圖象先向左平移2個單位,再將所得的 圖象向上平移3個單位得到． (3)．因此,的圖象可由的圖象先向左平移 2個單位,再向上平移3個單位得到．示意圖如下： 點評：平移變換是函數(shù)圖象變換中最簡單最基本的變換，它的變換規(guī)律應(yīng)該掌握．利用圖象的平移變換可以根據(jù)基本函數(shù)的圖象作一些非基本函數(shù)的示意圖,便于我們研究函數(shù)的一些簡單性質(zhì)． 例10 (1)已知函數(shù)，分別求作的圖象, 從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ (2)已知函數(shù)的圖象，分別畫出和的圖象． 分析：(1)可以把具體的解析式先求出來,然后作出圖象,求解析式時注

19、意分類討論．(2)可以根據(jù)(1)所得出的規(guī)律作圖． 解： (1) 通過圖象,我們可以發(fā)現(xiàn)的圖象是在的圖象基礎(chǔ)上保留軸上及軸 右側(cè)的圖象,去掉左側(cè)的圖象,再把軸右側(cè)的圖象對稱到左側(cè),的圖象是在 的圖象基礎(chǔ)上保留軸上及軸上方的圖象不變,將軸下方的圖象翻折到 軸上方． (2) 點評：翻折變換是函數(shù)圖象變換中基本的變換之一，它的變換規(guī)律應(yīng)該掌握．翻折變換一般與函數(shù)自變量或者函數(shù)值加絕對值符號有著緊密聯(lián)系． 例11 已知函數(shù)，在同一坐標系中，作出的圖象，并觀察的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？ 分析：可先作圖象,再比較它們之間的關(guān)系． 解：容易作出三個函數(shù)在同一坐

20、標系中的圖象,如下圖所示： 根據(jù)圖象我們可以發(fā)現(xiàn)：的圖象可以有的圖象關(guān)于軸對稱得到；的圖象可以由的圖象關(guān)于軸對稱得到． 點評：對稱變換是函數(shù)圖象變換中基本的變換之一，它的變換規(guī)律也應(yīng)該掌握． 4． 自我檢測 (1) 給出以下四個命題，其中正確的是 ．(填序號) ①f是從集合A到集合B的函數(shù)，則A為該函數(shù)的定義域，B為該函數(shù)的值域； ②是函數(shù)； ③函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)； ④函數(shù)與函數(shù)的值域相同． (2)函數(shù)的定義域為 ． x 1

21、2 3 f (x) 2 3 1 (3) 已知函數(shù)由下表給出，則= ；滿足的x的值是 ． (4)某電信部門規(guī)定：從甲地到乙地通話m min的電話費由 (單位：元)給出，其中，是大于或等于m的最小整數(shù)(如),則從甲地到乙地通話時間為6．5min的電話費為 元． (5)下列命題中,正確的命題的序號是 ． ①函數(shù)的圖象可由的圖象沿著軸向下平移3個單位而得到； ②函數(shù)的圖象可以由的圖象沿著軸向左平移2個單位而得到； ③與的圖象關(guān)于軸對稱； ④與的圖象關(guān)于軸對稱． (6)求下列函數(shù)的值域： ①, ；② y=x4+6x2+

22、9；③ y =． (7)設(shè)作出f (x)的圖象，并根據(jù)圖象寫出f (x)的值域． (8)作出函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出f (x)的值域． (9)①已知a、b為常數(shù)，若，，求5a-b的值； ② 已知，求. (10)甲、乙兩地相距150千米，某貨車從甲地運送貨物到乙地，以每小時50千米的速度行駛，到達乙地后將貨物卸下用了1小時，然后以每小時60千米的速度返回甲地．從貨車離開甲地起到貨車返回甲地為止，設(shè)貨車離開甲地的時間和距離分別為x小時和y千米，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式． 三、 課后鞏固練習(xí) A組 1．集合，下列對應(yīng)是否能表示從P到Q的函數(shù)： (1)； (2)； (3)

23、； (4) . 2．判斷下面的對應(yīng)是否是從P到M的函數(shù)： (1)P=N，； (2)P=Q，M={無理數(shù)}，； (3)P=，M=R，． 3．如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機，若輸入a的值為，則輸出的結(jié)果為 ；若輸入 實數(shù)x，輸出的結(jié)果為，則的解析式是 ． 4．已知從集合A到B的函數(shù)，從集合B到C的函數(shù)，這樣可以得到一個從A到C的函數(shù)為 ． 5．右圖為函數(shù)的圖象，試寫出的解析式． 6．已知函數(shù)是二次函數(shù)，且，求的解析式． 7．為慶祝兵團成立50 周年，某校

24、組織合唱匯演，高一年級排列隊形為10排，第一排20人，后面每排比前排多1人，寫出每排人數(shù)與這排的排數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為____________，自變量的取值范圍是______________． 8．判斷下列各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) . 9．(1)已知函數(shù)，則= ，= ； x 0 1 2 3 f (x) 3 2 1 0 g (x) 1 0 3 2 (2)已知與分別由右面的表格給出，則 ， ，， ． 1

25、0．已知則 ； ； ． 11．函數(shù)，則的值是 ． 12．設(shè)函數(shù)，k為的小數(shù)點后的第n位數(shù)，.求下列各式的值：= ；= ；= ． 13．已知，使函數(shù)值為10的的值為 ． 14．求下列函數(shù)的定義域： (1)；(2)；(3)． 15．右圖為函數(shù)的圖象，則該函數(shù)的定義域是 ， 值域是 ． 16．函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍． 17．，，則的值域為 ． 18．的值域是 ． 1

26、9．函數(shù)的值域是 ． 20．二次函數(shù)的圖象開口向下，且，試比較和的大?。? 21．試作出函數(shù)的圖象，并寫出當(dāng)時函數(shù)的值域． 22．試作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題： (1)比較，，的大?。? (2)若，試比較與的大小； (3)求在上的值域． 23．畫出函數(shù)的圖象，試給出的定義域，并求 的值． 24．將函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式是 ． 25．已知的圖象恒過點，則的圖象恒過 ． 26．右圖為函數(shù)的圖象，且其定義域為，試

27、畫出 的示意圖． 27．已知，求作的圖象， 并比較和的大小． 28．已知函數(shù)的值域是，函數(shù)的值域為 ，函數(shù)的值域為 ． 29.分別求下列函數(shù)的最值： （5）． 30．已知函數(shù)的值域為，求實數(shù)的值． 31．分別求下列函數(shù)的值域 （1）； （2）； （3）,； （4） . 32．設(shè)表示中較小者，求函數(shù)的最大值． B組 33．函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)可能是 ． 34．一個函數(shù)發(fā)生器，當(dāng)輸入x后，經(jīng)過發(fā)生器的作用，便輸出．此時發(fā)生器立即對輸出值作一個判斷：若輸出值超過99．9，則發(fā)生器

28、停止工作；若輸出值不超過99．9時，它會自動將輸出值作為新輸入值輸入，經(jīng)過發(fā)生器的作用，再作同樣法則運算后輸出……，最終，打印機會依次打印出這些輸出值． (1)若輸入值為10，則打印機打印出何種結(jié)果？ (2)若輸入值a后，打印機只打印出了a，問a為多少？ (3)若輸入值b后，打印機打印出了2個值，求b的取值范圍？ 35．若，為常數(shù)且，且，求的值． 36．已知的定義域是F，函數(shù)的定義域是G，全集U=R，那么等于 ． 37．已知函數(shù)的定義域為A，的定義域為B，求使的實數(shù)的取值范圍． 38．已知函數(shù)，若在R上恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 39．

29、設(shè),則的值是 ． 40．設(shè)函數(shù)滿足，求的值． 41．若= ，求的解析式． 42．已知函數(shù)的定義域為非零實數(shù)組成的集合,且滿足,求函數(shù)的解析式． 43．若函數(shù)，則= ． 44．已知，則 = ． 45．設(shè)，當(dāng)時，的值有正有負，求實數(shù)的取值范圍． 46．已知函數(shù)的定義域為． (1)求的定義域；(2)求的定義域． 47．若的定義域為，則函數(shù)的定義域為___________． 48．函數(shù)的圖象可以先由的圖象向 平移 個單位，得到的圖象，再 而得到

30、． 49．函數(shù)的圖象可以經(jīng)過下列兩種方法而得到： (1)先將的圖象關(guān)于 對稱而得到的圖象，再向 平移 個單位而得到； (2)先將的圖象向 平移 個單位得到的圖象， 再關(guān)于 對稱而得到． 50．若函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的對稱中心為 ． 51．一次函數(shù)的圖象為C，C關(guān)于軸對稱的圖形是C1，C1關(guān)于軸對稱的圖形是C2，若C2與C重合，求，的取值或取值范圍． 52．（1）求函數(shù)的值域． (2) 53.已知函數(shù)的值域為，求函數(shù)的值域． 54.已知關(guān)于的函數(shù)，，求的最大值． 55.已知，求的值域． 56.已知

31、函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，求實數(shù)的值． 57．已知函數(shù)的定義域為，值域為，試求的取值范圍． 58．已知函數(shù)的定義域和值域都是，求的值． C組 59．已知函數(shù),那么，求 的值． 60．若B={0，1，2}，試找出所有的集合A，使得是從A到B的函數(shù)． 61．對應(yīng)：是否是函數(shù)關(guān)系？若對應(yīng)為函數(shù)，則集合最多有幾個元素？并求此時函數(shù)的值域． 62．函數(shù)有三要素：對應(yīng)法則、定義域和值域．一般地，如果對應(yīng)法則與定義域都確定了，那么函數(shù)的值域也就確定了；但已知一個函數(shù)的定義域和值域，對應(yīng)法則卻不唯一．今知一個函數(shù)的定義域和值域均為[－1，4]，試用解析法寫出兩個滿足這樣條件的函數(shù)，并根據(jù)

32、所寫解析式和已知定義域?qū)χ涤蜻M行驗證． 63．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)的解析式為 ，值域為{1,4}的“同族函數(shù)”共有 個． 64．設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個不相等的實根，又，求的定義域及解析式．你能畫出的圖象嗎？若能，請根據(jù)圖象說出的值域． 65．若實數(shù)滿足，求的取值范圍. 66．已知函數(shù)，若恒成立，求函數(shù) 的值域 67．已知二次函數(shù)是常數(shù)，且滿足條件：且方程 有等根．(1)求的解析式；(2)問是否存在實數(shù)使的定義域和值域分別為和，如存在，求出的值，如不存在，說明理由． 的值域． 68．根據(jù)定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象，

33、 作出的圖象，并求的定義域與值域． 知識點 題號 注意點 函數(shù)的概念 定義： 定義域： 值域： 解析式： 比較函數(shù)的初中、高中定義，理解函數(shù)的本質(zhì)，學(xué)會求函數(shù)定義域、值域、解析式的方法. 函數(shù)的圖象 圖象： 圖象變換： 會作函數(shù)的圖象，利用圖象與圖象變換解決相關(guān)問題，注意運用數(shù)形結(jié)合思想. 實際問題 注意自變量的實際意義，函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用. 綜合問題 各知識點的聯(lián)系 探究問題 靈活運用函數(shù)知識 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 函數(shù)定義溯源 函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念之一.在古代數(shù)學(xué)中已經(jīng)知道一大類特殊

34、的函數(shù)關(guān)系并加以系統(tǒng)研究，但函數(shù)中變量依賴的思想并沒有明顯地表達出來，函數(shù)也不是獨立的研究對象.函數(shù)概念的雛形在中世紀才開始出現(xiàn)在科學(xué)文獻中，與解析幾何學(xué)的產(chǎn)生有密切聯(lián)系. 在14世紀，法國數(shù)學(xué)家奧雷姆用圖線表示依時間t而變化的量x，并稱t為“經(jīng)度”，x為“緯度”，在平面上建立了點與點的對應(yīng).在16世紀，英國數(shù)學(xué)家哈理奧特用直角坐標的概念求出曲線的代數(shù)方程.后來費馬取兩相交直線，并以到兩直線的距離來規(guī)定點的位置，從而導(dǎo)出圓錐曲線的方程.1637年，笛卡兒出版了《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》，在其著名的附錄《幾何學(xué)》中，他引入了變量的思想，稱一些量為“未知和未定的量”， 但他沒有使用

35、“變量”這一術(shù)語（在數(shù)學(xué)上最早使用“變量”這個詞的是約翰·貝努利）.笛卡兒把變量引入了數(shù)學(xué)，他指出了平面上的點與實數(shù)對（x，y）之間的對應(yīng)關(guān)系.當(dāng)動點作曲線運動時，它的x坐標和y坐標相互依賴并同時發(fā)生變化，其關(guān)系可由包含x、y的方程式給出.相應(yīng)的方程式揭示了變量x和y之間的關(guān)系.以上這些工作都孕育了函數(shù)的思想. “函數(shù)”作為數(shù)學(xué)術(shù)語是萊布尼茨首先采用的.他在1692年的論文中第一次提出函數(shù)這一概念，但其含義和現(xiàn)在不同.他起初用函數(shù)一詞表示x的冪（即x，x2，x3，…），后來他又用函數(shù)一詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等幾何量.現(xiàn)在一般把萊布尼茨引用的函數(shù)概念的最初形式看作是函數(shù)的第一個

36、定義.把函數(shù)理解為冪的同義語，可以看作是函數(shù)概念的解析起源；用函數(shù)表示某些幾何量，可以看作是函數(shù)概念的幾何起源. 隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，函數(shù)的定義不斷地改進和明確.歷史上的每一個階段，函數(shù)都有它相應(yīng)的定義. 約翰·貝努利（1718）：“一個變量的函數(shù)是指由這個變量和常量以一定方式構(gòu)成的一種量”. 18世紀，歐拉曾先后給出函數(shù)的三種定義： 1．將函數(shù)定義為“解析表達式”.他在1748年寫道：“變量的函數(shù)是一個解析表達式，它是由這個變量和一些常量以任何方式組成的”. 2．將函數(shù)定義為“由曲線確定的關(guān)系”：“在xy平面上徒手畫出來的曲線所表示的y與x間的關(guān)系”. 3．將函數(shù)定義為“變量之間的依

37、賴變化”.1755年他說：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之而變化，則將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”. 拉格朗日（1797）：“所謂一個或幾個量的函數(shù)是指任意一個適于計算的表達式，這些量以任意方式出現(xiàn)在表達式中.表達式中可以有（也可以沒有）其他一些被視為具有給定和不變的值的量.因此，在函數(shù)中，我們僅考慮那些假定是變化的量而不去關(guān)心可能包含在其中的常數(shù)……一般地，我們用字母f或F放在一個變量的前面以表示該變量的任意一個函數(shù)，即表示依賴于這個變量的任何一個量，它按照一種給定的規(guī)律隨著那個變量一起變化.” 傅立葉（1822）：“一般地，函

38、數(shù)f（x）代表一系列的值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的.對于無限多個給定的橫坐標x的值，有同樣多個縱坐標f（x）.所有的縱坐標都有具體的數(shù)值，或是正數(shù)，或是負數(shù)，或是零.我們不假定這些縱坐標要服從一個共同的規(guī)律，它們以任意一種方式一個接一個地出現(xiàn)，其中的每一個都像是作為單獨的量而給定的.” 柯西（1823）：“如果在一些變量之間有這樣的關(guān)系，使得當(dāng)其中之一的值被給定時，便可得出其他所有變量的值.此時，我們通常認為這些變量由它們之中的一個表出，于是這一個量被稱為獨立變量，其他被獨立變量所表示的量就被稱為這個變量的函數(shù).” 羅巴切夫斯基（1834）：“函數(shù)的一般概念要求x的函數(shù)是一個數(shù)，它

39、對每一個x是給定的并逐漸地隨x變化.函數(shù)的值可以這樣給出，或者用一個解析表達式或者用一個條件，使它能給出試驗所有數(shù)的方法并選定其中之一；或者最后，存在一種依賴性，它的具體形式不必知道.” 狄利克雷（1837）：“讓我們假定a和b是兩個確定的值，x是一個變量，它順序變化取遍a和b之間所有的值.于是，如果對每個x，有唯一的一個有限的y以如下方式與之對應(yīng)：即當(dāng)x連續(xù)地通過區(qū)間到達b時，y=f（x）也類似地順序變化，那么y被稱為該區(qū)間中x的連續(xù)函數(shù).而且，完全不必要求y在整個區(qū)間中按同一規(guī)律依賴于x，確實沒有必要認為函數(shù)僅僅是可以用數(shù)學(xué)運算表示的那種關(guān)系.按幾何概念講，x和y可想象為橫坐標和縱坐標，

40、一個連續(xù)函數(shù)呈現(xiàn)為一條連貫的曲線，a和b之間的每個橫坐標，曲線上僅有一個點與之對應(yīng).” 黎曼（1851）：“我們假定Z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值.若對它的每一個值，都有未定量W的唯一的一個值與之對應(yīng)，則稱W為Z的函數(shù)……” 漢克爾（1870）：“f（x）稱作x的一個函數(shù)，如果對于某個區(qū)間內(nèi)的每一個x的值都有唯一的和確定的f（x）的一個值與之對應(yīng).而且，f（x）從何而來，如何確定，是否由量的解析運算或其他什么方式得到，這些都無關(guān)緊要，所需的只是f（x）的值在各處都是唯一確定的.” 戴德金（1887）：“系統(tǒng)S上的一個映射蘊含了一種規(guī)則，按照這種規(guī)則，S中每一個確定的元素s都對

41、應(yīng)著一個確定的對象，它被稱為s的映象，記作φ（s）.我們也可以說，φ（s）對應(yīng)于元素s，φ（s）由映射φ作用于s而產(chǎn)生或?qū)С?；s經(jīng)映射φ變換成φ（s）.” 皮亞諾（1911）：“函數(shù)是一種特殊的關(guān)系.根據(jù)這種關(guān)系，變量的每一個值都對應(yīng)著唯一的一個值.一個函數(shù)是一個關(guān)系u，使得當(dāng)兩對數(shù)y；x和z；x（第二個元素相同）滿足u時，必然有y=z，無論x，y，z可能是什么.” 凱里（1917）：“一般而論，兩類數(shù)之間的一個對應(yīng)可稱作一個函數(shù)關(guān)系，如果第一類中的每一個數(shù)都有第二類中的一個數(shù)與之對應(yīng).跟第一類中的數(shù)相應(yīng)的變量稱為獨立變量，跟第二類中的數(shù)相應(yīng)的變量稱為應(yīng)變量.因此，我們可以說，獨立變量和應(yīng)

42、變量之間存在一個函數(shù)關(guān)系，或像通常所說，稱應(yīng)變量是獨立變量的函數(shù)……” 庫拉托夫斯基（1921）：“集合（a，b）={{a}，{a,b}}稱為一個序偶.設(shè)f是一個序偶的集合，如果當(dāng)（x，y）∈f且（x，z）∈f時y=z，則f稱為一個函數(shù).” 布爾巴基（1939）：“設(shè)E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同.E中的一個變元x和F中的變元y之間的一個關(guān)系稱為一個函數(shù)關(guān)系，如果對每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它與x滿足給定的關(guān)系.” 我國“函數(shù)”一詞，是清代數(shù)學(xué)家李善蘭在《代微積拾級》中最先使用的.這本書把函數(shù)定義為：“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù).”這里的“函”是包含的意思.這

43、定義大致相當(dāng)于歐拉的解析表達式定義，在一個式子中“包含”著變量x，那么這個式子就是x的函數(shù). 19世紀70年代，康托的集合論出現(xiàn)之后，函數(shù)便明確地定義為集合間的對應(yīng)關(guān)系：設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射，記作f：A→B.如果集合A，B都是非空的數(shù)集合，那么A到B的映射f：A→B就叫做從A到B的函數(shù).這是新課程實施前人民教育出版社的全日制普通高級中學(xué)教科書上的定義.我們目前使用的是江蘇教育出版社出版的普通高中課程課程標準實驗教科書，先講函數(shù)，再講映射，因此函數(shù)定義為：設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù).