江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 2.2指數(shù)函數(shù)學案 蘇教版必修1

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1、2.2 指數(shù)函數(shù) 一、 學習內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 根式 了解 會進行根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化. 分數(shù)指數(shù)冪 理解 從實際背景和定義兩個方面理解分數(shù)指數(shù)冪，能熟練運用指數(shù)運算性質(zhì)進行化簡、計算，并能運用公式簡化運算過程． 指數(shù)函數(shù) 理解 要先學會畫它們的圖象，觀察它們的圖象，充分利用圖象來研究它們的性質(zhì)和解決一些問題. 二、 預(yù)習指導 1. 預(yù)習目標 (1)通過具體實例(如細胞分裂，考古中所用的的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等)，了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景認識學習指數(shù)函數(shù)的必要性；理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，理解次方

2、根與次根式的概念，熟練掌握用根式與分數(shù)指數(shù)冪表示一個正實數(shù)的算術(shù)根；能運用有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行運算和化簡，會進行根式與分數(shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化. (2)理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，能利用函數(shù)的平移與對稱變換，討論指數(shù)函數(shù)的圖象；能運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較兩個指數(shù)式值的大小，能研究一些與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等問題.在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 2. 預(yù)習提綱 (1)復習八年級(上)P51-52頁平方根的定義與性質(zhì)、P55-56立方根的定義與性質(zhì)；九年級(上)

3、P58-59二次根式的定義與性質(zhì). (2)閱讀課本P45-46頁次實數(shù)方根的定義與性質(zhì)；分數(shù)指數(shù)冪的定義與運算性質(zhì)；P49-50頁指數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)(完成下列表格空白處). y=ax(01) 圖象 性質(zhì) (3)①閱讀課本P46-47的例題 例1講的是簡單根式的運算，總結(jié)用到的運算性質(zhì). 例2講的是簡單分數(shù)指數(shù)冪的運算，總結(jié)用到的運算性質(zhì). 例3講的是根式化為分數(shù)指數(shù)冪，總結(jié)方法. ②閱讀課本P50-54的例題 例1 比較兩

4、個同底數(shù)冪大小，可以構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解決.總結(jié) 比較同底數(shù)冪的大小的方法. 例2 構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解決未知量的取值范圍. 例3作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，說明它們與函數(shù)的圖象的關(guān)系. 總結(jié)：一般地，函數(shù)與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系. 例4、例5、例6是指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用，體會三道例題寫出了解析式的方法，體會函數(shù)模擬的作用.你能舉兩個具有指數(shù)函數(shù)模型的實際問題嗎？ 3. 典型例題 (1) 分數(shù)指數(shù)冪及其運算 例1 計算：(1)； (2)÷47. 分析：(1)式中可將小數(shù)指數(shù)冪化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，再用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡； (2)式中注

5、意. 解：(1) 原式==； (2) 原式== 點評：要注意分數(shù)指數(shù)冪的，，等運算性質(zhì)是在底數(shù)為正數(shù)時才成立的. 例2 化簡：(1) ； (2) 分析：分數(shù)指數(shù)冪和根式形式同時出現(xiàn)時，一般統(tǒng)一化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，便于使用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行化簡. 解：(1) 原式= =； (2) 原式 點評：計算時要靈活應(yīng)用：平方差：， 立方差：，立方和：等公式． (2) 圖象問題 例3 在同一坐標系中畫出函數(shù)y=3x與的圖象，并說出它們之間的關(guān)系. 分析：列表描點作圖，注意圖象的變化趨勢. 解：如圖，作出三個函數(shù)、、 和的圖

6、象，可以看出 點評：利用指數(shù)函數(shù)的圖象直觀感覺函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換.一般的，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)的圖象向左平移1個單位得到函數(shù)的圖象. 例4 畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象回答： (1)的單調(diào)區(qū)間是什么？ (2)k分別為何值時，方程|3x–1|=k無解？只有一解？有兩解？ 分析：(1)圖象有兩種畫法，法一：解析式改寫成 ，分兩段畫出圖象，其中的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱 ；法二：的圖象可由在軸上方的圖象不變，軸下方圖象對稱翻折到軸上方而得.(2)兩函數(shù)與圖象交點的個數(shù)，即為方程|3x–1|=k解的個數(shù)，所以只要平移直線，觀察它與的圖象的交點個數(shù)即可.

7、 O 1 解： (1) 如圖：作出函數(shù)的圖象，由圖可知，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是； (2)平移直線， 當時，直線與 的圖象無交點，故方程無解； 當時，直線與 的圖象有一個交點，故方程只有一解；當時，直線與 的圖象有兩個交點，故方程有兩解. 點評：分兩段畫圖時，一般先畫全體再按范圍截?。焕玫膱D象進行平移、翻折變換時，注意它的漸進線也要帶著變換. (3) 性質(zhì) 例5 求下列函數(shù)定義域 (1) ； (2) ． 分析：先列出使函數(shù)解析式有意義的不等式或不等式組，再準確解之. 解：(1) 由題得：，∴定義域為

8、. (2) 由題得：，即，即，∴定義域為 點評：在解指數(shù)不等式時，關(guān)鍵是將不等式兩邊化為同底，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解． 例6 求下列函數(shù)的值域： (1) ； (2)(為大于1的無理數(shù))； (3) 分析：(1)畫圖即可；(2)令，先求的范圍，再求的范圍；(3)令，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題. 解：(1) 函數(shù)在上單調(diào)遞減，故時，時， ∴值域為. (2) 令，則， 且在上單調(diào)遞增，∴值域為. (3) 令，則 為開口向下的拋物線，對稱軸為，∵，∴值域為. 點評：對于復合函數(shù)的值域問題，主要是通過換元法將其化歸為所熟悉的初等函數(shù)的值域來解決，但要特別注意

9、換元后元的范圍. 例7 比較下列各組數(shù)的大?。? (1)； (2)； (3),. 分析：(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(2)都化為以2為底的指數(shù)冪形式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(3)無法化為同底，插入中間量. 解：(1)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，且， ∴； (2)∵，且是R上的單調(diào)遞增函數(shù) ∴ (3),, 點評：應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比大小，關(guān)鍵是化為同底，同時關(guān)注底數(shù)與1的關(guān)系.不能化同底時常借助中間量1、0等來過渡． 例8 已知函數(shù)，證明：在(0，1)上是減函數(shù). 分析：用函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性的基本步驟是：取值、作差(同正時也可考慮作

10、商)、變形、定號、下結(jié)論. 解：在(0，1)上任取，且，則 ∵，∴，，， ∴，即，故在(0，1)上單調(diào)遞減. 點評：對“”的變形是關(guān)鍵，目標是將其分解成若干因子的積或商的形式. 例9 　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)； (2) 分析：(1)(2)都可看成指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復合函數(shù)，利用復合法則求單調(diào)區(qū)間. 解：(1) ∵函數(shù)是由函數(shù)，與函數(shù)復合而成，且 為單調(diào)遞減函數(shù)，∴要求的單調(diào)遞增區(qū)間，即求的減區(qū)間，即，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為；同理，的單調(diào)遞減區(qū)間為 (2) 函數(shù)是由函數(shù)及函數(shù)復合而成，∵單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間

11、. 點評：指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復合函數(shù)單調(diào)性的討論，往往利用單調(diào)性的復合法則，要注意復合法則“同增異減”. 例10 判斷函數(shù)的奇偶性. 分析：先求函數(shù)的定義域，再求，也可求，看其是否為0. 解：∴定義域為，關(guān)于原點對稱. 法一： ∴是偶函數(shù). 法二： =0.所以，是偶函數(shù). 點評：對的變形要時刻關(guān)注或的形式，不斷對比.如果變形有困難，也可求. 例11 若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值； 分析：用定義法或用特殊值法 解：法一：是奇函數(shù)，， 即，即 ∴

12、 法二：∵函數(shù)為奇函數(shù)，且在x＝0處有定義，　∴， 即，∴此時，，滿足總成立， ∴ 點評：根據(jù)一組特殊值f(-x1)= -f(x1)解得的a，需再驗證a是否對所有的定義域內(nèi)的都有成立. 例12 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2％，試解答下面的問題. (1) 寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式； (2) 計算10年以后該城市人口總數(shù)；(精確到0.1萬人) 分析：根據(jù)題意，運用指數(shù)函數(shù)模型可以解決這個實際問題. 解：(1) 1年以后該城市人口總數(shù)為； 2年以后該城市人口總數(shù)為 ； …… x年以

13、后該城市人口總數(shù)為. (2) 10年后該城市人口總數(shù)為(萬人) 答：(1) 城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式為 ；(2) 10年后該城市人口總數(shù)約為(萬人) 點評：需要用計算器計算. 4. 自我檢測 (1)化簡： ；． (2)計算；． (3)下列函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥. 是指數(shù)函數(shù)的有_____________． (4)函數(shù)的值域是_____________． (5)把函數(shù)的圖象向________平移________個單位得函數(shù)的圖象． (6)不等式的解集是_____________． 三、 課后鞏固練習 A組 1．計算：

14、 (1) _____________． (2)=_____________ ． 2．化簡 (1) 時，=______________．. (2) = _____________． 3．(1)若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則a=_________． (2)已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2，3)，則f(-2)= _________． 4．比較下列各組數(shù)的大?。? (1) ； (2) ； (3) ． 5．解下列不等式： (1)； (2)． 6．求下列函數(shù)的定義域： (1) ； (2) ． 7．求下列函數(shù)的值域

15、 (1)f (x)=–1， ； (2)； (3) ； (4)； (5) ． 8．(1)若的圖象恒過定點P，則點P坐標為_____________． (2)已知0

16、______． 9．(1)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_______________． (2)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為________________． (3)若函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）的最大值為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為________________． 10．(1)已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則__________． (2)設(shè)a＞0，f(x)＝是R上的偶函數(shù)，則a的值為__________． 11．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，求的表達式．. B組 12．某種商品在今年1月降價10％，在此后由于市場供求關(guān)系的影響，價格連續(xù)三次上漲，要使目前售價與1月降價前的價格相同，則這三次價格平均回升率等于

17、__________． 13. (1) 若,求的值． (2)已知,求的值． (3) 已知ax+a-x=u，其中a>0，x∈R，將下列各式分別用u表示出來： ① ②． 14．二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=()x的圖象只可能是 ( ) 15．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則f(2x)= __________． 16．怎樣由函數(shù)y=4x的圖象，通過適當?shù)淖儞Q得到函數(shù)的圖象？ 17．已知，試求f(x)>g(x)的解集． 18．若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是__________．

18、 19．設(shè)定義上的運算：，則函數(shù)的最大值是__________． 20．函數(shù)f(x)=ax(a＞0，a≠1)在［1，2］中的最大值比最小值大，則a的值為 ． 21．已知函數(shù)在[-1,1]上最大值為14，求實數(shù)的值． 22．若為奇函數(shù)，求b的值． 23．已知函數(shù)，且，函數(shù)的定義域為． (1)求的解析式； (2)求的單調(diào)區(qū)間； (3)求的值域． 24．設(shè)， (1)若0

19、 C組 26．若函數(shù) 則不等式的解集為____________． 27．關(guān)于x 方程有負根，則a的取值范圍為______________． 28．已知函數(shù)若存在使則b的取值范圍為________________． 29．設(shè)，如果當時，有意義，則實數(shù)a的取值范圍是___________________． 30．已知函數(shù) (其中，為常量，且，)的圖象經(jīng)過點A(1,6)，B(3,24)． (1)求； (2)若不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 31．閱讀不等式的解法： 由得，顯然在定義域內(nèi)是減函數(shù)，又當時，，即；當時，， 所以不等式的解集為.利用解此題的方法證明：有惟

20、一解． 32．富蘭克林是美國著名的科學家、社會活動家，他的業(yè)績遍及19個科技領(lǐng)域．這位科學家死后只留下了一千英鎊的遺產(chǎn)，然而他卻留下了幾十萬英鎊的遺囑，這份有趣的遺囑內(nèi)容是這樣的：“一千英鎊贈給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊，那么這筆錢應(yīng)該托付給一些挑選出來的公民，他們得把這些錢按每年5%的利率借給一些年輕的手工業(yè)者去生息．這些款過了100年增加到131000英鎊．我希望那時侯用100000英鎊來建立一所公共建筑物，剩下的31000英鎊拿去繼續(xù)生息100年”請你計算一下富蘭克林的遺囑能實現(xiàn)嗎？ 知識點 題號 注意點 分數(shù)指數(shù)冪 注意靈活運用運算性質(zhì)進行化簡

21、與計算. 指數(shù)函數(shù) 注意依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并能在解題中靈活運用. 綜合問題 注意各知識點間的聯(lián)系. 實際問題 注意問題的實際意義. 四、 學習心得 五、 拓展視野 指數(shù)的歷史 個相同的因數(shù)相乘，即，記作，叫作的次冪，這時叫做指數(shù).本來，冪的指數(shù)總是正整數(shù)，后來隨著數(shù)的擴充，指數(shù)的概念也不斷發(fā)展. 正整數(shù)指數(shù)冪，特別是與面積、體積的計算聯(lián)系緊密的平方和立方的概念，在一些文明古國很早就有了.我國漢代曾有人提出過負整數(shù)指數(shù)的概念，可惜未曾流傳開來.15世紀末，法國數(shù)學家休凱引入了零指數(shù)概念.17世紀英國的瓦利士在他的《無窮小》算術(shù)

22、中提出了負指數(shù)，他寫道：“平方指數(shù)倒數(shù)的數(shù)列的指數(shù)是-2，立方指數(shù)倒數(shù)的數(shù)列的指數(shù)是-3，兩項逐項相乘，就有了‘五次冪倒數(shù)’的數(shù)列它的指數(shù)顯然是(-2)+(-3)=-5.同樣，‘平方根倒數(shù)’的數(shù)列的指數(shù)是”這是一個巨大的進步，不過瓦利士沒有真正使用的指數(shù)符號. 分數(shù)指數(shù)冪最早在奧力森的《比例算法》中出現(xiàn)，他使用的符號不簡潔.現(xiàn)在的分數(shù)指數(shù)和負指數(shù)是牛頓創(chuàng)設(shè)的.牛頓在1676年6月13日寫信給萊布尼茲說：“因為當代數(shù)學家將等寫成，所以我將寫成；又將寫成”.牛頓還首先使用任意實數(shù)指數(shù). 18世紀以后，人們發(fā)現(xiàn)復數(shù)還可用三角式即指數(shù)式表示，從而得到了一般復數(shù)指數(shù)的概念. 1679年萊布尼茲寫信給荷蘭數(shù)學家惠更斯討論方程，，，這是引入變指數(shù)的開始. 指數(shù)概念形成以后，歐拉才把對數(shù)建立在指數(shù)的逆運算的基礎(chǔ)上，這就是現(xiàn)行教科書中廣泛采用的方法.