江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.3三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)學(xué)案（無答案）蘇教版必修4

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1、=1．3 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 建議 三角函數(shù)的圖象 幾何描點(diǎn)法、五點(diǎn)描圖法 理解 通過實(shí)例分析來認(rèn)識周期和周期函數(shù)；在用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象時，正確地描出圖象上的點(diǎn)是作圖關(guān)鍵，作圖之前首先就這個問題展開討論；在教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成利用圖象認(rèn)識、研究、記憶函數(shù)性質(zhì)的習(xí)慣，做到以性作圖，以圖識性，以圖記性；圖象與正弦曲線的關(guān)系是難點(diǎn)，在教學(xué)中要從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般，從具體到抽象，逐步總結(jié)圖象的變換的規(guī)律. 三角函數(shù)的性質(zhì) 定義域、周期性、奇偶性、單調(diào)性、值域 圖象 平移變換、伸縮變換

2、 二、 預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) (1)了解三角函數(shù)的周期性，知道三角函數(shù)的最小正周期為．會求一些函數(shù)的最小正周期； (2)會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正、余弦函數(shù)正切函數(shù)的圖象，并能根據(jù)圖象理解正、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)：如周期、最值、單調(diào)性、奇偶性、對稱性．了解并掌握正、余弦函數(shù)的有界性，即||≤1，||≤1，并能根據(jù)有界性探求三角函數(shù)的值域和最值； (3)會用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)的簡圖．弄清三個參變數(shù)的名稱、作用以及它們對函數(shù)圖象的影響； (4)能由正弦曲線通過平移、伸縮變換得到的的圖象； (5)會用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．

3、 2． 預(yù)習(xí)提綱 (1)查閱初中教材(九年級下冊)第7.5至7.6節(jié)，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)在解直角三角形及解決實(shí)際生活問題中的運(yùn)用； (2) 閱讀教材第24頁至26頁理解函數(shù)的周期性，周期定義中特別注意“每一個x值”，周期是針對自變量x的改變量，可與函數(shù)奇偶性定義相類比； (3)閱讀教材第26至34頁，完成下列表格； 正弦、余弦、正切函數(shù)圖象與性質(zhì) 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 正切函數(shù) 解析式 圖象 定義域 值域 (最值) 周期性 奇偶性 對稱軸 對稱中心

4、 單調(diào)性 增 減 (4)閱讀教材第34至45頁，根據(jù)課本內(nèi)容填空，形如的函數(shù)： 表示振動量時，填寫下列幾個物理量：振幅_______；頻率_______；相位_______；初相_______； 函數(shù)的圖象與圖象間的關(guān)系： ①函數(shù)的圖象可以看做將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)______________ ______________________________________而得到； ②函數(shù)圖象，可以看做將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的______ ______________________________________而得到； ③函數(shù)圖象，可以看做將函數(shù)

5、的圖象上所有點(diǎn)的____ _______________________________________而得到； ④函數(shù)圖象，看做將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)_____ _______________________________________而得到． 對于三角函數(shù)圖象的變換，要多從具體實(shí)例出發(fā)，經(jīng)歷結(jié)論的探索過程，通過充分的思考和探究，發(fā)現(xiàn)兩個圖象之間的關(guān)系，而不應(yīng)該死記住結(jié)論； (5) 體會課本例題. 教材37頁例1畫函數(shù)的簡圖給出了三種方法：方法一是五點(diǎn)法，方法二和方法三都是利用正弦曲線通過圖形的變換作圖，但變換的順序不同.圖形變換中的左右平移和伸縮變換在代數(shù)形式上都是對點(diǎn)的橫

6、坐標(biāo)x而言的. 教材41頁例1是一個物理問題，簡諧振動的物體對平衡位置的位移x和時間t之間滿足函數(shù)關(guān)系三角函數(shù)在物理中有比較多的應(yīng)用，物理中的單擺運(yùn)動、波的傳播、交流電等內(nèi)容都可以用三角函數(shù)來分析和理解. 3． 典型例題 例1 求下列函數(shù)的周期 ． 分析：根據(jù)周期定義求解． 解：(1)設(shè)的周期為T，則,即對任意的實(shí)數(shù) 都成立，也就是對任意都成立，其中，由的周 期為，可知,即，所以的周期為． (2)設(shè)的周期為T，則,即對任意的實(shí)數(shù)都成立，也就是對任意都成立，其中，由的周期為，可知,即， 所以的周期為． (3)設(shè)的周期為T，則，即， 因?yàn)?，所以的周期為? 點(diǎn)評：周期性是三

7、角函數(shù)較為顯著的特征，此處采用的是定義法．事實(shí)上對于、及的周期討論更多采取公式法或圖象法． 例2 若函數(shù)的最小正周期為T，且，求的取值范圍． 分析：根據(jù)周期公式列出關(guān)于不等式求解． 解：由題意知：或． 點(diǎn)評：本題需要注意的是公式的正確使用，特別是公式中的絕對值． 例3 根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的的取值范圍： (1)； (2) ． 分析：根據(jù)三角函數(shù)圖象先寫出一個周期上的取值范圍，再延伸到整個定義域上． 解：(1)由正弦函數(shù)的圖象知：，． (2)，由余弦函數(shù)的圖象知：，． 點(diǎn)評：用三角函數(shù)圖象是解簡單三角不等式的主要方法之一，解題時應(yīng)

8、充分利用三角函數(shù)的周期性來簡化問題．事實(shí)上也可以利用三角函數(shù)線來求解． 例4 求下列函數(shù)的定義域： (1)； (2) ． 分析：化簡后即為解三角不等式，可利用三角函數(shù)線或圖象求解． 解：(1)，， 或， 則的定義域?yàn)椋? (2)，或， ， 則的定義域?yàn)椋? 點(diǎn)評：本題是求三角函數(shù)與其它函數(shù)復(fù)合的函數(shù)定義域問題，其本質(zhì)為解三角不等式． 例5 求下列函數(shù)的值域 (1)； (2) ． 分析：用換元法將問題化歸為已知的函數(shù)值域問題． 解：(1) 令則，， 所以，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋? (2) 令則，，因?yàn)椋? 所以，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋? 點(diǎn)評：本題

9、是通過對三角函數(shù)的換元重溫對二次函數(shù)、分式函數(shù)等典型函數(shù)值域問題的處理方法． 例6 已知求的最小值和最大值. 分析：利用等式進(jìn)行消元，將問題化歸為二次函數(shù)的最值問題． 解：由已知得：， ， 又， 而， 當(dāng)時，有最小值； 當(dāng)時，有最大值． 點(diǎn)評：本題特別需要關(guān)注的是對sinx的范圍的確定，既有其自身的范圍，又受到siny的約束． 例7 已知函數(shù)的最小值為， (1) 求； (2) 若，求及此時的最大值． 分析：先將三角函數(shù)的最值問題化歸為二次函數(shù)的最值問題，再利用二次函數(shù)的圖象根據(jù)對稱軸的不同取值范圍進(jìn)行分類討論． 解：(1) 由題得： ①若即時， 則當(dāng)時有

10、最小值，； ②若即時， 則當(dāng)時有最小值，； ③若即時， 則當(dāng)時有最小值，． 所以 (2) 若，則只可能 或，分別解之得：． 所以時，此時的最大值為5． 點(diǎn)評：本題是典型的含參二次函數(shù)的最值問題，重點(diǎn)考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．需要注意的是根據(jù)圖象弄清分類討論的依據(jù)，且用分段函數(shù)的形式表示． 例8 若方程有解，求的取值范圍． 分析：從不同角度理解題意可考慮不同的處理方法． 解：法一(求根公式法)原方程可變形為， 當(dāng)即時． 原方程有解或， 解得：． 法二(圖象法) 設(shè)，則， 原方程有解圖象與軸在內(nèi)有交點(diǎn)， 若有一個交點(diǎn)：； 若有兩個交點(diǎn)： ，解得：． 解

11、法三：(轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域) 原方程可變形為：， 視為的函數(shù)，問題的實(shí)質(zhì)就是求它的值域， 所以． 點(diǎn)評：雖然本題介紹了三種方法，但此類問題的解法多數(shù)情況下選擇方法三(分離參數(shù)法)，因?yàn)榇朔椒蓪栴}轉(zhuǎn)化為求一具體函數(shù)(不含參數(shù))的值域問題． 例9 求下列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 (1) ； (2) ； (3) ． 分析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析方法求解，需要注意x前系數(shù)的符號及定義域的問題． 解：(1) 由題，即求的單調(diào)減區(qū)間． 令得， 所以單調(diào)增區(qū)間為． (2) 由得， 因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以要求的單調(diào)增區(qū)間， 即求在定義域內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間， 所以， 所以的單調(diào)增區(qū)間

12、為． (3) 令，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以要函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)就要單調(diào)遞減． 因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． 點(diǎn)評：“同增異減”是復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合法則，處理復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題關(guān)鍵在于分離出內(nèi)外函數(shù)，并牢記定義域優(yōu)先原則． 例10 判斷下列函數(shù)的奇偶性 (1) ； (2). 分析：先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性． 解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且． 因?yàn)椋? 所以為奇函數(shù)． (2)， 故函數(shù)的定義域?yàn)椋? 由于函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱， 所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． 點(diǎn)評：判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟：一判斷

13、函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；二是判斷的關(guān)系，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義下結(jié)論． 例11 若，求的值． 分析：利用奇偶性解題． 解：設(shè)，則， 為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)， 點(diǎn)評：本題也可考慮直接將兩式相加，整體消元的方法． 例12 求函數(shù)的圖象的對稱軸方程和對稱中心的坐標(biāo)． 分析：用整體思想代換即可． 解： 令則， 即函數(shù)的對稱軸為； 令，則， 即函數(shù)的對稱中心為． 點(diǎn)評：需要注意的是對稱軸方程是直線方程，而對稱中心的坐標(biāo)是點(diǎn)的坐標(biāo)． 例13 求函數(shù)的定義域． 分析：對于本身需要． 解：由題得： 所以的定義域?yàn)椋? ． 點(diǎn)評：本題除了考慮根式、分母等因素外，特別要

14、注意的就是自身的取值范圍．此外，相關(guān)范圍取交集也是本題易錯之處． 例14 判斷函數(shù)的奇偶性，并求出其值域． 分析：根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行分析即可． 解：函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以它是非奇非偶函數(shù)． 由在上為單調(diào)增函數(shù)，得其值域?yàn)椋? 即為． 點(diǎn)評：本題是對正切函數(shù)性質(zhì)的簡單討論，主要是進(jìn)一步熟悉正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 例15 求的單調(diào)區(qū)間． 分析：先化為，再利用整體法求單調(diào)區(qū)間． 解：由題得，令， 得， 所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)． 故在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)． 點(diǎn)評：本題與例9方法類似，需要注意的是正切函數(shù)自身單調(diào)性的特別之處． 例16 試說出函數(shù)的圖象可由

15、的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到． 分析：根據(jù)平移變換、周期變換、相位變換及振幅變換的法則逐步變換即可． 解：法一： 將函數(shù)的圖象依次進(jìn)行如下變換： 把函數(shù)的圖象向左平移得到函數(shù)的圖象； (1)把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得 到函數(shù)的圖象； (2)把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象； (3)把函數(shù)的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象． 法二：將函數(shù)的圖象依次進(jìn)行如下變換： (1)把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象； (2)把函數(shù)的圖象向左平移得到函數(shù)的圖象； (3)把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)

16、的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象； (4)把函數(shù)的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象． 點(diǎn)評：解法一、解法二的對比主要是為了說明周期變換與相位變換互換順序之后的影響．事實(shí)上只要清楚圖象的變換是針對單個的x、y而言即可． 例17 已知函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)為，與軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個交點(diǎn)為，求這個函數(shù)的解析式． 分析：根據(jù)圖象信息先求出振幅A及周期T，從而得出ω，再代入特征點(diǎn)求解． 解：由題意，所以T=16，． 將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入， 得， 即，所以滿足的為最小正數(shù)解，即， 從而所求的解析式． 點(diǎn)評：對于特征點(diǎn)的選擇一般考慮最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，因?yàn)槠胶?/p>

17、點(diǎn)有兩類，易錯． 例18 彈簧掛著的小球作上下振動，它在時間秒內(nèi)離開平衡位置(就是靜止時的位置)的距離由函數(shù)關(guān)系決定， (1) 求小球開始振動時離開平衡位置的距離； (2) 求小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)的位置； (3)經(jīng)過多少時間，小球往返一次？ (4)每秒鐘內(nèi)小球往返多少次． 分析：理解函數(shù)關(guān)系式的實(shí)際意義． 解：(1) 令得，即小球開始振動時離開平衡位置的距離為； (2) 令得故最高點(diǎn)的位置為； 令得故最低點(diǎn)的位置為； (3) 因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以大約每經(jīng)過約3.14秒小球往返一次； (4) 因?yàn)轭l率，即每秒鐘往返振動約0．318次． 點(diǎn)評：這是實(shí)際問題中的

18、三角函數(shù)模型，借此例認(rèn)真體會三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，同時注意解決問題時要考慮實(shí)際意義． 4． 自我檢測 (1)求下列函數(shù)的最小正周期： ①； ②； ③． (2) ① 若∈，則∈____________； ② 若∈，則∈___________． (3)比較下列各組數(shù)的大小： ① ； ② ； ③________； ④ ； ⑤ ； ⑥ ． (4)求下列函數(shù)的定義域 ①； ②；③ (5)的值域?yàn)? ___． (6)函數(shù)的增區(qū)間是 ____．

19、 (7)已知函數(shù)，x∈R的圖象為C： ①圖象C__________________(怎樣變換)可得函數(shù)的圖象； ②圖象C__________________(怎樣變換)可得函數(shù)的圖象； ③圖象C__________________(怎樣變換)可得函數(shù)的圖象． (8)用作調(diào)頻無線電信號的載波以為模型，其中t的單位是秒，則此載波的周期為_____________，頻率為________________． (9)將函數(shù)y＝sin(6x＋)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，再向右平移個單位，得到的函數(shù)的一個對稱中心是 ． (10)設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)

20、f(x)＝cosωx(其中ω≠0)的圖象C的一個對稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對稱軸的距離最小值是π，則函數(shù)f(x)的最小正周期是 ． (11)函數(shù)f(x)＝sinx在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f(a)＝－1，f(b)＝1，則cos的值為 ． 三、 課后鞏固練習(xí) A組 1．(1) 函數(shù)的最小正周期是__________； (2) 函數(shù)的最小正周期是__________； (3) 若函數(shù)的最小正周期為，則a＝____________． 2．(1) 函數(shù)(x∈R)的最小值為________，此時x＝________； (2)函數(shù)(x∈R)的最小值為____

21、____，此時x＝_______． 3．函數(shù)的振幅________；周期________；頻率________；相位________； 初相________；對稱中心____________；對稱軸____________． 4．函數(shù)與軸距離最近的對稱軸是____________． 5．求下列函數(shù)的定義域： (1) ； (2) ； (3) . 6．求下列函數(shù)的值域： (1) ； (2) ； (3)； (4) . 7．(1)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間； (2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間． 8．寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1

22、) 增區(qū)間___________________減區(qū)間_______________； (2) 增區(qū)間___________________減區(qū)間_______________； (3) 增區(qū)間___________________． 9． 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 10．(1)函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為_________________； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin2x，若f(x＋t)是偶函數(shù)，則t的一個可能值是__________． 11．若是以為周期的奇函數(shù)，且，則＝_________________． 12．如果函數(shù)的

23、最小正周期是T，且當(dāng)時取得最大值，則T= ， ． 13．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則_______， _______________． 14．函數(shù)的一段圖象如圖所示,則A＝_______=_____________________． 15．函數(shù)的部分圖象如圖，則__________________． 16．(1)把函數(shù)的圖象向左平移個單位，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的(縱坐標(biāo)不變)，所得函數(shù)解析式為____________． (2)把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的(縱坐標(biāo)不變)，再把圖象向左平移個單位，所得函數(shù)解析式為______

24、______． B組 17．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)的圖象C的一個對稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對稱軸上 的距離的最小值，則的最小正周期是____________． 18．(1)若函數(shù)的周期滿足，求的正整數(shù)值； (2)若的周期不大于2，求正整數(shù)的最小值． 19．判斷下列函數(shù)是否為周期函數(shù)，若是，寫出其最小的正周期： (1) ； (2)； (3) ；(4)． 20．已知奇函數(shù)在時，，求時，的解析式． 21．求下列函數(shù)的定義域： (1)； (2)； (3)． 22．求下列函數(shù)的值域： (1)； (2)． 23．已知，，則的取值范圍是____________

25、___． 24．求函數(shù)的最值． 25．(1)若在區(qū)間[0，]上的最大值為，求ω； (2)已知函數(shù)f(x)＝2sinωx在區(qū)間[－，]上的最小值為－2，則ω的取值范圍是 ． 26．是正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍． 27．已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍． 28．設(shè)函數(shù)的一條對稱軸是直線， (1)求； (2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 29．若函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后將所得圖象先向左平移 個單位，再向下平移1個單位，得到的曲線與的圖象相同，求的表達(dá)式． 30．函數(shù)在內(nèi)只取到一個最大值和一 個最小值，且當(dāng)時，函數(shù)的

26、最大值為3，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為－3，試求 此函數(shù)的解析式． 31．某星星的亮度變化周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度為0.2星等，則可近似地描述此星星的亮度y(單位：星等)與時間t(單位：天)之間的關(guān)系的一個三角函數(shù)為__________________________． 32．如圖為一個觀覽車示意圖，該觀覽車半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離為h， (1)求h與間關(guān)系的函數(shù)解析式； (2) 設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒到達(dá)OB，求h與t間的函數(shù)解析

27、式． C組 33．(1)已知是周期為6的奇函數(shù)，，則 ； (2)已知是R上的奇函數(shù)，，時，， 則= ． 34．已知函數(shù)的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值． 35．定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長為________． 36．設(shè)函數(shù)，若對任意都有成立，則的最小值為_________________．　　　 37．為了使函數(shù)在區(qū)間上至少出現(xiàn)50次最大值，則的最小值 ． 38．設(shè)函數(shù)，它們的最小正周期分別為,且，已知，求的

28、解析式． 39．和的圖象圍成的一個封閉的平面圖形的面積為 ． 40．函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是__________． 41．先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象作關(guān)于y軸的對稱變換，那么與最后所得圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是___________． 42.對于函數(shù)給出下列結(jié)論：①圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；②圖象關(guān)于直線成軸對稱；③圖象可由函數(shù)的圖像向左平移個單位得到；④圖像向左平移個單位，即得到函數(shù)的圖像。其中正確結(jié)論是_______． 43．已知定義在上的奇函數(shù)滿足為偶函數(shù)，對于函數(shù) 有下列幾種描述：是周期函數(shù)；是它的一條對稱軸；

29、 是它圖像的一個對稱中心；(4)當(dāng)時，它一定取最大值，其中描述正確的是 ． 44．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖像如下圖所示，f()＝－，則f(0)等于___________． 45.動點(diǎn)A(x，y)單位圓上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周，已知時間t＝0時，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(，)，則當(dāng)0≤t≤12時，動點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ． 46.已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同．若x∈[

30、0，]，則f(x)的取值范圍是 ． 47．方程2sin2x＝x－3的解有___________． 48．已知，當(dāng)方程f(x)=m有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時， (1)求m的取值范圍； (2)求方程的兩實(shí)根之和． 49.若滿足為使?jié)M足條件的的值：(1)存在；(2)有且只有一個；(3)有兩個不同的值；(4)有三個不同的值，分別求實(shí)數(shù)的取值范圍． 50.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，并且在R上為增函數(shù)，若時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 51.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，當(dāng) 時，函數(shù)的圖像如下． (1)求函數(shù)在的表達(dá)式；(2)求方程的解．

31、 知識點(diǎn) 題號 注意點(diǎn) 定義域與周期性 求函數(shù)周期的幾種方法 奇偶性與對稱性 注意有函數(shù)對稱性確定函數(shù)參數(shù)一類題的方法 單調(diào)性 注意研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是對內(nèi)函數(shù)單調(diào)性的確定 值域與最值 利用函數(shù)的單調(diào)性看函數(shù)的值域 函數(shù)的圖象與解析式 理解函數(shù)圖象的變換是圖象上點(diǎn)的變換 綜合題 靈活運(yùn)用所學(xué)知識 四、 學(xué)習(xí)心得 五、 拓展視野 三角學(xué)的歷史 早期三角學(xué)不是一門獨(dú)立的學(xué)科，它依附于天文學(xué)，是天文觀測結(jié)果推算的一種方法，因而最先發(fā)展起來的是球面三角學(xué)．希臘、印度、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中都有三角學(xué)的內(nèi)容，可大都是天文觀測的副產(chǎn)品．例如，古

32、希臘梅內(nèi)勞斯著《球面學(xué)》，提出了三角學(xué)的基礎(chǔ)問題和基本概念，特別是提出了球面三角學(xué)的梅內(nèi)勞斯定理；50年后，另一個古希臘學(xué)者托勒密著《天文學(xué)大成》，初步發(fā)展了三角學(xué)．而在公元499年，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多也表述出古代印度的三角學(xué)思想；其后的瓦拉哈米希拉最早引入正弦概念，并給出最早的正弦表；公元10世紀(jì)的一些阿拉伯學(xué)者進(jìn)一步探討了三角學(xué)．當(dāng)然，所有這些工作都是天文學(xué)研究的組成部分．直到納西爾丁的《橫截線原理書》才開始使三角學(xué)脫離天文學(xué)，成為純粹數(shù)學(xué)的一個獨(dú)立分支．而在歐洲，最早將三角學(xué)從天文學(xué)獨(dú)立出來的數(shù)學(xué)家是德國人雷格蒙塔努斯． 雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《論各種三角形》．這是歐

33、洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作．全書共5卷，前2卷論述平面三角學(xué)，后3卷討論球面三角學(xué)，是歐洲三角學(xué)傳播的源泉．雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表． 雷格蒙塔努斯的工作為三角學(xué)在平面幾何和球面幾何中的應(yīng)用建立了牢固的基礎(chǔ)．他去世以后，其著作手稿在學(xué)者中廣為傳閱，并最終出版，對16世紀(jì)的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響，也對哥白尼等一批天文學(xué)家產(chǎn)生了直接或間接的影響． 三角學(xué)一詞的英文是trigomometry，來自拉丁文tuigonometuia．最先使用該詞的是文藝復(fù)興時期的德國數(shù)學(xué)家皮蒂斯楚斯，他在1595年出版的《三角學(xué)：解三角形的簡明處理》中創(chuàng)造了這個詞．其構(gòu)成法是由三角形和測量兩

34、字湊合而成．要測量計(jì)算離不開三角函數(shù)表和三角學(xué)公式，它們是作為三角學(xué)的主要內(nèi)容而發(fā)展的． 16世紀(jì)三角函數(shù)表的制作首推奧地利數(shù)學(xué)家雷蒂庫斯．他1536年畢業(yè)于滕貝格大學(xué)，并留校講授算術(shù)幾何．1539年赴波蘭跟隨著名天文學(xué)家哥白尼學(xué)習(xí)天文學(xué)，1542年受聘為萊比錫大學(xué)數(shù)學(xué)教授．雷蒂庫斯首次編制出全部6種三角函數(shù)的數(shù)表，包括第一張?jiān)敱M的正切表和第一張印刷的正割表． 17世紀(jì)初對數(shù)發(fā)明后大大簡化了三角函數(shù)的計(jì)算，制作三角函數(shù)表已不再是很難的事，人們的注意力轉(zhuǎn)向了三角學(xué)的理論研究．不過，三角函數(shù)表仍然在科學(xué)研究與生產(chǎn)生活中發(fā)揮著重要的作用． 三角公式是三角形的邊與角、邊與邊或角與角之間的關(guān)系式．

35、三角函數(shù)的定義已體現(xiàn)了一定的關(guān)系，一些簡單的關(guān)系式在古希臘人以及后來的阿拉伯人中也有研究． 文藝復(fù)興后期，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)成為三角公式的集大成者．他的《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》是較早系統(tǒng)論述平面和球面三角學(xué)的專著之一．其中第一部分列出6種三角函數(shù)表，有些以分和度為間隔，給出精確到5位和10位小數(shù)的三角函數(shù)值，還附有與三角值有關(guān)的乘法表、商表等．第二部分給出造表的方法，解釋了三角形中諸三角線量值關(guān)系的運(yùn)算公式．除匯總前人的成果外，他還補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式，如正切定律、和差化積公式等等．他將這些公式列在一個總表中，使得任意給出某些已知量后，可以從表中得出未知量的值．該書以直角三角形為基礎(chǔ)．對斜三

36、角形，韋達(dá)仿效古人的方法化為直角三角形來解決．對球面直角三角形，給出計(jì)算的完整公式及其記憶法則，如余弦定理，1591韋達(dá)又得到多倍角關(guān)系式，1593年又用三角方法推導(dǎo)出余弦定理． 1722年英國數(shù)學(xué)家棣莫弗得到以他名字命名的三角學(xué)定理，并證明了n是正有理數(shù)時公式成立；1748年歐拉證明了n是任意實(shí)數(shù)時公式也成立，他還給出另一個著名公式，對三角學(xué)的發(fā)展起到了重要的推動作用． 近代三角學(xué)是從歐拉的《無窮分析引論》開始的．他定義了單位圓，并以函數(shù)線與半徑的比值定義三角函數(shù)，他使三角學(xué)從研究三角形解法進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用，成為一個比較完善的數(shù)學(xué)分支學(xué)科．而由于上述諸人及19世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家的努力，現(xiàn)代的三角函數(shù)符號和三角學(xué)的完整的理論在19世紀(jì)最終完成了．