江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用學(xué)案（無答案）蘇教版選修2-1

《江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用學(xué)案（無答案）蘇教版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用學(xué)案（無答案）蘇教版選修2-1（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1．4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議 知識、方法 要求 學(xué)習(xí)建議 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用 掌握 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中主要是解決最優(yōu)化的問題，建立函數(shù)模型是關(guān)鍵，而解決模型的過程實(shí)質(zhì)上就是上一節(jié)的內(nèi)容．學(xué)生應(yīng)該在具體問題中，理清各個量的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型． 二、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1．預(yù)習(xí)目標(biāo) 通過生活中優(yōu)化問題的學(xué)習(xí)，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值． 2．預(yù)習(xí)提綱 (1)回顧利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法步驟；回顧將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法 (2)閱讀課本第35至第38頁例題，思考以下問題：

2、 ①利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值的一般步驟： ②利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值問題時應(yīng)注意哪些問題? 3．典型例題 (1)面積、體積最值問題 例1 用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成(如圖)，問該容器的高為多少時，容器的容積最大?最大容積是多少? 分析： 就用容器的高x作為自變量，建立一個關(guān) 于高的目標(biāo)函數(shù)，容器的底面是矩形，長寬分別為90－2x，48－2x．于是得出體積的函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)方法求解．

3、解： 設(shè)容器的高為x，容器的體積為V， 則V=(90－2x)(48－2x)x，(0

4、m3) ． 答：該容器的高為10時，容器的容積最大，最大容積是1960 cm3． 點(diǎn)評： 解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和建立數(shù)學(xué)模型，把“問題情境”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里尋找適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問題中加以說明．同時注意與實(shí)際問題有關(guān)的函數(shù)的定義域，除了使解析式有意義外，還要注意到它的實(shí)際意義． 例2 已知矩形的兩個頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個頂點(diǎn)位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長． 分析： 如圖所示，設(shè)出AD的長，進(jìn)而求出表示出面積S， 然后利用導(dǎo)數(shù)求最值． 解： 設(shè)位于拋

5、物線上的矩形的一個頂點(diǎn)為(x，y)，且x>0，y>0， 則另一個在拋物線上的頂點(diǎn)為(－x，y)， 在x軸上的兩個頂點(diǎn)為(－x，0)、(x，0)，其中0< x<2． 設(shè)矩形的面積為S，則S＝2 x(4－x2)，0< x<2． 由S′(x)＝8－6 x2＝0，得x＝或x＝－(舍)， 當(dāng)00；當(dāng)

6、 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米． (1)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升? (2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升? 分析： 根據(jù)距離比速度等于時間，求出全程所用時間，根據(jù)單位時間內(nèi)的耗油量與全程時間的積等于全程耗油量，列出目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值． 解：(1)當(dāng)時，汽車從甲地到乙地行駛了小時， 要耗沒(升)． 答：當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17．5升

7、． (2)當(dāng)速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設(shè)耗油量為升， 依題意得 令得 當(dāng)時，是減函數(shù)； 當(dāng)時，是增函數(shù)． 當(dāng)時，取到極小值 因?yàn)樵谏现挥幸粋€極值，所以它是最小值． 答：當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少為11．25升． 點(diǎn)評： 本題(1)是(2)的鋪墊，本題(2)是導(dǎo)數(shù)完成的應(yīng)用性問題，對于這類問題，學(xué)生往往忽視了數(shù)學(xué)語言和普通語言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問題的最大思維障礙，運(yùn)算不過關(guān)，得不到正確的答案，對數(shù)學(xué)思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正確的解題思路，在

8、此還需要我們依據(jù)問題本身提供的信息，運(yùn)用所謂的動態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，并從中進(jìn)行一番選擇． 例4 有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在何處才能使水管費(fèi)用最省? 分析： 本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．適當(dāng)選定變元，借助圖象尋找各條件間的聯(lián)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，建立數(shù)學(xué)模型，通過求導(dǎo)和其他方法求出最值． 解：法一 根據(jù)題意，只有點(diǎn)C在線段AD上某一

9、適當(dāng)位置，才能使總的水管費(fèi)用最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km，則AC=(50－x) km． 又∵BD=40 km， ∴BC=， 又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意， 則y=3a(50－x)＋5a(0

10、f(θ)=3a(50－40cotθ)＋5a=150a＋40a， ∴f ′(θ)=40a． 令f ′(θ)=0，得cosθ=． ∵0<θ<， ∴0

11、y的最小值．而解法二中可以用數(shù)形結(jié)合的思想求解的最小值，此式化為，對于，視為動點(diǎn)(sinθ，cosθ)與定點(diǎn)(0，)連成的斜率，利用圓的切線求解． (3)利潤最大問題 例5 已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100＋4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p=25－，求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大． 分析： 利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格，由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤． 解：法一 收入， 利潤L=R－C=()－(100＋4q) =＋21 q－100(0

12、84時，>0；當(dāng)84

13、 ． (2)內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為 ． (3)一根長為了12cm的細(xì)鐵絲，將其圍成一個正四棱柱框架，當(dāng)正四棱柱框架的容積最大時，底邊長為 ． s t O ① s t O s t O s t O ② ③ ④ (4)汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看S作時間t的函數(shù)，其圖像可能是 ． 三、課后鞏固練習(xí) A組 1．將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器，當(dāng)這個正六棱柱窗口的底面邊長為

14、 時，其容積最大． 2．經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量(千輛/小時)與汽車的平均速度(千米/小時)之間的函數(shù)關(guān)系為：． 若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在的范圍是______________． 3．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則______噸． 4． 把一個周長為12cm的長方形圍成一個圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時，該圓柱的底面周長與高的比為 ． 5．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積為

15、最大，則高為 ． 6．某種圓柱形飲料罐的容積V一定，若使它的用料最省，則它的高與底半徑分別為 ． 7．將長為l的鐵絲剪成兩段，各圍成長與寬之比為2：1及3：2的矩形，那么這兩個矩形面積和的最小值為 ． 8． 斜邊為定長的直角三角形，繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐．問：這個圓錐的體積最大時的半徑． 9． 某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價定為p元，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單元：元)有如下關(guān)系：Q=8300－170p－p2．問該零售價定為多少時毛利潤L最大?并求最大毛利潤．(毛利潤=銷售收入－進(jìn)貨支出)． B組

16、 10．將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是___________________． 11．半徑為r的圓的面積S(r)＝r2，周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r ①，①式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)．對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于①的式子： ②，②式可以用語言敘述為：________________________________． 12． 如圖，某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為(單位：米)的矩形，

17、上部是斜邊長為的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方米． (1)求的關(guān)系式，并求的取值范圍； (2)問分別為多少時用料最省? 13． 2020年奧運(yùn)會在中國召開，某商場預(yù)計(jì)2020年從1月起前x個月，顧客對某種奧運(yùn)商品的需求總量p(x)件與月份x的近似關(guān)系是 該商品的進(jìn)價q(x)元與月份x的近似關(guān)系是． (1)寫出今年第x月的需求量f(x)件與月份x的函數(shù)關(guān)系式； (2)該商品每件的售價為185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足市場需求，則此商場今年銷售該商品的月利潤預(yù)計(jì)最大是多少元? 14．有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河

18、岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費(fèi)用分別為每千米500元和700元，問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費(fèi)用最省? 15．已知一木材的橫截面是直徑為d的圓，要把它加工成為最堅(jiān)固的橫截面是矩形的橫梁應(yīng)如何設(shè)計(jì)?(矩形橫梁抗彎強(qiáng)度與其斷面長的平方和寬的積成正比)． 16． 用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大?最大體積是多少? C組 17．如圖，在等腰梯形ABCD中，底CD=40，腰AD=40，問AB為多少時，梯形ABCD的面

19、積最大?并求出最大面積． 18．如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為，短半軸長為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為． (I)求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域； (II)求面積的最大值． 19．煙囪向周圍地區(qū)散落煙塵而造成環(huán)境污染．已知A，B兩座煙囪相距3km，其中A煙囪噴出的煙塵量是B煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比(比例系數(shù)為k， k>0)．若C處在連接兩煙囪的線段AB上(不包括端點(diǎn))，若C處距A煙囪xkm，C處的煙塵濃

20、度為y． (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)是否存在這樣的C處，使該處的煙塵濃度最低?若存在，求出C處到A煙囪的距離；若不存在，請說明理由． O1 20．請您設(shè)計(jì)一個帳篷．它下部的形狀是高為1m的正六棱 柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)．試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大? 21．請你設(shè)計(jì)一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=

21、xcm (1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm2）最大，試問x應(yīng)取何值？ (2)若廣告商要求包裝盒容積V（cm3）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值。 22．某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A，B 及CD的中點(diǎn)P 處，已知AB=20km，CB =10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上(含邊界)，且A，B 與等距離的一點(diǎn)O 處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP ， 設(shè)排污管道的總長為km． (1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式： ①設(shè)∠BAO=(rad)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式； ②設(shè)OP (km) ，將表示成

22、的函數(shù)關(guān)系式． (2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短． 23．某園林公司計(jì)劃在一塊為圓心，(為常數(shù))為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形區(qū)域用于觀賞樣板地，區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售．已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤是每平方米8元，草皮的利潤是每平方米3元． 花木地 (1) 設(shè)，，分別用，表示弓形的面積； 觀賞樣板地 (2) 園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地，才能使總利潤最大? (參考公式:扇形面積公式) 草皮地 草皮地 知識點(diǎn) 題號 注意點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題

23、中的應(yīng)用 1～22 建立函數(shù)模型是關(guān)鍵，應(yīng)該在具體問題中，理清各個量的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型． 四、學(xué)習(xí)心得 五、拓展視野 在一定條件下，“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強(qiáng)度最大”等問題，在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到，在數(shù)學(xué)上這類問題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題．除了常見的求最值的方法外，還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值．但無論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行． 有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其進(jìn)行切割， 焊接成一個長方形無蓋容器(切、焊損耗忽略不計(jì))，有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識作了如下設(shè)計(jì)，如圖1(1)，在鋼板的四個角處各切一個小方形，剩余部分圍成一個長

24、方體，該長方體的高為小正方形邊長，如圖1(2)． (1)請你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積； (2)由于上述設(shè)計(jì)存在缺陷(材料有的浪費(fèi))，請你重新設(shè)計(jì)切焊方法，使材料浪費(fèi)最少，而且所得長方體容器的容積． 分析 (1)是利用題中給出的方案，利用導(dǎo)數(shù)求容器的最大值．(2)主要考查動手實(shí)踐能力． 解 (1)設(shè)切去的正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為4－2x，高為x，所以 =(4－2x)2x=4(x3－4x2＋4x)，(00；當(dāng)時，<0； 所以當(dāng)時，最得最大值． (2)重新設(shè)計(jì)方案如下： 如圖2①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖2②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖2③，將圖2②焊成長方體容器． 新焊成的長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，高為1，此長方體的容積為 =6，顯然． 故第二種方案符合要求． 評注 問題(1)主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，而問題(2)情景新穎，很好地考查了創(chuàng)新意識．