《2020高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教案2 北師大版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教案2 北師大版選修1-1（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
教學(xué)過程：
一．創(chuàng)設(shè)情景
函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解．下面，我們運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用。
二．新課講授
1．問題：圖（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)
的圖像．
運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？
通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：
（1） 運動員從起點到最高
2、點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，．
（2） 從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，．
2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系．
如圖 3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率．
（ 圖 3.3-3）
在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；
在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減．
結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
在某個區(qū)間內(nèi)，
3、如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．
3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；
（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．
三．典例分析
例1．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：
當(dāng)時，；
當(dāng)，或時，；
當(dāng)，或時，
試畫出函數(shù)圖像的大致形狀．
解：當(dāng)時，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)，或時，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)，或時，，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”．
綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如
4、圖3.3-4所示．
例2．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．
（1）； （2）
（3）； （4）
解：（1）因為，所以，
因此，在R上單調(diào)遞增，如上圖所示．
（2）因為，所以，
當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；
函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示．
（3）因為，所以，
因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如上圖所示．
（4）因為，所以 ．
當(dāng)，即 時，函數(shù) ；
當(dāng)，即 時，函數(shù) ；
函數(shù)的圖像如下圖所
5、示．
注：（3）、（4）生練
例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖像．
分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．
解：
思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？
一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化
6、的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．
如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，
在或內(nèi)的圖像“平緩”．
例4．求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．
證明：因為
當(dāng)即時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．
說明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：
（1）求導(dǎo)函數(shù)；
（2）判斷在內(nèi)的符號；
（3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)．
例5．已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
解：，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：
所以實數(shù)的取值范圍為．
說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：
7、即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解．
例6．已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解：y′=(x+)′
=1－1·x－2
=
令＞0.
解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的單調(diào)減區(qū)間是(－1，0)和(0，1)
四．課堂練習(xí)
1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx
2．課本練習(xí)
五．回顧總結(jié)
（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
（2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間
（3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性
2020高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教案2 北師大版選修1-1
