2020高中數(shù)學 第二章 變化率與導數(shù)及導數(shù)的應用 實際問題中導數(shù)的意義學案 北師大版選修1-1

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1、實際問題中導數(shù)的意義 一、學習要求： 導數(shù)在實際生活中的應用 二、學習目標 能運用導數(shù)方法求解有關利潤最大，用料最省，效率最高等最優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際生活問題中的作用。 三、重點難點 用導數(shù)方法解決實際生活中的問題 四、要點梳理 解應用題的基本程序是： 讀題 建模 求解 反饋 （文字語言） （數(shù)學語言） （導學應用） （檢驗作答） 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟: ① 分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系；注意的范圍。 ② 利用導數(shù)求函數(shù)的極值和函數(shù)的最

2、值；給出數(shù)學問題的解答。 ③ 把數(shù)學問題的解答轉化為實際問題的答案。 五、基礎訓練： 1． 周長為的矩形，繞一條邊旋轉成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為________。 2 某產品的銷售收入（萬元）是產量（千臺）的函數(shù)：，生產總成本（萬元）也是產量（千臺）的函數(shù)：，為使利潤最大，應生產產品________臺。 3 一輪船以千米/時的速度航行，每小時用煤噸，千米/時，才能使輪船航行每千米用的煤最少。 4 設正三棱柱的體積為，那么其表面積最小時的底面邊長為________。 5 某公司生產某種產品，固定成本為20000元，每生產一單位產品，成本增加100元，已知總收益與年產

3、量的關系是： ，則總利潤最大時，每年生產的產品是_______ 個單位。 六、典型例題 例1 用長為18的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問：該長方體長，寬，高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？ 例2 經過點作直線分別交軸正半軸，軸正半軸于兩點，設直線的斜率為，的面積為 （1） 求關于的函數(shù)關系式； （2） 求的最小值以及相應的直線的方程。 變式：有一隧道既是交通擁擠地段又是事故多發(fā)地段。為了保證安全，交通部門規(guī)定：隧道內的車距正比于車速的平方與自身長的積，且車距不得小于半個車身長。而當車速為60時，車距為個車身長。在交通繁

4、忙時，應規(guī)定車速為多少時可以使隧道的車流量最大。 例3 某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B及CD的中點P處，已知，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且與A，B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道，設排污管道的總長為。 （1） 按下列要求寫出函數(shù)關系式： ①設將表示成的函數(shù)關系式； ②設，將表示成的函數(shù)關系式。 A B C D P O （2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關系式確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短。 七、反思感悟 八、千思百練： 1． 有一長為16米的籬笆

5、，要圍成一個矩形場地，則此矩形場地的最大面積為________。 2 一個膨脹中的球形氣球，其體積的膨脹率為，則其半徑增至時，半徑的增長率是________。 3 容積為256升的方底無蓋水箱，它的高為________時最省材料 4 一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，當圓半徑與矩形的高的比為________時，窗戶周長最小。 5 若一球的半徑為，作內接于球的圓柱，則其側面積最大為________。 6 以長為10的線段為直徑作半圓，則它的內接矩形的面積的最大值為________。 7用邊長為48的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方

6、形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為________。 8將水注入圓錐形容器中，其速度為，設圓錐形容器的高為，頂口直徑為，求當水深為時，水面上升的速度。 9 某廠生產某種電子元件，如果生產出一件正品可獲利200元，如果生產出一件次品，則損失100元，已知該廠制造電子元件過程中，次品率與日產量的關系是： （1）求該廠的日盈利額（元）用日產量（件）表示的函數(shù)； （2）為獲最大盈利，該廠的日產量應定為多少件？ 10統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量（升）關于行駛速度（千米/時）的函數(shù)解析式可以表示為，已知甲乙兩地相距100千米。 （1） 當汽車以40千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？ （2） 當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？