2020屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí) 8.7 課后限時作業(yè)

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1、 一、選擇題（本大題共6小題，每小題7分，共42分） 1. 拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是 (　　) A．2x＋1＝0 B．2y＋1＝0 C．4x＋1＝0 D．4y＋1＝0 解析：2p＝1，所以y＝－＝－， 所以準(zhǔn)線方程為4y＋1＝0，選D. 答案：D 2. 拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)是橢圓4x2＋y2＝1的一個焦點(diǎn)，則此拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

2、 (　　) A．2 B. C. D. 解析：4x2＋y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以選B. 答案：B 3.直線l過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，分別從A，B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為A1,B1，則∠A1FB1是 ( ) A.銳角 B.直角 C.鈍角

3、 D.直角或鈍角 解析：由|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|易得. 答案：B 4.（2020屆·沈陽質(zhì)檢）拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角等于的直線與拋物線在x軸上方的曲線交于點(diǎn)A，則AF的長為 (　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：方法一：(數(shù)形結(jié)合法)過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足為B，由拋物線定義，有|AB|＝|AF|，易知AB平行于x軸，∠AFx＝，∠BAF＝，△ABF是等邊

4、三角形，過F作FC垂直于AB于點(diǎn)C，則|CA|＝|BC|＝p＝2，故|AF|＝|AB|＝4. 方法二：(代數(shù)法)焦點(diǎn)F(1,0)，AF的直線方程為y－0＝tan ·(x－1)，即y＝(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x，得[(x－1)]2＝4x，即3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或(舍去)，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，|AF|＝＝4. 答案：B 5.已知點(diǎn)P（x,y）在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動，則點(diǎn)Q（x+y,xy）的軌跡是 ( ) A.圓 B.拋物線 C.橢圓 D.雙曲線 解析：點(diǎn)P的軌跡

5、方程是x2+y2=1,令a=x+y①，b=xy②,將①式兩邊平方得a2=x2+y2+2xy,將x2+y2=1及②式代入得a2=1+2b，所以點(diǎn)Q的軌跡是拋物線. 答案：B 6.（2020屆·合肥質(zhì)檢）已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， P3(x3，y3)在拋物線上，并且2x2＝x1＋x3，則有 (　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|

6、FP3| 解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，根據(jù)拋物線的定義， 得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋. 因?yàn)?x2＝x1＋x3，所以2＝＋， 即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|. 答案：C 二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分） 7.線段AB是拋物線y2=x的一條焦點(diǎn)弦，且|AB|=4，則線段AB的中點(diǎn)C到直線x+=0的距離是 . 解析：線段AB的中點(diǎn)C到準(zhǔn)線x=-的距離為|AB|長的一半，則點(diǎn)C到直線x+=0的距離為. 答案： 8. 已知當(dāng)拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面2米時，量得水面寬8米，當(dāng)水面升高1米后，水面寬度

7、是 米． 解析：如圖，設(shè)拋物線方程為y＝ax2.將(－4，－2)代入方程得a＝－. 則拋物線方程為y＝－x2. 令y＝－1，則x＝±2.則水面寬度為4. 答案：4 9.已知Q(4,0),P為y2=x+1上任一點(diǎn)，則｜PQ｜的最小值為 . 答案： 10.已知拋物線y2=4x，過點(diǎn)P（4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y21+y22的最小值是 . 解析：設(shè)直線方程x=my+4, 代入y2=4x消去x得關(guān)于y的一元二次方程， y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>

8、0. y1+y2=4m,y1·y2=-16, y21+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32≥32, 當(dāng)m=0時，y21+y22取得最小值32. 答案：32 三、解答題（本大題共2小題，每小題12分，共24分） 11.拋物線y2=2px(p>0)上有一內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，一直角邊的方程是y=2x,斜邊長是5，求此拋物線方程. 解：設(shè)△AOB的拋物線的內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)為O， AO邊的方程是y=2x,則OB邊的方程為y=-x. 由y=2x, y2=2px得點(diǎn)A坐標(biāo)為（,p）. 由y=-x, y2=2px得點(diǎn)B坐標(biāo)為（8p,-4p）. 因?yàn)閨A

9、B|=5, 12. 已知動圓過定點(diǎn)A(1,0)，且與直線x＝－1相切． (1)求動圓的圓心軌跡C的方程； (2)是否存在直線l，使l過點(diǎn)B(0,1)，并與軌跡C交于P、Q兩點(diǎn)，且滿足·＝0？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解：(1)設(shè)M為動圓圓心，由題意知：|MA|等于M到定直線x＝－1的距離，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中A(1,0)為焦點(diǎn)，x＝－1為準(zhǔn)線． 所以動圓的圓心M的軌跡C的方程為：y2＝4x. (2)由題意可設(shè)直線l的方程為x＝k(y－1)(k≠0)， 由得y2－4ky＋4k＝0. 所以Δ＝16k2－16k>0?k>1或k<0.

10、又y1＋y2＝4k，y1y2＝4k. 由·＝0?x1x2＋y1y2＝0 ?k2(y1－1)(y2－1)＋y1y2＝0 ?(k2＋1)y1y2－k2(y1＋y2)＋k2＝0 ?4k(k2＋1)－k2·4k＋k2＝0?k＝－4或k＝0(舍去)． 又k＝－4<0，所以直線l存在，其方程為：x＋4y－4＝0. B組 一、選擇題(本大題共2小題，每小題8分，共16分) 1.已知拋物線C:y=x2的準(zhǔn)線為,過與y軸的交點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線、，切點(diǎn)分別為A、B，則與的夾角為 ( ) A.60°

11、 B.75° C.90° D.120° 解析：由題意知M（0,-1），則設(shè)過M點(diǎn)的切線為y=kx-1.由y=kx-1，x2=4yx2-4kx+4=0.令Δ=16k2-16=0k2-1=0.所以k=±1，則與的夾角為90°. 答案：C 2.（2020屆·日照調(diào)研）已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線－y2＝1(a>0)交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若△FAB為直角三角形，則雙曲線的離心率是 (　　) A. 　　 B. C．2 D．3 解析：

12、由題意易知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，焦點(diǎn)為F(1,0)，直線x＝－1與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，若△FAB為直角三角形，則只能∠AFB為直角，△FAB為等腰直角三角形，所以＝2?a＝，從而可得c＝，所以雙曲線的離心率e＝＝， 選B. 答案：B 二、填空題（本大題共2小題，每小題8分，共16分） 3. 若點(diǎn)(3,1)是拋物線y2＝2px的一條弦的中點(diǎn)，且這條弦所在直線的斜率為2，則p＝__ __. 解析：直線的方程為y＝2(x－3)＋1＝2x－5， 將聯(lián)立得4x2－(20＋2p)x＋25＝0. 則x1＋x2＝＝6，解得p＝2. 答案：2 4.已知拋物線y=2px2(p>0)的

13、焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(1, )在拋物線上，過P作PQ垂直拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q.若拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸相交于點(diǎn)M，則四邊形PQMF的面積為 . 解析：由P(1, )在拋物線上，得p=，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y,點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線為y=-1,所以|FM|=2，|PQ|=1+=，|MQ|=1，則直角梯形PQMF的面積為×(+2)×1=. 答案： 三、解答題（本大題共2小題，每小題14分，共28分） 5.（2020屆·江蘇無錫模擬）已知點(diǎn)P（1，3），圓C：（x-m）2+y2=過點(diǎn)A(1，-)，F(xiàn)點(diǎn)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，直線PF與圓相切. (1)求m的值與拋物

14、線的方程； （2）設(shè)點(diǎn)B（2,5），點(diǎn)Q為拋物線上的一個動點(diǎn)，求·的取值范圍. 解：（1）點(diǎn)A代入圓C的方程, 得(1-m)2+(-)2=. 所以m=1，圓C：（x-1）2+y2=. 當(dāng)直線PF的斜率不存在時不合題意. 當(dāng)直線PF的斜率存在時，設(shè)為k， 則PF:y=k(x-1)+3, 即kx-y-k+3=0. 因?yàn)橹本€PF與圓C相切， 所以,解得k=1或k=-1. 當(dāng)k=1時，直線PF與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，不合題意，舍去. 當(dāng)k=-1時，直線PF與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，符合題意. 所以p2=4,所以拋物線方程為y2=16x. (2) =(-1,-2),設(shè)Q（x,

15、y）, =(x-2,y-5), ·=-（x-2)+(-2)(y-5)=-x-2y+12 =--2y+12=- (y+16)2+28≤28. 所以·的取值范圍為（-∞,28］. 6. 設(shè)拋物線的方程為y2＝4x，過點(diǎn)P(2,0)的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足＝＋λ(λ∈R)． (1)當(dāng)λ＝1時，求點(diǎn)Q的軌跡方程； (2)若點(diǎn)Q在x軸上，且1<λ<3，求直線l的斜率k的取值范圍． 解：方法一：設(shè)直線l的方程為my＝x－2，代入y2＝4x得：y2－4my－8＝0. 設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)． 則y1＋y2＝4m，y1y2＝－8.

16、(1)設(shè)Q(x，y)，因?yàn)椋剑? 所以y＝y(tǒng)1＋y2＝4m. 所以x＝x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4. 消去m得：x＝＋4， 即點(diǎn)Q的軌跡方程為：y2＝4(x－4)． (2)因?yàn)椋剑耍?x1＋λx2，y1＋λy2)且點(diǎn)Q在x軸上， 所以y1＋λy2＝0，即y1＝－λy2. 消去y2得：－λ2＝－8. 2m2＝＝λ＋－2. 設(shè)f(λ)＝λ＋－2，當(dāng)1<λ<3時，f′(λ)＝1－>0恒成立． 所以0<λ＋－2<，即0. 所以k<－或k>即為直線l的斜率k的取值范圍． 方法二：(1)因?yàn)椋剑?，?dāng)直線l的斜率不存在時， 由拋物線

17、的對稱性得Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)． 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)， 代入y2＝4x得k2x2－(4k2＋4)x＋4k2＝0，所以k≠0. 設(shè)A、B、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x，y)． 因?yàn)椋剑? 所以 解得 消去k得：x＝＋4.又點(diǎn)(4,0)的坐標(biāo)也滿足方程， 所以點(diǎn)Q的軌跡方程為：y2＝4(x－4)． (2)因?yàn)椋剑耍?x1＋λx2，y1＋λy2)且點(diǎn)Q在x軸上， 所以y1＋λy2＝0，即k(x1－2)＋λk(x2－2)＝0. 所以 即 整理得：＝＝λ＋－2. 設(shè)f(λ)＝λ＋－2，當(dāng)1<λ<3時，f′(λ)＝1－>0恒成立． 所以0<λ＋－2<，0<<，所以k2>. 所以k<－或k>，即為直線l的斜率k的取值范圍． 方法三：(1)設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)，y＝4x1，y＝4x2， 兩式相減得：(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 設(shè)Q(x，y)，因?yàn)椋剑? 所以y＝y(tǒng)1＋y2且x＝x1＋x2. 所以y×＝y(tǒng)×＝4. 即點(diǎn)Q的軌跡方程為：y2＝4(x－4)． (2)略．