2014-2015學年高二數(shù)學教案：21《圓周角定理》（新人教A版選修4-1）

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1、一圓周角定理 課標解讀 1.了解圓心角定理． 2.理解圓周角定理及其兩個推論，并能解決有關(guān)問題. 1．圓周角定理及其推論 (1)圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半． (2)推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等． (3)推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑． 2．圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)． 1．圓的一條弦所對的圓周角都相等嗎？ 【提示】　不一定相等．一般有兩種情況：相等或互補，弦所對的優(yōu)弧與所對劣弧上的點所成的圓周角互補，所對同一條弧上

2、的圓周角都相等，直徑所對的圓周角既相等又互補． 2．在推論1中，把“同弧或等弧〞改為“同弦或等弦〞的話，結(jié)論還成立嗎？ 【提示】　不成立．因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，在一般情況下是不相等的． 3．“相等的圓周角所對的弧相等〞，正確嗎？ 【提示】　不正確．“相等的圓周角所對的弧相等〞是在“同圓或等圓中〞這一大前提下成立的，如圖． 假設(shè)AB∥DG，那么∠BAC＝∠EDF，但≠. 利用圓周角定理和圓心角定理進 行計算 　在半徑為5 cm的圓內(nèi)有長為5 cm的弦，求此弦所對的圓周角． 【思路探究】　過圓心作弦的垂線構(gòu)造直角三角形．先求弦所對的圓心角度數(shù)，

3、再分兩種情況求弦所對的圓周角的度數(shù)． 【自主解答】　如下圖，過點O作OD⊥AB于點D. ∵OD⊥AB，OD經(jīng)過圓心O， ∴AD＝BD＝ cm. 在Rt△AOD中， OD＝＝ cm， ∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°. ∴∠AOB＝2∠AOD＝120°. ∴∠ACB＝∠AOB＝60°. ∵∠AOB＝120°，∴劣弧的度數(shù)為120°，優(yōu)弧的度數(shù)為240°. ∴∠AEB＝×240°＝120°， ∴此弦所對的圓周角為60°或120°. 1．解答此題時應(yīng)注意弦所對的圓周角有兩個，它們互為補角． 2．和圓周角定理有關(guān)的線段、角的計算，不僅可以通過計算弧、圓心角、

4、圓周角的度數(shù)來求相關(guān)的角、線段，有時，還可以通過比例線段，相似比來計算． 圖2－1－1 　如圖2－1－1，△ABC內(nèi)接于⊙O，＝，點D是上任意一點，AD＝6 cm，BD＝5 cm，CD＝3 cm，求DE的長． 【解】　∵＝， ∴∠ADB＝∠CDE. 又∵＝， ∴∠BAD＝∠ECD. ∴△ABD∽△CED. ∴＝.即＝. ∴ED＝2.5 cm. 與圓周角定理相關(guān)的證明 　如圖2－1－2，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E. 圖2－1－2 (1)證明：△ABE∽△ADC； (2)假設(shè)△ABC的面積S＝AD·AE，求∠BAC的大小． 【

5、思路探究】　(1)通過證明角相等來證明三角形相似． (2)利用(1)的結(jié)論及面積相等求sin∠BAC的大小，從而求∠BAC的大?。? 【自主解答】　(1)由條件，可得∠BAE＝∠CAD. 因為∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角，所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC. (2)因為△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE. 又S＝AB·ACsin∠BAC且S＝AD·AE， 故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE， 那么sin∠BAC＝1，又∠BAC為三角形內(nèi)角，所以∠BAC＝90°. 1．解答此題(2)時關(guān)鍵是利用AB·AC＝AD·AE以及面積S＝AB

6、·ACsin∠BAC確定sin∠BAC的值． 2．利用圓中角的關(guān)系證明時應(yīng)注意的問題 (1)分析和所求，找好所在的三角形，并根據(jù)三角形所在圓上的特殊性，尋求相關(guān)的圓周角作為橋梁； (2)當圓中出現(xiàn)直徑時，要注意尋找直徑所對的圓周角，然后在直角三角形中處理相關(guān)問題． 如圖2－1－3，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD、BE相交于H，AD的延長線交⊙O于F，求證：BF＝BH. 圖2－1－3 【證明】　∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠AHE＝∠C. ∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C， ∴∠BHF＝∠F. ∴BF＝BH. 直徑所對的圓周角問題 　 圖2－1－4

7、如圖2－1－4所示，AB是半圓的直徑，AC為弦，且AC∶BC＝4∶3，AB＝10 cm，OD⊥AC于D. 求四邊形OBCD的面積． 【思路探究】　由AB是半圓的直徑知∠C＝90°，再由條件求出OD、CD、BC的長可得四邊形OBCD的面積． 【自主解答】　∵AB是半圓的直徑，∴∠C＝90°. ∵AC∶BC＝4∶3，AB＝10 cm， ∴AC＝8 cm，BC＝6 cm. 又∵OD⊥AC，∴OD∥BC. ∴OD是△ABC的中位線， ∴CD＝AC＝4 cm，OD＝BC＝3 cm. ∴S四邊形OBCD＝(OD＋BC)·DC ＝(3＋6)×4＝18 cm2. 在圓中，直徑是一

8、條特殊的弦，其所對的圓周角是直角，所對的弧是半圓，利用此性質(zhì)既可以計算角大小、線段長度又可以證明線線垂直、平行等位置關(guān)系，還可以證明比例式相等． 圖2－1－5 　如圖2－1－5，等腰三角形ABC中，以腰AC為直徑作半圓交AB于點E，交BC于點F，假設(shè)∠BAC＝50°，那么的度數(shù)為(　　) A．25°　　　　　　B．50° C．100° D．120° 【解析】　如圖，連接AF. ∵AC為⊙O的直徑， ∴∠AFC＝90°， ∴AF⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠BAF＝∠BAC＝25°， ∴的度數(shù)為50°. 【答案】　B (教材第26頁習題2.1第3題)

9、 圖2－1－6 如圖2－1－6，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，＝，BF和AD相交于E，求證：AE＝BE. 　　(2021·陜西高考)如圖2－1－7，弦AB與CD相交于⊙O內(nèi)一點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，PD＝2DA＝2，那么PE＝________. 圖2－1－7 【命題意圖】　此題主要考查圓周角定理、三角形相似等知識，證明三角形相似考查了邏輯推理能力，求線段的長度考查了知識的應(yīng)用能力及轉(zhuǎn)化意識． 【解析】　∵BC∥PE，∴∠C＝∠PED. ∵∠C＝∠A，∴∠A＝∠PED. 在△PED和△PAE中， ∠PED＝∠A，∠P＝∠P， ∴

10、△PED∽△PAE，∴＝. ∵PA＝PD＋DA＝3，PD＝2， ∴PE2＝PA·PD＝3×2＝6， ∴PE＝. 【答案】　 1．如圖2－1－8，在⊙O中，∠BAC＝60°，那么∠BDC＝(　　) 圖2－1－8 A．30°　　　　　　　　B．45° C．60° D．75° 【解析】　⊙O中，∠BAC與∠BDC都是所對的圓周角，故∠BDC＝∠BAC＝60°. 【答案】　C 2．在△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，⊙O是△ABC的外接圓，那么所對的圓心角為(　　) A．22.5° B．45° C．90° D．不確定 【解析】　∵∠ACB＝45°，∴所對

11、的圓心角為2∠ACB＝90°. 【答案】　C 3．(2021·焦作模擬)如圖2－1－9，A、B、C是⊙O的圓周上三點，假設(shè)∠BOC＝3∠BOA，那么∠CAB是∠ACB的________倍． 圖2－1－9 【解析】　∵∠BOC＝3∠BOA， ∴＝3， ∴∠CAB＝3∠ACB. 【答案】　3 4．如圖2－1－10所示，兩個同心圓中，的度數(shù)是30°，且大圓半徑R＝4，小圓半徑r＝2，那么的度數(shù)是________． 圖2－1－10 【解析】　的度數(shù)等于∠AOB，又的度數(shù)等于∠AOB，那么的度數(shù)是30°. 【答案】　30° 一、選擇題 圖2－1－11 1．

12、如圖2－1－11所示，假設(shè)圓內(nèi)接四邊形的對角線相交于E，那么圖中相似三角形有(　　) A．1對　　　　　　　　　B．2對 C．3對 D．4對 【解析】　由推論知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC. 【答案】　B 2．在半徑為R的圓中有一條長度為R的弦，那么該弦所對的圓周角的度數(shù)是(　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 【解析】　弦所對的圓心角為60°，又弦所對的圓周角有兩個且互補，應(yīng)選B. 【答案】　B 3．如圖2－1－12所示，等腰△ABC內(nèi)

13、接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是的中點，E是的中點，分別連接BD、DE、BE，那么△BDE的三內(nèi)角的度數(shù)分別是(　　) 圖2－1－12 A．50°，30°，100° B．55°，20°，105° C．60°，10°，110° D．40°，20°，120° 【解析】　如下圖，連接AD. ∵AB＝AC，D是的中點， ∴AD過圓心O. ∵∠A＝40°， ∴∠BED＝∠BAD＝20 °， ∠CBD＝∠CAD＝20°. ∵E是的中點， ∴∠CBE＝∠CBA＝35°， ∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°. ∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°，

14、 應(yīng)選B. 【答案】　B 4．如圖2－1－13，點A、B、C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，那么圓O的面積等于(　　) 圖2－1－13 A．4π B．8π C．12π D．16π 【解析】　連接OA，OB. ∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝60°， 又∵OA＝OB， ∴△AOB為等邊三角形． 又AB＝4，∴OA＝OB＝4. ∴S⊙O＝π·42＝16π. 【答案】　D 二、填空題 圖2－1－14 5．(2021·平頂山模擬)如圖2－1－14，Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于

15、點D，那么＝________. 【解析】　連接CD，∵AC是⊙O的直徑， ∴∠CDA＝90°.由射影定理得BC2＝BD·BA，AC2＝AD·AB， ∴＝，即＝. 【答案】　 6．如圖2－1－15，AB為⊙O的直徑，弦AC，BD交于點P，假設(shè)AB＝3，CD＝1，那么sin∠APD＝__________. 圖2－1－15 【解析】　由于AB為⊙O的直徑，那么∠ADP＝90°， 所以△APD是直角三角形． 那么sin∠APD＝，cos∠APD＝， 由題意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝BAP， 所以△PCD∽△PBA. 所以＝，又AB＝3，CD＝1，那么＝. ∴c

16、os∠APD＝.又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1， ∴sin∠APD＝. 【答案】　 三、解答題 7．如圖2－1－16，A、B、C、D是⊙O上的四個點，AB＝BC，BD交AC于點E，連接CD、AD. (1)求證：DB平分∠ADC； (2)假設(shè)BE＝3，ED＝6，求AB的長． 圖2－1－16 【解】　(1)證明：∵AB＝BC，∴＝， ∴∠BDC＝∠ADB， ∴DB平分∠ADC. (2)由(1)可知＝. ∴∠BAC＝∠ADB. ∵∠ABE＝∠ABD. ∴△ABE∽△DBA.∴＝. ∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9. ∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27.

17、 ∴AB＝3. 8．如圖2－1－17, △ABC是圓O的內(nèi)接等邊三角形，AD⊥AB，與BC的延長線相交于點D，與圓O相交于點E，假設(shè)圓O的半徑r＝1，求DE的長度． 圖2－1－17 【解】　連接BE，∴AD⊥AB， ∴BE為⊙O的直徑，且BE＝2r＝2. 又∵∠AEB＝∠ACB＝60°， ∴∠ABE＝30°，∠EBD＝30°. 又∵∠ABD＝60°， ∴∠D＝∠EBD＝30°， ∴DE＝BE＝2. 9．如圖2－1－18①所示，在圓內(nèi)接△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的一點，E是直線AD和△ABC外接圓的交點． 圖2－1－18 (1)求證：AB2＝A

18、D·AE； (2)如圖2－1－18②所示，當D為BC延長線上的一點時，第(1)題的結(jié)論成立嗎？假設(shè)成立請證明；假設(shè)不成立，請說明理由． 【解】　(1)證明：如右圖①， 連接BE. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠AEB， ∴∠ABC＝∠AEB. 又∠BAD＝∠EAB. ∴△ABD∽△AEB. ∴AB∶AE＝AD∶AB， 即AB2＝AD·AE. (2)如圖②，連接BE， 結(jié)論仍然成立，證法同(1)． 10. ：如圖，BC為半圓O的直徑，F(xiàn)是半圓上異于B、C的一點，A是的中點，AD⊥BC于點D，BF交AD于點E. (1)求證：BE·BF＝BD·BC； (2)試比擬線段BD與AE的大小，并說明道理． 【解】　 (1)證明：連接FC， 那么BF⊥FC. 在△BDE和△BCF中， ∵∠BFC＝∠EDB＝90° ∠FBC＝∠EBD， ∴△BDE∽△BFC. ∴＝.即BE·BF＝BD·BC. (2)連接AC、AB，那么∠BAC＝90°. ∵＝，∴∠1＝∠2.又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°， ∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3. ∴AE＝BE. 在Rt△EBD中，BE>BD， ∴AE>BD.