2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)教案：21《圓周角定理》（新人教A版選修4-1）

一圓周角定理課標(biāo)解讀1.了解圓心角定理2.理解圓周角定理及其兩個推論，并能解決有關(guān)問題.1圓周角定理及其推論(1)圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半(2)推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等(3)推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑2圓心角定理圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)1圓的一條弦所對的圓周角都相等嗎？【提示】不一定相等一般有兩種情況：相等或互補，弦所對的優(yōu)弧與所對劣弧上的點所成的圓周角互補，所對同一條弧上的圓周角都相等，直徑所對的圓周角既相等又互補2在推論1中，把“同弧或等弧改為“同弦或等弦的話，結(jié)論還成立嗎？【提示】不成立因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，在一般情況下是不相等的3“相等的圓周角所對的弧相等，正確嗎？【提示】不正確“相等的圓周角所對的弧相等是在“同圓或等圓中這一大前提下成立的，如圖假設(shè)ABDG，那么BACEDF，但.利用圓周角定理和圓心角定理進(jìn)行計算在半徑為5 cm的圓內(nèi)有長為5 cm的弦，求此弦所對的圓周角【思路探究】過圓心作弦的垂線構(gòu)造直角三角形先求弦所對的圓心角度數(shù)，再分兩種情況求弦所對的圓周角的度數(shù)【自主解答】如下圖，過點O作ODAB于點D.ODAB，OD經(jīng)過圓心O，ADBD cm.在RtAOD中，OD cm，OAD30°，AOD60°.AOB2AOD120°.ACBAOB60°.AOB120°，劣弧的度數(shù)為120°，優(yōu)弧的度數(shù)為240°.AEB×240°120°，此弦所對的圓周角為60°或120°.1解答此題時應(yīng)注意弦所對的圓周角有兩個，它們互為補角2和圓周角定理有關(guān)的線段、角的計算，不僅可以通過計算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來求相關(guān)的角、線段，有時，還可以通過比例線段，相似比來計算圖211如圖211，ABC內(nèi)接于O，點D是上任意一點，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的長【解】，ADBCDE.又，BADECD.ABDCED.即.ED2.5 cm.與圓周角定理相關(guān)的證明如圖212，ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E.圖212(1)證明：ABEADC；(2)假設(shè)ABC的面積SAD·AE，求BAC的大小【思路探究】(1)通過證明角相等來證明三角形相似(2)利用(1)的結(jié)論及面積相等求sinBAC的大小，從而求BAC的大小【自主解答】(1)由條件，可得BAECAD.因為AEB與ACB是同弧上的圓周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)因為ABEADC，所以，即AB·ACAD·AE.又SAB·ACsinBAC且SAD·AE，故AB·ACsinBACAD·AE，那么sinBAC1，又BAC為三角形內(nèi)角，所以BAC90°.1解答此題(2)時關(guān)鍵是利用AB·ACAD·AE以及面積SAB·ACsinBAC確定sinBAC的值2利用圓中角的關(guān)系證明時應(yīng)注意的問題(1)分析和所求，找好所在的三角形，并根據(jù)三角形所在圓上的特殊性，尋求相關(guān)的圓周角作為橋梁；(2)當(dāng)圓中出現(xiàn)直徑時，要注意尋找直徑所對的圓周角，然后在直角三角形中處理相關(guān)問題如圖213，ABC內(nèi)接于O，高AD、BE相交于H，AD的延長線交O于F，求證：BFBH.圖213【證明】BEAC，ADBC，AHEC.AHEBHF，F(xiàn)C，BHFF.BFBH.直徑所對的圓周角問題圖214如圖214所示，AB是半圓的直徑，AC為弦，且ACBC43，AB10 cm，ODAC于D.求四邊形OBCD的面積【思路探究】由AB是半圓的直徑知C90°，再由條件求出OD、CD、BC的長可得四邊形OBCD的面積【自主解答】AB是半圓的直徑，C90°.ACBC43，AB10 cm，AC8 cm，BC6 cm.又ODAC，ODBC.OD是ABC的中位線，CDAC4 cm，ODBC3 cm.S四邊形OBCD(ODBC)·DC(36)×418 cm2.在圓中，直徑是一條特殊的弦，其所對的圓周角是直角，所對的弧是半圓，利用此性質(zhì)既可以計算角大小、線段長度又可以證明線線垂直、平行等位置關(guān)系，還可以證明比例式相等圖215如圖215，等腰三角形ABC中，以腰AC為直徑作半圓交AB于點E，交BC于點F，假設(shè)BAC50°，那么的度數(shù)為()A25°B50°C100° D120°【解析】如圖，連接AF.AC為O的直徑，AFC90°，AFBC，ABAC，BAFBAC25°，的度數(shù)為50°.【答案】B(教材第26頁習(xí)題2.1第3題)圖216如圖216，BC為O的直徑，ADBC，垂足為D，BF和AD相交于E，求證：AEBE.(2021·陜西高考)如圖217，弦AB與CD相交于O內(nèi)一點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，PD2DA2，那么PE_.圖217【命題意圖】此題主要考查圓周角定理、三角形相似等知識，證明三角形相似考查了邏輯推理能力，求線段的長度考查了知識的應(yīng)用能力及轉(zhuǎn)化意識【解析】BCPE，CPED.CA，APED.在PED和PAE中，PEDA，PP，PEDPAE，.PAPDDA3，PD2，PE2PA·PD3×26，PE.【答案】1如圖218，在O中，BAC60°，那么BDC()圖218A30°B45°C60° D75°【解析】O中，BAC與BDC都是所對的圓周角，故BDCBAC60°.【答案】C2在ABC中，ABAC，ABAC，O是ABC的外接圓，那么所對的圓心角為()A22.5° B45°C90° D不確定【解析】ACB45°，所對的圓心角為2ACB90°.【答案】C3(2021·焦作模擬)如圖219，A、B、C是O的圓周上三點，假設(shè)BOC3BOA，那么CAB是ACB的_倍圖219【解析】BOC3BOA，3，CAB3ACB.【答案】34如圖2110所示，兩個同心圓中，的度數(shù)是30°，且大圓半徑R4，小圓半徑r2，那么的度數(shù)是_圖2110【解析】的度數(shù)等于AOB，又的度數(shù)等于AOB，那么的度數(shù)是30°.【答案】30°一、選擇題圖21111如圖2111所示，假設(shè)圓內(nèi)接四邊形的對角線相交于E，那么圖中相似三角形有()A1對B2對C3對 D4對【解析】由推論知：ADBACB，ABDACD，BACBDC，CADCBD，AEBDEC，AEDBEC.【答案】B2在半徑為R的圓中有一條長度為R的弦，那么該弦所對的圓周角的度數(shù)是()A30° B30°或150°C60° D60°或120°【解析】弦所對的圓心角為60°，又弦所對的圓周角有兩個且互補，應(yīng)選B.【答案】B3如圖2112所示，等腰ABC內(nèi)接于O，ABAC，A40°，D是的中點，E是的中點，分別連接BD、DE、BE，那么BDE的三內(nèi)角的度數(shù)分別是()圖2112A50°，30°，100° B55°，20°，105°C60°，10°，110° D40°，20°，120°【解析】如下圖，連接AD.ABAC，D是的中點，AD過圓心O.A40°，BEDBAD20 °，CBDCAD20°.E是的中點，CBECBA35°，EBDCBECBD55°.BDE180°20°55°105°，應(yīng)選B.【答案】B4如圖2113，點A、B、C是圓O上的點，且AB4，ACB30°，那么圓O的面積等于()圖2113A4 B8C12 D16【解析】連接OA，OB.ACB30°，AOB60°，又OAOB，AOB為等邊三角形又AB4，OAOB4.SO·4216.【答案】D二、填空題圖21145(2021·平頂山模擬)如圖2114，RtABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，那么_.【解析】連接CD，AC是O的直徑，CDA90°.由射影定理得BC2BD·BA，AC2AD·AB，即.【答案】6如圖2115，AB為O的直徑，弦AC，BD交于點P，假設(shè)AB3，CD1，那么sinAPD_.圖2115【解析】由于AB為O的直徑，那么ADP90°，所以APD是直角三角形那么sinAPD，cosAPD，由題意知，DCPABP，CDPBAP，所以PCDPBA.所以，又AB3，CD1，那么.cosAPD.又sin2APDcos2APD1，sinAPD.【答案】三、解答題7如圖2116，A、B、C、D是O上的四個點，ABBC，BD交AC于點E，連接CD、AD.(1)求證：DB平分ADC；(2)假設(shè)BE3，ED6，求AB的長圖2116【解】(1)證明：ABBC，BDCADB，DB平分ADC.(2)由(1)可知.BACADB.ABEABD.ABEDBA.BE3，ED6，BD9.AB2BE·BD3×927.AB3.8如圖2117, ABC是圓O的內(nèi)接等邊三角形，ADAB，與BC的延長線相交于點D，與圓O相交于點E，假設(shè)圓O的半徑r1，求DE的長度圖2117【解】連接BE，ADAB，BE為O的直徑，且BE2r2.又AEBACB60°，ABE30°，EBD30°.又ABD60°，DEBD30°，DEBE2.9如圖2118所示，在圓內(nèi)接ABC中，ABAC，D是BC邊上的一點，E是直線AD和ABC外接圓的交點圖2118(1)求證：AB2AD·AE；(2)如圖2118所示，當(dāng)D為BC延長線上的一點時，第(1)題的結(jié)論成立嗎？假設(shè)成立請證明；假設(shè)不成立，請說明理由【解】(1)證明：如右圖，連接BE.ABAC，ABCACB.ACBAEB，ABCAEB.又BADEAB.ABDAEB.ABAEADAB，即AB2AD·AE.(2)如圖，連接BE，結(jié)論仍然成立，證法同(1)10.：如圖，BC為半圓O的直徑，F(xiàn)是半圓上異于B、C的一點，A是的中點，ADBC于點D，BF交AD于點E.(1)求證：BE·BFBD·BC；(2)試比擬線段BD與AE的大小，并說明道理【解】(1)證明：連接FC，那么BFFC.在BDE和BCF中，BFCEDB90°FBCEBD，BDEBFC.即BE·BFBD·BC.(2)連接AC、AB，那么BAC90°.，12.又2ABC90°，3ABD90°，23，13.AEBE.在RtEBD中，BE>BD，AE>BD.