《2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1《雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)》word導(dǎo)學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1《雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)》word導(dǎo)學(xué)案（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1《雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)》word導(dǎo)學(xué)案
1.了解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),并能利用這些簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.進(jìn)一步掌握待定系數(shù)法的解題方法.
3.進(jìn)一步理解并掌握代數(shù)知識(shí)在解析幾何運(yùn)算中的作用,提高解方程組和計(jì)算的能力,能利用雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),解決與雙曲線有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.
如圖,某工廠有一雙曲線型自然通風(fēng)塔,其外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面,已知該塔最小半徑為12米,下口半徑為25米,下口半徑到最小圓面距離為45米,整個(gè)通風(fēng)塔高為55米,問(wèn)在建造過(guò)程中,上口半徑應(yīng)該建多
2、少米?
問(wèn)題1:通過(guò)閱讀教材,完成下表
標(biāo)準(zhǔn)方程
-=1(a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)
圖形
范圍
?
?
焦點(diǎn)
?
?
頂點(diǎn)
?
?
焦距
|F1F2|=2c(a2+b2=c2)
軸長(zhǎng)
實(shí)軸長(zhǎng)|A1A2|=2a,虛軸長(zhǎng)|B1B2|=2b
對(duì)稱性
?
漸近線
?
?
離心率
?
問(wèn)題2:試比較橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)的異同
①橢圓與雙曲線的離心率都為 .橢圓的離心率e∈
3、 ,雙曲線的離心率e∈ ;?
②橢圓中長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于短軸長(zhǎng),即 ;雙曲線中,虛軸長(zhǎng)2b和實(shí)軸長(zhǎng)2a大小關(guān)系 ;?
③焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸,中心為原點(diǎn)時(shí),橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)形式一致,即 或 .在橢圓中,c2=a2-b2,在雙曲線中,c2=a2+b2;?
④雙曲線 漸近線,橢圓 漸近線.?
問(wèn)題3:雙曲線的離心率對(duì)雙曲線形狀的影響
①用a,b表示雙曲線的離心率為e= .?
②雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個(gè)重要數(shù)據(jù).由于= ,當(dāng)e的值逐漸 時(shí),的值就逐漸增大,這時(shí)雙曲線的形狀就
4、從“扁狹”逐漸變得“開(kāi)闊”,也就說(shuō)雙曲線的“張口”逐漸增大.?
問(wèn)題4:實(shí)軸和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫作 雙曲線,它的漸近線方程為y= ,離心率e= .?
1.雙曲線2x2-y2=8的實(shí)軸長(zhǎng)是( ).
A.2 B.2 C.4 D.4
2.雙曲線的漸近線為y=±x,則雙曲線的離心率是( ).
A. B.2 C.或 D.或
3.雙曲線-=1的離心率為 .?
4.雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,焦距為2c,左頂點(diǎn)為A,虛軸的上端點(diǎn)為B(0,b),若·=3ac,求該雙曲線的離心率.
雙曲線的簡(jiǎn)單性
5、質(zhì)
求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程.
根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求雙曲線方程
根據(jù)下列條件,求雙曲線方程:
(1)與雙曲線-=1有共同的漸近線,且過(guò)點(diǎn)(-3,2);
(2)與雙曲線-=1有公共焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)(3,2).
利用直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的值
已知雙曲線方程x2-=1,過(guò)點(diǎn)P(1,1)的斜率為k的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),求k的值.
求雙曲線9y2-4x2=36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程.
6、
根據(jù)下列條件,分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)焦距為10,漸近線方程為y=±x;
(2)過(guò)點(diǎn)P(3,-),離心率為.
當(dāng)k取什么值時(shí),直線y=kx-1與雙曲線4x2-9y2=36僅有一個(gè)公共點(diǎn).
1.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為4,則該雙曲線的漸近線方程是( ).
A.y=±3x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x
2.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距成等差數(shù)列,則雙曲線的離心率e為( ).
A.2 B.3 C. D.
3.若雙曲
7、線的漸近線方程為y=±3x,它的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .?
4.求雙曲線x2-=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)與漸近線方程.
(xx年·湖北卷)已知0<θ<,則雙曲線C1:-=1與C2:-=1的( ).
A.實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.虛軸長(zhǎng)相等 C.離心率相等 D.焦距相等
考題變式(我來(lái)改編):
第8課時(shí) 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
知識(shí)體系梳理
問(wèn)題1:|x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R F1(-c,0)、F2(c,0) F1(0,-c)、F
8、2(0,c) A1(-a,0)、A2(a,0) A1(0,-a)、A2(0,a) 關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 ±=0 ±=0 e=>1
問(wèn)題2:①e= (0,1) (1,+∞) ②2a>2b 不確定
③(±c,0) (0,±c)?、苡小o(wú)
問(wèn)題3:①==?、凇≡龃?
問(wèn)題4:等軸 ±x
基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流
1.C 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,故實(shí)軸長(zhǎng)為4.
2.C ①焦點(diǎn)在x軸上:=,e==.
②焦點(diǎn)在y軸上:=,e==.
3. ∵實(shí)半軸長(zhǎng)a=4,虛半軸長(zhǎng)b=3,則半焦距c===5,∴離心率e==.
4.解:由條件知F(c,0),A(-a,0),
∴=(-a,-b)
9、,=(c,-b),
∵·=3ac,∴-ac+b2=3ac,
又b2=c2-a2,∴c2-a2-4ac=0,
∵e>1,∴e==2+.
重點(diǎn)難點(diǎn)探究
探究一:【解析】將原方程轉(zhuǎn)化為-=1,所以a=3,b=2,c=,
因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(-3,0),A2(3,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-,0),F2(,0),實(shí)軸長(zhǎng)是2a=6,虛軸長(zhǎng)是2b=4,離心率e==,漸近線方程為y=±x.
【小結(jié)】該方程并非標(biāo)準(zhǔn)形式,首先化成標(biāo)準(zhǔn)形式后,再研究解決問(wèn)題.已知雙曲線的方程求其幾何性質(zhì)時(shí),若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化為標(biāo)準(zhǔn)方程,確定方程中a,b的對(duì)應(yīng)值,利用c2=a2+b2得到c,然后確定雙曲線的焦點(diǎn)位置,從
10、而寫(xiě)出雙曲線的幾何性質(zhì).
探究二:【解析】(1)(法一)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,
由題意,得
解得a2=,b2=4,所以雙曲線的方程為-=1.
(法二)設(shè)所求雙曲線方程為-=λ(λ≠0),
將點(diǎn)(-3,2)代入得λ=,
故所求雙曲線方程為-=.
(2)(法一)設(shè)所求雙曲線方程為-=1,由題意易求c=2.
∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(3,2),
∴-=1,
又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8,
故所求雙曲線方程為-=1.
(法二)設(shè)所求雙曲線方程為-=1,將點(diǎn)(3,2)代入得k=4,
故所求雙曲線方程為-=1.
【小結(jié)】若已知雙曲線的漸近線方程為ax±by=0
11、,可設(shè)雙曲線方程為a2x2-b2y2=λ.
探究三:【解析】設(shè)l的方程:y=k(x-1)+1代入雙曲線方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,
∵Δ=0,∴k=.
[問(wèn)題]上述解法考慮全面嗎?是不是忽視了直線與雙曲線的特殊位置關(guān)系?
[結(jié)論]上述解法不全面,忽視了當(dāng)4-k2=0,即k=±2時(shí),l與雙曲線漸近線平行,l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).
于是,正確解答為:
把y=k(x-1)+1代入雙曲線方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,
當(dāng)4-k2=0,即k=±2時(shí),l與雙曲線的漸近線平行,l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)4-k2≠
12、0,k≠±2時(shí),由Δ=0,得k=.
綜合上述,k=或k=±2.
【小結(jié)】本題以雙曲線為載體,主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.突出考查了雙曲線的幾何性質(zhì).在判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí),把直線和雙曲線方程聯(lián)立得到關(guān)于x的方程后,注意考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為0(為0時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),重合時(shí)無(wú)交點(diǎn)).
思維拓展應(yīng)用
應(yīng)用一:把方程9y2-4x2=36化為標(biāo)準(zhǔn)形式-=1,
∴a=2,b=3,c=,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),(0,2),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-),(0,),
實(shí)軸長(zhǎng)是2a=4,虛軸長(zhǎng)是2b=6,離心率e==,
漸近線方程y=±x.
應(yīng)
13、用二:(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1 (a>0,b>0),由漸近線方程為y=±x,
得=.
又∵2c=10,∴c=5,∴a2+b2=c2=25,
∴a2=20,b2=5,故所求雙曲線的方程為-=1.
同理可求得焦點(diǎn)在y軸上時(shí)雙曲線的方程為-=1.
綜上,所求雙曲線的方程為-=1或-=1.
(2)依題意,雙曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上,分別討論如下:
若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)雙曲線的方程為
-=1(a>0,b>0),
由e=,得==.?、?
由點(diǎn)P(3,-)在雙曲線上,得-=1. ②
由①②得a2=1,b2=,所以雙曲線方程為x2-=1
14、;
若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,可設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),
同理有=,-=1,a2+b2=c2,
解之得b2=-(不合題意,舍去),故雙曲線的焦點(diǎn)只能在x軸上,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.
應(yīng)用三:將y=kx-1代入4x2-9y2=36,整理得
(4-9k2)x2+18kx-45=0.
當(dāng)4-9k2=0,即k=±時(shí),直線與雙曲線的漸近線平行,只有一個(gè)公共點(diǎn).
當(dāng)4-9k2≠0,即k≠±時(shí),Δ=(18k)2-4(4-9k2)·(-45)=0,即k=±,直線與雙曲線相切,只有一個(gè)公共點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)k=±或k=±時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).
基礎(chǔ)智能
15、檢測(cè)
1.C 由題意知2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,所以b==.又雙曲線的漸近線方程是y=±x,即y=±x,選C.
2.D 根據(jù)題意,得2a+2c=2×2b,所以a2+2ac+c2=4(c2-a2),即3c2-2ac-5a2=0.所以3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍).
3.x2-=1 焦點(diǎn)為(,0),漸近線方程為y=±3x,
∴解得
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,即x2-=1.
4.解:把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,由此可知實(shí)半軸長(zhǎng)a=1,虛半軸長(zhǎng)b=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0),(1,0),c===,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-,0),(,0),漸近線方程為±=0,即y=±2x.
全新視角拓展
D 由0<θ<,得cos θ>0,sin θ>0.
在雙曲線C1中,長(zhǎng)半軸a=sin θ,短半軸b=cos θ,半焦距c=1,離心率為e==;
在雙曲線C2中,長(zhǎng)半軸a'=cos θ,短半軸b'=sin θ,半焦距c'=1,離心率為e'==.故雙曲線C1與C2的焦距相等.
思維導(dǎo)圖構(gòu)建
|x|≥a,y∈R (-a,0)、(a,0) 關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 e=>1 有兩條,其方程為y=±x
2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1《雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)》word導(dǎo)學(xué)案
