（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 高考熱點追蹤（五）學(xué)案 文 蘇教版

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1、高考熱點追蹤(五) 圓錐曲線交匯大觀 交融性試題是高考數(shù)學(xué)試題中“搶眼”的一種題型，它多姿多彩的格調(diào)、清新優(yōu)美的風(fēng)采，構(gòu)成了高考試題中一道亮麗的風(fēng)景． 圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，成為聯(lián)系多項內(nèi)容的媒介，下面例析圓錐曲線與其他知識的交匯． 一、圓錐曲線與導(dǎo)數(shù)交匯 (2019·揚州期末)已知拋物線C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a，如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段． (1)a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程； (2)若C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相

2、平分． 【解】　(1)函數(shù)y＝x2＋2x的導(dǎo)數(shù)y′＝2x＋2，曲線C1在點P(x1，x＋2x1)的切線方程是： y－(x＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)， 即y＝(2x1＋2)x－x，① 函數(shù)y＝－x2＋a的導(dǎo)數(shù)y′＝－2x, 曲線C2在點Q(x2，－x＋a)的切線方程是y－(－x＋a)＝－2x2(x－x2)， 即y＝－2x2x＋x＋a，② 如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程， 所以，消去x2得方程2x＋2x1＋1＋a＝0， 若判別式Δ＝4－4×2(1＋a)＝0時，即a＝－時解得x1＝－，此時點P與Q重合． 即當(dāng)a＝－時C1和C2有且僅有一條公切線，

3、由①得公切線方程為y＝x－． (2)證明：由(1)可知．當(dāng)a<－時C1和C2有兩條公切線， 設(shè)一條公切線上切點為：P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 其中P在C1上，Q在C2上，則有x1＋x2＝－1， y1＋y2＝x＋2x1＋(－x＋a)＝x＋2x1－(－x1－1)2＋a＝－1＋a， 線段PQ的中點為． 同理，另一條公切線段P′Q′的中點也是． 所以公切線段PQ和P′Q′互相平分． [名師點評]　解析幾何與導(dǎo)數(shù)交匯的試題別致新穎，是高考的冷點．求解時要充分利用導(dǎo)數(shù)、解析幾何的概念、性質(zhì)，最好結(jié)合圖形來求解． 二、圓錐曲線與數(shù)列交匯 (2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(四))

4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，一條準(zhǔn)線方程為x＝． (1)求橢圓C的方程； (2)若F1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，D為橢圓C上的動點，求·的取值范圍； (3)若不過原點O的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，且滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求直線l的斜率． 【解】　(1)由題意得， 解得，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1， 故橢圓C的方程為＋y2＝1． (2)由(1)得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)點D(x，y)，則·＝(x＋)(x－)＋y2＝x2＋y2－3． 又＋y2＝1，x∈[－2，2]， 所以·＝－2∈[－2，

5、1]， 所以·的取值范圍是[－2，1]． (3)由題意得直線l不過原點且斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 聯(lián)立得，消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 所以， 所以4k2＋1＞m2． 所以kOP·kOQ＝·＝＝＝k2＋＝k＝k2，所以km·＝m2， 又m≠0，所以k2＝，所以k＝±． [名師點評]　本題考查了解析幾何與數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時注意轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用． 三、圓錐曲線與三角、向量交匯 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，點P在圓O：x2＋y2＝50上．若·≤20，則點P的橫坐

6、標(biāo)的取值范圍是________． 【解析】　設(shè)P(x，y)，則·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20，又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以點P在直線2x－y＋5＝0的上方(包括直線上)，又點P在圓x2＋y2＝50上，由解得x＝－5或x＝1，結(jié)合圖象(圖略)，可得－5≤x≤1，故點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[－5，1]． 【答案】　[－5，1] (2019·南京模擬)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e＝，右準(zhǔn)線為l，M，N是l上的兩個動點，·＝0． (1)若||＝||＝2，求a，b的值； (2)證明：當(dāng)M

7、N取最小值時，＋與共線． 【解】　由a2－b2＝c2與e＝＝，得a2＝2b2，a2＝2c2，F(xiàn)1，F(xiàn)2，l的方程為x＝a， 設(shè)M(a，y1)，N(a，y2)， 則＝，＝， 由·＝0得y1y2＝－a2<0，① (1)由||＝||＝2， 得 ＝2，② ＝2，③ 由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2＝4， 故a＝2，b＝＝． (2)證明：MN2＝(y1－y2)2＝y(tǒng)＋y－2y1y2≥－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝6a2． 由圖可得當(dāng)且僅當(dāng)y1＝－y2＝a時，MN取最小值a． 此時，＋＝＋＝(2a，y1＋y2)＝(2a，0)＝2， 故＋與共線． [名師點評

8、]　縱觀近幾年的江蘇高考數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)解析幾何與向量的交匯是解析題的重要形式，大部分的條件給出都是以向量形式出現(xiàn)，甚至題目的問題也以向量形式描述圓錐曲線的幾何特征．因此理解向量條件所表達(dá)的幾何意義，用好向量的基本運算是解決此類問題的關(guān)鍵． 直線與圓的位置關(guān)系判斷方法淺析 一、幾何法 圓心到直線的距離為d，圓半徑為r，當(dāng)d>r時，直線與圓相離，當(dāng)d＝r時，直線與圓相切，當(dāng)d0)內(nèi)不同于圓心的一點，試判斷直線x0x＋y0y＝a2與該圓的位置關(guān)系． 【解】　因為點M(x0，y0)是圓x2＋y2＝a2(a

9、>0)內(nèi)不為圓心的一點，所以0a，所以該直線與圓相離． [名師點評]　 通過比較圓心到直線的距離和半徑之間的大小關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系是判斷直線與圓位置關(guān)系最常用的方法，同學(xué)們要切實掌握． 二、代數(shù)法 直線l與圓C的方程聯(lián)立方程組，若方程組無解，則直線與圓相離，若方程組僅有一組解，則直線與圓相切，若方程組有兩組不同的解，則直線與圓相交． 求直線4x＋3y＝40和圓x2＋y2＝100的公共點坐標(biāo)，并判斷它們的位置關(guān)系． 【解】　直線4x＋3y＝40和圓x2＋y2＝100的公共點坐標(biāo)就是方程組的解． 解這個方程組，得或 所以公共點坐標(biāo)為

10、(10，0)，． 直線4x＋3y＝40和圓x2＋y2＝100有兩個公共點，所以直線和圓相交． [名師點評]　判斷直線與圓的位置關(guān)系，一般不用解方程組的方法，但要理解直線和圓的三種位置關(guān)系與相應(yīng)的直線和圓的方程所組成的二元二次方程組的解的對應(yīng)關(guān)系． 三、特殊點法 (2019·南通市模擬)對于任意實數(shù)k，判斷直線(3k＋2)x－ky－2＝0與圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的位置關(guān)系． 【解】　直線(3k＋2)x－ky－2＝0可化為k(3x－y)＋2(x－1)＝0，所以直線(3k＋2)x－ky－2＝0恒過定點(1，3)，而(1，3)在圓上，故直線(3k＋2)x－ky－2＝0與圓x2＋y

11、2－2x－2y－2＝0相交或相切． [名師點評]　若能知道直線過一個定點，通過定點與圓的位置關(guān)系進(jìn)而確定直線與圓的位置關(guān)系，這種方法避免了運算，具有一定的靈巧性． 四、數(shù)形結(jié)合法 若直線y＝x＋b與x＝恰有一個公共點，求實數(shù)b的取值范圍． 【解】　由題意x＝可化為x2＋y2＝4(x≥0)，表示一個右半圓，如圖所示． 直線l1的方程為：y＝x＋2，直線l2的方程為：y＝x－2，因為直線l3與半圓相切， 所以＝2，解得|b|＝2，所以直線l3的方程為：y＝x－2，由圖可知位于l1和l2之間的直線都與半圓只有一個交點，且l3與半圓相切，所以實數(shù)b的取值范圍為－2

12、 [名師點評]　 在解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時，我們通常采用“幾何法”， 當(dāng)幾何法失效時，代數(shù)法又比較繁雜時，同學(xué)們不妨嘗試一下數(shù)形結(jié)合的思想方法． 1．(2019·蘇州期末)雙曲線x2－＝1的漸近線方程為________． [解析] 令x2－＝0，得y＝±2x，即為雙曲線x2－＝1的漸近線方程． [答案] y＝±2x 2．(2019·南京、鹽城模擬)橢圓＋＝1的一條準(zhǔn)線方程為y＝m，則m＝________． [解析] 焦點在y軸上，＝m，m＝5． [答案] 5 3．(2019·太原調(diào)研)直線x－2y＋2＝0過橢圓＋＝1的左焦點F1和一個頂點B，則橢圓的方程為____

13、____． [解析] 直線x－2y＋2＝0與x軸的交點為(－2，0)，即為橢圓的左焦點，故c＝2． 直線x－2y＋2＝0與y軸的交點為(0，1)，即為橢圓的頂點，故b＝1． 故a2＝b2＋c2＝5，橢圓方程為＋y2＝1． [答案] ＋y2＝1 4．已知雙曲線C：－4y2＝1(a＞0)的右頂點到其一條漸近線的距離等于，拋物線E：y2＝2px的焦點與雙曲線C的右焦點重合，直線l的方程為x－y＋4＝0，在拋物線上有一動點M到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值為________． [解析] －4y2＝1的右頂點坐標(biāo)為(a，0)，一條漸近線為x－2ay＝0．由點到直

14、線的距離公式得d＝＝，解得a＝或a＝－(舍去)，故雙曲線的方程為－4y2＝1． 因為c＝ ＝1，故雙曲線的右焦點為(1，0)，即拋物線的焦點為(1，0)，所以p＝2，x＝－1是拋物線的準(zhǔn)線，因為點M到y(tǒng)軸的距離為d1，所以到準(zhǔn)線的距離為d1＋1，設(shè)拋物線的焦點為F，則d1＋1＝|MF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|MF|＋d2－1，焦點到直線l的距離d3＝＝＝，而|MF|＋d2≥d3＝，所以d1＋d2＝|MF|＋d2－1≥－1． [答案] －1 5．(2019·南京、鹽城高三模擬)已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圓M上存在點P，過點P作圓O

15、的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB＝60°，則實數(shù)a的取值范圍為________． [解析] 連結(jié)OA，OP，在直角三角形OAP中，OP＝2OA＝2．又OP∈[OM－1，OM＋1]，即1≤OM≤3，所以1≤a2＋(a－4)2≤9，化簡得， 解得2－≤a≤2＋． [答案] [2－，2＋] 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線Γ：－＝1(a>0，b>0)的漸近線為l1，l2，直線l：＋＝1分別與l1，l2交于A，B，若線段AB中點橫坐標(biāo)為－c，則雙曲線Γ的離心率為________． [解析] 依題意l1，l2的方程為－＝0， 聯(lián)立 消去y得x2＋x－1＝0， 即x2＋x－1＝

16、0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－， 因為線段AB中點橫坐標(biāo)為－c，所以x1＋x2＝－＝－2c， 所以a2＝b2，故雙曲線Γ的離心率為． [答案] 7．(2019·南京四校第一學(xué)期聯(lián)考)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，若直線l：3x＋4y＋m＝0上存在點P，過點P作圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，∠APB＝60°，則實數(shù)m的取值范圍是________． [解析] 圓C的圓心C(1，－2)，半徑r＝2．連接PC，AC，則在Rt△PCA中，∠APC＝30°，AC＝2，所以PC＝4，這樣就轉(zhuǎn)化為直線l上存在點P，且點P到圓心C的距離為4，

17、也就是直線l與以C為圓心，4為半徑的圓有公共點，所以≤4，解得－15≤m≤25，因此實數(shù)m的取值范圍是[－15，25]． [答案] [－15，25] 8．(2019·無錫市高三模擬)已知圓C：(x－2)2＋y2＝4，線段EF在直線l：y＝x＋1上運動，點P為線段EF上任意一點，若圓C上存在兩點A，B，使得·≤0，則線段EF長度的最大值是________． [解析] 由·≤0得∠APB≥90°，從直線上的點向圓上的點連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時，∠APB才是最大的角，不妨設(shè)切線為PM，PN，當(dāng)∠APB≥90°時，∠MPN≥90°，sin∠MPC＝≥sin 45°＝，所以PC≤2．另當(dāng)

18、過點P，C的直線與直線l：y＝x＋1垂直時，PCmin＝，以C為圓心，CP＝2為半徑作圓交直線l于E，F(xiàn)兩點，這時的線段長即為線段EF長度的最大值，所以EFmax＝2＝． [答案] 9．(2019·蘇州高三模擬)已知經(jīng)過點P(1，)的兩個圓C1，C2都與直線l1：y＝x，l2：y＝2x相切，則這兩圓的圓心距C1C2等于________． [解析] 設(shè)圓C經(jīng)過點P(1，)，且與直線l1：y＝x，l2：y＝2x均相切，圓心C(a，b)，由題意可知點C在第一象限，且在直線y＝2x的下方，在直線y＝x的上方，點C到兩直線的距離相等，即＝，化簡得a＝b>0，且()2＝(a－1)2＋(a－)2，化

19、簡整理得36a2－100a＋65＝0(*)，設(shè)C1(a1，a1)，C2(a2，a2)，則a1，a2是(*)的兩個不相等的實數(shù)根，則a1＋a2＝，a1a2＝，則|C1C2|＝|a1－a2|＝＝× ＝． [答案] 10．(2019·南京、鹽城高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別與拋物線交于A，B兩點(A，B異于坐標(biāo)原點O)．若直線AB恰好過點F，則雙曲線的漸近線方程是________． [解析] 不妨設(shè)點A是漸近線y＝x與拋物線的交點，則A(，)在拋物線上，所以()2＝2p×，化簡得＝2，故雙曲線的漸近線

20、方程是y＝±x＝±2x． [答案] y＝±2x 11．(2019·江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(八))在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C：x2＋(y－4)2＝4，有一動點P在直線x－2y＝0上運動，過點P作圓C的切線PA，PB，切點分別為A，B． (1)求切線長PA的最小值； (2)試問：當(dāng)點P運動時，弦AB所在的直線是否恒過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由． [解] (1)因為PA是圓C的一條切線，所以∠CAP＝90°，在Rt△CAP中，PA＝＝． 因為PC的最小值為圓心C到直線x－2y＝0的距離d，且d＝＝， 所以切線長PA的最小值PAmin＝＝． (2)設(shè)P(2

21、b，b)，易知經(jīng)過A，P，C三點的圓E以CP為直徑， 圓E的方程為(x－b)2＋(y－)2＝， 即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0?、伲? 又圓C：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0　②． ②－①，得圓E與圓C的相交弦AB所在直線的方程為 2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，即(2x＋y－4)b－4y＋12＝0． 由，解得． 所以弦AB所在的直線恒過定點(，3)． 12．(2019·衡水中學(xué)調(diào)研)已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1和F2，且F1F2＝2，點在該橢圓上． (1)求橢圓C的方程； (2)過F1的直線l與橢

22、圓C相交于A，B兩點，若△AF2B的面積為，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程． [解] (1)由題意知c＝1，2a＝＋＝4， 所以a＝2，故橢圓C的方程為＋＝1． (2)①當(dāng)直線l⊥x軸時，可取A，B，△AF2B的面積為3，不符合題意． ②當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)， 代入橢圓方程得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， 顯然Δ>0成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝， 可得AB＝·＝， 又圓F2的半徑r＝， 所以△AF2B的面積為AB·r＝＝， 代簡得17k4＋k2－18＝0，得k＝±1

23、， 所以r＝，圓的方程為(x－1)2＋y2＝2． 13．(2019·南京期末)已知中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓E的離心率為，橢圓E的一個焦點和拋物線y2＝－4x的焦點重合，過直線l：x＝4上一點M引橢圓E的兩條切線，切點分別是A，B． (1)求橢圓E的方程； (2)若在橢圓＋＝1(a>b>0)上的點(x0，y0)處的切線方程是＋＝1，求證：直線AB恒過定點C，并求出定點C的坐標(biāo)． [解] (1)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 因為拋物線y2＝－4x的焦點是(－1，0)，所以c＝1． 又＝， 所以a＝2，b＝＝， 所以所求橢圓E的方程為＋＝1． (2)證明：設(shè)切點坐標(biāo)

24、為A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l上一點M的坐標(biāo)為(4，t)， 則切線方程分別為＋＝1，＋＝1， 又兩切線均過點M， 即x1＋y1＝1，x2＋y2＝1， 即點A，B的坐標(biāo)都適合方程x＋y＝1， 而兩點確定唯一的一條直線， 故直線AB的方程是x＋y＝1， 顯然對任意實數(shù)t， 點(1，0)都適合這個方程， 故直線AB恒過定點C(1，0)． 14．(2019·江蘇四星級學(xué)校聯(lián)考)定義：設(shè)在平面內(nèi)給定一點O和常數(shù)k(k≠0)，對于平面內(nèi)任意一點A，確定A′，使A′在直線OA上，若線段長度|OA|與|OA′|滿足|OA|·|OA′|＝r2，則稱這種變換是以O(shè)為反演中心，以r

25、2為反演冪的反演變換，簡稱“反演”，稱A′為A關(guān)于O(r)的反演點．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為B，若△BF1F2是等邊三角形，且橢圓經(jīng)過點(2，3)． (1)求橢圓的方程； (2)若P，M是橢圓上不同的兩點，點M關(guān)于x軸的對稱點為N，直線MP，NP分別交x軸于點E(x1，0)，F(xiàn)(x2，0)，試探究E，F(xiàn)兩點是否互為反演點？如果是，請說明理由，并求出反演冪r2；如果不是，請說明理由． [解] (1)由題意可知，，得， 故橢圓的方程為＋＝1． (2)設(shè)P(x0，y0)，M(m，n)，則N(m，－n)， 則直線PM：y－y0＝(x－x0)，令y＝0，得x1＝， 同理可得x2＝， 所以x1·x2＝． 又＋＝1，＋＝1， 所以x1x2＝＝16． 即|OE|·|OF|＝16，故E，F(xiàn)兩點互為反演點，且反演冪r2＝16． - 13 -