2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.6 拋物線及其性質(zhì)練習(xí) 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.6 拋物線及其性質(zhì)練習(xí) 理考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測(cè)熱度1.拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)掌握2017課標(biāo)全國(guó),16;2016課標(biāo)全國(guó),10;2016四川,8;2016浙江,9;2015陜西,14;2014湖南,15;2013廣東,20選擇題解答題2.拋物線的幾何性質(zhì)掌握2017課標(biāo)全國(guó),10;2016天津,14;2015浙江,5;2014上海,3;2013北京,7選擇題解答題3.直線與拋物線的位置關(guān)系掌握2017北京,18;2016江蘇,22;2014大綱全國(guó),21;2014課標(biāo),10選擇題

2、解答題分析解讀1.熟練掌握拋物線的定義及四種不同的標(biāo)準(zhǔn)方程形式.2.會(huì)根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究得出幾何性質(zhì),會(huì)由幾何性質(zhì)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.能夠把直線與拋物線的位置關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解的問(wèn)題,判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問(wèn)題.4.本節(jié)在高考中以求拋物線的方程和研究拋物線的性質(zhì)為主,分值約為12分,屬偏難題.五年高考考點(diǎn)一拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2016課標(biāo)全國(guó),10,5分)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為() A.2B.4C.6D.8答案B2.(2016四川,8,5分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F

3、為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為()A.B.C.D.1答案C3.(2017課標(biāo)全國(guó),16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=.答案64.(2016浙江,9,4分)若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是.答案9教師用書(shū)專用(58)5.(2015陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線x2-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn),則p=.答案26.(2014湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG

4、的邊長(zhǎng)分別為a,b(a0)經(jīng)過(guò)C,F兩點(diǎn),則=.答案1+7.(2013廣東,20,14分)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c0)到直線l:x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求|AF|BF|的最小值.解析(1)依題意,設(shè)拋物線C的方程為x2=4cy,由題意易知=,且結(jié)合c0,解得c=1.所以拋物線C的方程為x2=4y.(2)拋物線C的方程為x2=4y,即y=x2,求導(dǎo)得y=x.設(shè)A(x1,y1),B(

5、x2,y2),則切線PA,PB的斜率分別為x1,x2,所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0.因?yàn)榍芯€PA,PB均過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.(3)由拋物線定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,聯(lián)立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+

6、=0.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又點(diǎn)P(x0,y0)在直線l上,所以x0=y0+2,所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.所以當(dāng)y0=-時(shí),|AF|BF|取得最小值,且最小值為.8.(2013湖南,21,13分)過(guò)拋物線E:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1,k2的兩條不同直線l1,l2,且k1+k2=2,l1與E相交于點(diǎn)A,B,l2與E相交于點(diǎn)C,D,以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在直線記為l.(1)若k10,k20,證明:0,k20,k1k2,所

7、以0k1k2=1.故0,所以點(diǎn)M到直線l的距離d=.故當(dāng)k1=-時(shí),d取最小值.由題設(shè)知=,解得p=8.故所求的拋物線E的方程為x2=16y.考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)1.(2015浙江,5,5分)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則BCF與ACF的面積之比是()A.B.C.D.答案A2.(2013四川,6,5分)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2-=1的漸近線的距離是()A.B.C.1D.答案B3.(2016天津,14,5分)設(shè)拋物線(t為參數(shù),p0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線,垂足為B.設(shè)

8、C,AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面積為3,則p的值為.答案教師用書(shū)專用(45)4.(2013北京,7,5分)直線l過(guò)拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于()A.B.2C.D.答案C5.(2013江西,14,5分)拋物線x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線-=1相交于A,B兩點(diǎn),若ABF為等邊三角形,則p=.答案6考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系1.(2014課標(biāo),10,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OAB的面積為()A.B.C.D.答案D2.(2014遼寧,1

9、0,5分)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為()A.B.C.D.答案D3.(2017北京,18,14分)已知拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1).過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)求證:A為線段BM的中點(diǎn).解析(1)由拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1),得p=.所以拋物線C的方程為y2=x.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x=-.(2)由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx

10、+(k0),l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.則x1+x2=,x1x2=.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,x1).直線ON的方程為y=x,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)閥1+-2x1=0,所以y1+=2x1.故A為線段BM的中點(diǎn).教師用書(shū)專用(45)4.(2016江蘇,22,10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p0).(1)若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),求拋物線C的方程;(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求證:線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)

11、為(2-p,-p);求p的取值范圍.解析(1)拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為,由點(diǎn)在直線l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以拋物線C的方程為y2=8x.(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)M(x0,y0).因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱,所以直線l垂直平分線段PQ,于是直線PQ的斜率為-1,則可設(shè)其方程為y=-x+b.由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn),所以y1y2,從而=(2p)2-4(-2pb)0,化簡(jiǎn)得p+2b0.方程(*)的兩根為y1,2=-p,從而y0=-p.因?yàn)镸(x0,y0)在直線l上,所以x0=2

12、-p.因此,線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p).因?yàn)镸(2-p,-p)在直線y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以p0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)過(guò)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l與C相交于M、N兩點(diǎn),且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.解析(1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由題設(shè)得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程為y2=4x.(5分)(2)依題意知l與

13、坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率為-m,所以l的方程為x=-y+2m2+3.將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中點(diǎn)為E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于|AE|=|BE|=|MN|,從而|AB

14、|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=.化簡(jiǎn)得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)三年模擬A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2018陜西西安一模,3)若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線-=1的右焦點(diǎn)重合,則p的值為() A.-2B.2C.-4D.4答案D2.(2018云南昆明質(zhì)檢,7)已知點(diǎn)M是拋物線C:y2=2px(p0)上一點(diǎn),F為C的焦點(diǎn),MF的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,2),則p的值為()A.1B.2C.3D.4答案D3.(2017皖北協(xié)作區(qū)3月聯(lián)考,3)已知拋物線C:x2=2py(p0

15、),若直線y=2x被拋物線所截弦長(zhǎng)為4,則拋物線C的方程為() A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y答案C4.(2017河南百校聯(lián)盟質(zhì)檢,4)已知拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離與其到對(duì)稱軸的距離之比為54,且|AF|2,則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為()A.3B.4C.4D.4答案B5.(2017河南新鄉(xiāng)二模,14)已知點(diǎn)A(1,y1),B(9,y2)是拋物線y2=2px(p0)上的兩點(diǎn),y2y10,點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),若|BF|=5|AF|,則+y2的值為.答案10考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)6.(2018青海西寧模擬,8)拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在y軸上,且滿足|=

16、|,B是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),則=()A.-4B.4C.0D.-4或4答案C7.(2018貴州貴陽(yáng)一模,8)過(guò)點(diǎn)M作圓x2+y2=1的切線l,l與x軸的交點(diǎn)為拋物線E:y2=2px(p0)的焦點(diǎn),l與拋物線E交于A、B兩點(diǎn),則AB的中點(diǎn)到拋物線E的準(zhǔn)線的距離為()A.B.3C.D.4答案D8.(2017江西紅色七校一聯(lián),7)已知拋物線y=x2和y=-x2+5所圍成的封閉曲線如圖所示,給定點(diǎn)A(0,a),若在此封閉曲線上恰有三對(duì)不同的點(diǎn),滿足每一對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1,3)B.(2,4)C.D.答案D9.(2017江西九校聯(lián)考,14)已知過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F

17、的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),|AF|=2,則|BF|=.答案2考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系10.(2018河南安陽(yáng)模擬,7)已知點(diǎn)A(-1,-2)在拋物線C:y2=2px(p0)的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線與拋物線交于M,N兩點(diǎn),則線段MN的長(zhǎng)為()A.4B.2C.2D.1答案A11.(2018四川南充模擬,7)如圖,過(guò)拋物線x2=2py(p0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,若|BC|=|BF|,且|AF|=4+2,則p=()A.1B.2C.D.3答案B12.(2017廣東汕頭一模,11)過(guò)拋物線C:x2=2y的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn)

18、,若拋物線C在點(diǎn)B處的切線的斜率為1,則|AF|=()A.1B.2C.3D.4答案A13.(人教A選21,二,2-4A,5,變式)過(guò)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F的一條直線與雙曲線x2-=1的一條漸近線平行,并交拋物線于A、B兩點(diǎn),若|AF|BF|,且|AF|=2,則拋物線的方程為()A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=x答案AB組20162018年模擬提升題組(滿分:40分時(shí)間:40分鐘)一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2018河南開(kāi)封一模,10)拋物線M:y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)F為焦點(diǎn),若拋物線M上一點(diǎn)P滿足PAPF,則以F為圓心且過(guò)點(diǎn)P的圓被y軸

19、所截得的弦長(zhǎng)約為(參考數(shù)據(jù):2.24)()A.B.C.D.答案D2.(2017山西五校3月聯(lián)考,11)已知拋物線C:y2=2px(p0)上一點(diǎn)(5,m)到焦點(diǎn)的距離為6,P、Q分別為拋物線C與圓M:(x-6)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)|PQ|取得最小值時(shí),向量在x軸正方向上的投影為() A.2-B.2-1C.1-D.-1答案A二、填空題(每小題5分,共15分)3.(2017河北唐山調(diào)研,15)已知拋物線x2=4y與圓C:(x-1)2+(y-2)2=r2(r0)有公共點(diǎn)P,若拋物線在P點(diǎn)處的切線與圓C也相切,則r=.答案4.(2017河南商丘模擬,16)如圖所示,已知拋物線y2=2px(p0)的焦

20、點(diǎn)恰好是橢圓+=1(ab0)的右焦點(diǎn)F,且兩曲線交點(diǎn)的連線也過(guò)焦點(diǎn)F,則該橢圓的離心率為.答案-15.(2017湖北孝感模擬,16)已知拋物線x2=4py(p0)的焦點(diǎn)為F,直線y=x+2與該拋物線交于A,B兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),過(guò)M作x軸的垂線,垂足為N,若+(+)=-1-5p2,則p的值為.答案三、解答題(共15分)6.(2018遼寧大連模擬,20)如圖,已知過(guò)拋物線E:x2=4y的焦點(diǎn)F的直線交拋物線E于A、C兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l1分別交y軸、拋物線E于點(diǎn)D、B(B與C不重合),FAD=FDA,經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作拋物線E的切線為l2.(1)求證:l1l2;(2)求三角形ABC面積的最小值.

21、解析(1)證明:拋物線E:x2=4y的焦點(diǎn)為F(0,1),且直線AF的斜率一定存在,故設(shè)AF的方程為y=kx+1.設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2)(不妨設(shè)x20),由得x2-4kx-4=0x1+x2=4k,x1x2=-4,FAD=FDA,|AF|=|DF|,y1+=yD-1,yD=y1+2.直線l1的斜率k1=,x1x2=-4,k1=x2,又y=x,過(guò)C(x2,y2)的切線斜率k2=x2.即k1=k2,l1l2.(2)由(1)得直線l1的斜率為x2,故直線l1的方程為y=x2x+2,聯(lián)立得x2-2x2x-8=0,x1+xB=2x2,x1xB=-(+8).|AB|=2,點(diǎn)C到直線l1的距離d

22、=,三角形ABC的面積S=|AB|d=(x2-x1)3.由(1)可得x2-x1=4,當(dāng)k=0時(shí),(x2-x1)min=4,當(dāng)k=0時(shí),三角形ABC的面積S=(x2-x1)3取到最小值,Smin=43=16.C組20162018年模擬方法題組方法1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1.(2018廣西欽州模擬,6)已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(x0,2)是拋物線C上一點(diǎn),圓M與y軸相切且與線段MF相交于點(diǎn)A,若=2,則p等于() A.1B.2C.2D.4答案B2.(2017江西贛州二模,4)拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上一點(diǎn),若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍,

23、且三角形OAF的面積為1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則p的值為() A.1B.2C.3D.4答案B3.(2017福建福州模擬,14)函數(shù)y=ax-1(a0且a1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)P,則焦點(diǎn)在x軸上且過(guò)點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.答案y2=x方法2拋物線定義的應(yīng)用策略4.(2018湖南長(zhǎng)沙模擬,7)已知點(diǎn)A(3,0),過(guò)拋物線y2=4x上一點(diǎn)P的直線與直線x=-1垂直相交于點(diǎn)B,若|PB|=|PA|,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()A.1B.C.2D.答案C5.(2018浙江溫州模擬,7)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),其焦點(diǎn)在x軸上,又拋物線上的點(diǎn)A(-1,a)與焦點(diǎn)F的距離為2,則a=()A.4B.4或-4C.-2D.-2或2答案

24、D6.(2018云南玉溪模擬,14)已知F是拋物線y=x2的焦點(diǎn),M、N是該拋物線上的兩點(diǎn),|MF|+|NF|=3,則線段MN的中點(diǎn)到x軸的距離為.答案7.(2017福建四地六校4月模擬,15)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)點(diǎn)F與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=6,若AB的垂直平分線交x軸于P點(diǎn),則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.答案(4,0)8.(2016陜西西安模擬,13)如圖,點(diǎn)F是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在拋物線及圓(x-2)2+y2=16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且AB總是平行于x軸,則FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是.答案(8,12)方法3解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的方法9.(201

25、8廣東汕頭一模,9)過(guò)拋物線C:x2=2y的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn),若拋物線C在點(diǎn)B處的切線斜率為1,則線段|AF|=()A.1B.2C.3D.4答案A10.(2017湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)模擬,20)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)點(diǎn)C(2,0)的直線與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求證:y1y2為定值;(2)是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值?如果存在,求出該直線的方程和弦長(zhǎng),如果不存在,說(shuō)明理由.解析(1)證明:設(shè)直線AB的方程為my=x-2.由得y2-4my-8=0,y1y2=-8,為定值.(2)存在.設(shè)存在直線x=a滿足條件.設(shè)AC的中點(diǎn)為E,則E,|AC|=,因此以AC為直徑的圓的半徑r=|AC|=,點(diǎn)E到直線x=a的距離d=,所以所截弦長(zhǎng)為2=2=.當(dāng)1-a=0,即a=1時(shí),弦長(zhǎng)為定值2,這時(shí)直線方程為x=1.