2022-2023學年高中數學 第三章 三角函數 3.1 弧度制與任意角 3.1.2 弧度制學案 湘教版必修2

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1、2022-2023學年高中數學 第三章 三角函數 3.1 弧度制與任意角 3.1.2 弧度制學案 湘教版必修2 [學習目標]　1.理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進行正確的轉換.2.體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實數集一一對應關系.3.掌握并能應用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式． [知識鏈接] 1．初中幾何研究過角的度量，當時是用度來做單位度量角的．那么1°的角是如何定義的？它的大小與它所在圓的大小是否有關？ 答　規(guī)定周角的做為1°的角；它的大小與它所在圓的大小無關． 2．用度做單位來度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以計算扇形弧長和面積，其公式是什么？

2、 答　l＝，S＝. [預習導引] 1．弧度制 (1)定義：單位圓上長度為1的圓弧所對的圓心角取為度量的單位，稱為弧度，這樣的單位制稱為弧度制． (2)任意角的弧度數與實數的對應關系 正角的弧度數是一個正數；負角的弧度數是一個負數；零角的弧度數是零． (3)角的弧度數的計算 如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數的絕對值是|α|＝. 2．角度制與弧度制的換算 (1) 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π 2π＝360° 180°＝π π＝180° 1°＝≈0.01745 1＝°≈57.30° (2)一些特殊角的度數與弧度數的對應關系

3、度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 0 π 2π 3.扇形的弧長及面積公式 設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則 度量單位類別 α為角度制 α為弧度制 扇形的弧長 l＝ l＝α·R 扇形的面積 S＝ S＝l·R＝α·R2 要點一　角度制與弧度制的換算 例1　將下列角度與弧度進行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. 解　(1)20°＝20×＝. (2)－15°＝－15×＝

4、－. (3)＝×°＝105°. (4)－＝－×°＝－396°. 規(guī)律方法　(1)進行角度與弧度換算時，要抓住關系：π＝180°.(2)熟記特殊角的度數與弧度數的對應值． 跟蹤演練1　(1)把112°30′化成弧度； (2)把－化成度． 解　(1)112°30′＝°＝×＝. (2)－＝－×°＝－75°. 要點二　用弧度制表示終邊相同的角 例2　把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角： (1)－1500°；　(2)；　(3)－4. 解　(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1500°可化成－10π

5、＋，是第四象限角． (2)∵＝2π＋， ∴與終邊相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π. ∴－4與2π－4終邊相同，是第二象限角． 規(guī)律方法　用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時，其中2kπ是π的偶數倍，而不是整數倍，還要注意角度制與弧度制不能混用． 跟蹤演練2　設α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. (1)將α1，α2用弧度制表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限； (2)將β1，β2用角度制表示出來，并在－720°～0°范圍內找出與它們終邊相同的所有角． 解　(1)∵180°＝π， ∴α1＝－570°＝－＝－

6、 ＝－2×2π＋， α2＝750°＝＝＝2×2π＋. ∴α1的終邊在第二象限，α2的終邊在第一象限． (2)β1＝＝×180°＝108°， 設θ＝108°＋k·360°(k∈Z)， 則由－720°≤θ<0°， 即－720°≤108°＋k·360°<0°， 得k＝－2，或k＝－1. 故在－720°～0°范圍內， 與β1終邊相同的角是－612°和－252°. β2＝－＝－60°， 設γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)， 則由－720°≤－60°＋k·360°<0°，得k＝－1，或k＝0. 故在－720°～0°范圍內，與β2終邊相同的角是－420°和－60°. 要點三

7、　扇形的弧長及面積公式的應用 例3　已知一個扇形的周長為a，求當扇形的圓心角多大時，扇形的面積最大，并求這個最大值． 解　設扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，面積為S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r. ∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r ＝－2＋. ∵r>0，l＝a－2r>0，∴0

8、積有最大值，最大值的求法是把面積S轉化為r的函數． 跟蹤演練3　一個扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數． 解　設扇形的半徑為R，弧長為l，則2R＋l＝4， ∴l(xiāng)＝4－2R，根據扇形面積公式S＝lR， 得1＝(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l(xiāng)＝2，∴α＝＝＝2， 即扇形的圓心角為2. 1．時針經過一小時，時針轉過了(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　時針經過一小時，轉過－30°， 又－30°＝－，故選B. 2．下列敘述中，正確的是(　　) A．1弧度是1度的圓心角所對的弧 B．1弧度是長度為半徑的弧 C．1弧度是1度的弧與1度的角之和

9、 D．1弧度是長度等于半徑長的弧對的圓心角的大小，弧度是角的一種度量單位 答案　D 3．已知兩角的和是1弧度，兩角的差是1°，則這兩個角為________． 答案?。? 解析　設這兩個角為α，β弧度，不妨設α>β， 則 解得α＝＋，β＝－. 4．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________． 答案?。? 解析　－π＝－2π＋＝2×(－1)π＋. ∴θ＝－π. 1.角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數集R之間建立起一一對應的關系：每一個角都有唯一的一個實數(即這個角的弧度數)與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角(即弧度

10、數等于這個實數的角)與它對應． 2．解答角度與弧度的互化問題的關鍵在于充分利用“180°＝π”這一關系式． 度數與弧度數的換算借助“度數×＝弧度數，弧度數×＝度數”進行，一些特殊角的度數與弧度數的對應值必須記牢． 3．在弧度制下，扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，具體應用時，要注意角的單位取弧度． 一、基礎達標 1．－300°化為弧度是(　　) A．－π B．－π C．－π D．－π 答案　B 2．集合A＝與集合B＝ 的關系是(　　) A．A＝B B．A?B C．B?A D．以上都不對 答案　A 3．已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長

11、是(　　) A．2 B．sin2 C. D．2sin1 答案　C 解析　r＝，∴l(xiāng)＝|α|r＝. 4．下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 答案　C 5．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，則α的集合是______． 答案　(－1.5π，－π)∪(0.5π，2] 解析　∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2， 當k＝－1時，－1.5π＜α＜－π，當k＝0時，0.5π＜α≤2， 當k

12、為其它整數時，滿足條件的角α不存在． 6．如果一扇形的弧長變?yōu)樵瓉淼谋叮霃阶優(yōu)樵瓉淼囊话?，則該扇形的面積為原扇形面積的________． 答案　 解析　由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，則S′＝l′R′＝×l×R＝S. 7．用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(不包括邊界)的角的集合． 解　(1)陰影部分內(不包括邊界)的角的集合為 {θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}． (2)陰影部分內(不包括邊界)的角的集合 {θ|kπ＋<θ

13、3 D．4∶9 答案　B 解析　設扇形的半徑為R，扇形內切圓半徑為r， 則R＝r＋＝r＋2r＝3r.∴S內切圓＝πr2. S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2. ∴S內切圓∶S扇形＝2∶3. 9．下列表示中不正確的是(　　) A．終邊在x軸上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} B．終邊在y軸上的角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z} C．終邊在坐標軸上的角的集合是{α|α＝k·，k∈Z} D．終邊在直線y＝x上的角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z} 答案　D 解析　終邊在直線y＝x上的角的集合應是{α|α＝＋kπ，k∈Z}． 10．已知集合A＝{x|2kπ≤

14、x≤2kπ＋π，k∈Z}， 集合B＝{x|－4≤x≤4}，則A∩B＝________. 答案　[－4，－π]∪[0，π] 解析　如圖所示， ∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]． 11．用30cm長的鐵絲圍成一個扇形，應怎樣設計才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？ 解　設扇形的圓心角為α，半徑為r，面積為S，弧長為l，則有l(wèi)＋2r＝30，∴l(xiāng)＝30－2r， 從而S＝·l·r＝(30－2r)·r ＝－r2＋15r＝－2＋. ∴當半徑r＝cm時，l＝30－2×＝15cm， 扇形面積的最大值是cm2，這時α＝＝2. ∴當扇形的圓心角為2，半徑為cm時，面積最大，為cm2.

15、 12.如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標原點，點P從點A(1,0)出發(fā)，依逆時針方向等速沿單位圓周旋轉，已知P點在1s內轉過的角為θ (0<θ<π)，2s時位于第三象限，14s時又回到了出發(fā)點A處，求θ. 解　因為0<θ<π，且2kπ＋π<2θ<2kπ＋(k∈Z)， 則必有k＝0，于是<θ<， 又14θ＝2nπ(n∈Z)，所以θ＝， 從而<<，即