2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 (II)

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1、2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 (II) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 1. 復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=i，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 定積分的值為 A. e+2 B. e+1 C. e D. e－1 3. 曲線y=x3－2x+1在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為 A. y=x－1 B. y=－x+l C. y=2x－2 D. y=－2x+2 4. 函數(shù)y=xcosx的導(dǎo)數(shù)為 A.

2、y'=cosx－xsinx B. y'=cosx+xsinx C. y'=xcosx－sinx D. y'=xcosx+sinx 5. 設(shè)f（x）=x2－2x－4 lnx，則函數(shù)f（x）的增區(qū)間為 A. （0，+） B. （－，－1），（2，+） C. （2，+） D. （－1，0） 6. 若復(fù)數(shù)z=（x2－4）+（x+3）i（x∈R），則“z是純虛數(shù)”是“x=2”的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 7. 函數(shù)f（

3、x）的定義域?yàn)殚_區(qū)間（a，b），其導(dǎo)函數(shù)f'（x）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 8. 直線y=3x與曲線y=x2圍成圖形的面積為 A. B. 9 C. D. 9. 若函數(shù)y=f（x）的圖像上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖像在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=f（x）具有T性質(zhì). 下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是 A. y=sinx B. y=lnx C. y=ex D. y=x3 10. 函數(shù)f（

4、x）=x3－3x－1，若對(duì)于區(qū)間[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是 A. 20 B. 18 C. 3 D. 0 11. 設(shè)函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（－1）=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf'（x）－f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是 A. （－，－1）（0，1） B. （－1，0）（1，+） C. （－，－1）（－l，0） D. （0，1）（1，+） 12. 設(shè)函數(shù)f（x）=（x－2）lnx－ax+l，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）<0，則

5、a的取值范圍是 A. （0，） B. （，] C. （，1） D. [，1） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分 13. 下列是關(guān)于復(fù)數(shù)的類比推理： ①復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則； ②由實(shí)數(shù)絕對(duì)值的性質(zhì)|x|2=x2類比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)|z|2=z2； ③已知a，b∈R，若a－b>0，則a>b類比得已知z1，z2∈C，若z1－z2>0，則z1>z2； ④由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義. 其中推理結(jié)論正確的是__________. 14. 如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是

6、y=－x+8，則f（xx）+f'（xx）=_________. 15. 已知函數(shù)f（x）=ex－2x+a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是_________. 16. 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l處有極值10，則（a，b）=__________. 17. 函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx的圖象如圖所示，且f（x）在x=x0與x=－1處取得極值，給出下列判斷： ①f（1）+f（－1）=0； ②f（－2）>0； ③函數(shù)y=f'（x）在區(qū)間（－，0）上是增函數(shù). 其中正確的判斷是_________. （寫出所有正確判斷的序號(hào)） 18. 對(duì)于函數(shù)f（x）=

7、（2x－x2）ex ①（－，）是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間； ②f（－）是f（x）的極小值，f（）是f（x）的極大值； ③f（x）有最大值，沒有最小值； ④f（x）沒有最大值，也沒有最小值. 其中判斷正確的是________. 三、解答題：本大題共4小題，每小題15分，共60分. 19. 已知函數(shù)f（x）=ax3+x2a∈R. 在x=－處取得極值. （I）確定a的值； （II）若g（x）=f（x）·ex，討論g（x）的單調(diào)性. 20. 設(shè)f（x）=a（x－5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）. （I

8、）確定a的值； （II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值. 21. 已知函數(shù)f（x）=ex+. （I）當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程； （II）函數(shù)f（x）是否存在零點(diǎn)?若存在，求出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 22. 已知函數(shù)f（x）=－ax. （I）當(dāng)a=2時(shí)，（i）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程； （ii）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （II）若1

9、11 12 答案 A C A A C B A D A A A B 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分 13 ①④ 14 －xx 15 （－，2ln2－2] 16 （4，－11） 17 ②③ 18 ②④ 三、解答題：本大題共4小題，共60分. 19. 解：（I）對(duì)f（x）求導(dǎo)得f'（x）=3ax2+ax， 因?yàn)閒（x）在x=－處取得極值，所以f'（－）=0， 即3a·+2·（－）=－=0，解得a=. （II）由（I）得g（x）=（）ex，故g'（x）=（）ex+（）ex＝（）ex =x（x+1）（x+4）

10、ex. 令g'（x）=0，解得x=0，x=－1或x=－4. 當(dāng)x<－4時(shí)，g' （x）<0，故g（x）為減函數(shù)； 當(dāng)－40，故g（x）為增函數(shù)； 當(dāng)－10時(shí)，g'（x）>0，故g（x）為增函數(shù). 綜上知，g（x）在（－，－4）和（－l，0）內(nèi)為減函數(shù)，在（－4，－1）和（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù). 20. 解：（I）因f（x）=a（x－5）2+6 lnx，故f'（x）=2a（x－5）+. 令x=1，得f（1）=16a，f' （1）=6－8a，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為

11、 y－16a=6－8a（x－1），由點(diǎn)（0，6）在切線上可得6－16a=8a－6，故a=. （II）由（I）知f（x）=（x－5）2+6lnx（x>0），f'（x）=x－5+=. 令f'（x）=0，解得x1=2，x2=3. 當(dāng)03時(shí)，f'（x）>0，故f（x）在（0，2），（3，+）上為增函數(shù)； 當(dāng)2

12、時(shí)，f'（0）=－3. 又f（0）=－1，則f（x）在x=0處的切線方程為y=－3x－l. （II）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ琣）（a，+）. 當(dāng)x∈（a，+）時(shí)，ex>0，>0，所以f（x）=ex+>0， 即f（x）在區(qū)間（a，+∞）上沒有零點(diǎn). 當(dāng)x∈（－∞，a）時(shí)，f（x）=ex+=， 令g（x）=ex（x－a）+1，只要討論g（x）的零點(diǎn)即可. g'（x）=ex（x－a+1），g'（a－1）=0. 當(dāng)x∈（－∞，a－1）時(shí)，g'（x）<0，g（x）是減函數(shù)； 當(dāng)x∈（a－1，a）時(shí)，g'（x）>0，g（x）是增函數(shù)， 所以g（x）在區(qū)間（－∞，a）上的最小

13、值為g（a－1）=1－ea－1. 當(dāng)a=1時(shí)，g（a－1）=0，所以x=a－1是f（x）的唯一的零點(diǎn)； 當(dāng)a0，所以f（x）沒有零點(diǎn)； 當(dāng)a>l時(shí)，g（a－1）=1－ea－1<0. 所以f（x）有兩個(gè)零點(diǎn). 22. 解：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=－2x. f'（x）=－2=. （i）可得f'（1）=0，又f（1）=－3，所以f（x）在點(diǎn)（1，－3）處的切線方程為y=－3. （ii）在區(qū)間（0，1）上2－2x2>0，且－lnx>0，則f'（x）>0. 在區(qū)間（1，+）上2－2x2<0，且－lnx<0，則f' （x）<0. 所以

14、f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+）. （II）由x>0，f（x）<－1，等價(jià)于－ax<－l，等價(jià)于ax2－x+1－lnx>0. 設(shè)h（x）=ax2－x+1－lnx，只須證h（x）>0成立. 因?yàn)閔'（x）=2ax－1－=，10. 則h（x）的最小值為h（x0）=ax－x0+1－lnx0 = =. 又h'（1）=2a－2>0，h'（）=2（）=a－3<0， 所以0，－lnx0>0. 因此－lnx0>0，即h（x0）>0. 所以h（x）>0 所以f（x）<－1.