（江蘇專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題二 三角函數(shù)與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質學案 文 蘇教版

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1、第1講　三角函數(shù)的圖象與性質 [2019考向導航] 考點掃描 三年考情 考向預測 2019 2018 2017 1．三角函數(shù)的圖象與解析式 江蘇近幾年高考三角函數(shù)試題一般是一個小題一個大題，大題一般都為基礎題，處在送分題的位置．從高考命題內容來看，三角函數(shù)的圖象和性質，尤其是三角函數(shù)的周期、最值、單調性、圖象變換、特征分析(對稱軸、對稱中心)等是命題熱點． 2．三角函數(shù)的圖象與性質 第7題 第16題 1．必記的概念與定理 (1)同角關系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α． (2)誘導公式：在＋α，k∈Z的誘導公式中“奇變偶不變，符號看

2、象限”． (3)三角函數(shù)的圖象及常用性質 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 單調性 在2kπ，(k∈Z)上單調遞增；在＋2kπ，(k∈Z)上單調遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調遞減 在 kπ，(k∈Z)上單調遞增 對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z)； 對稱軸：x＝kπ(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z) 2．記住幾個常用的公式與結論 對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)要記住下面幾個常用結論：

3、 (1)定義域：R． (2)值域：[－A，A]． 當x＝(k∈Z)時，y取最大值A； 當x＝(k∈Z)時，y取最小值－A． (3)周期性：周期函數(shù)，最小正周期為． (4)單調性： 單調遞增區(qū)間是(k∈Z)； 單調遞減區(qū)間是(k∈Z)． (5)對稱性：函數(shù)圖象與x軸的交點是對稱中心，即對稱中心是(k∈Z)，對稱軸與函數(shù)圖象的交點縱坐標是函數(shù)的最值，即對稱軸是直線x＝，其中k∈Z． (6)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A影響函數(shù)圖象的最高點和最低點，即函數(shù)的最值；ω影響函數(shù)圖象每隔多少長度重復出現(xiàn)，即函數(shù)的周期；φ影響函數(shù)的初相． (7)對于函數(shù)y＝Asi

4、n(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象，相鄰的兩個對稱中心或兩條對稱軸相距半個周期；相鄰的一個對稱中心和一條對稱軸相距周期的四分之一． 3．需要關注的易錯易混點 三角函數(shù)圖象平移問題 (1)看平移要求： 看到這類問題，首先要看題目要求由哪個函數(shù)平移到哪個函數(shù)，這是判斷移動方向的關鍵點． (2)看移動方向： 在學習中，移動的方向一般我們會記為“正向左，負向右”，其實，這樣不理解的記憶是很危險的．上述規(guī)則不是簡單地看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正負，而是和它的平移要求有關．正確地理解應該是：平移變換中，將x變換為x＋φ，這時才是“正向左，負向右”． (3)看移動單位： 在函數(shù)y＝Asi

5、n(ωx＋φ)中，周期變換和相位變換都是沿x軸方向的，所以ω和φ之間有一定的關系，φ是初相位，再經(jīng)過ω的壓縮，最后移動的單位是||． 三角函數(shù)的圖象與解析式 [典型例題] (1)(2018·高考江蘇卷)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，則φ的值是________． (2)(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(八))已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f的值為________． 【解析】　(1)由函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，得sin＝±1，因為－<φ<，所以<＋φ<，則＋φ＝，φ＝－． (2)由函數(shù)f(x)的部

6、分圖象可知，A＝2，T＝－＝，得T＝π，所以ω＝2．當x＝時，f(x)＝2，即sin(2×＋φ)＝1，又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝2sin(2x＋)，所以f(－)＝2sin(－＋)＝2sin(－)＝－． 【答案】　(1)－　(2)－ 確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法 (1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝；　 (2)求ω：確定函數(shù)的周期T，則可得ω＝； (3)求φ：①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間還是在下降區(qū)間)． ②五點法：確定φ值時，往

7、往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口．具體如下： “第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)是ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象的“峰點”)是ωx＋φ＝；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)是ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象的“谷點”)是ωx＋φ＝；“第五點”是ωx＋φ＝2π． [對點訓練] 1．定義在區(qū)間[0，3π]上的函數(shù)y＝sin 2x的圖象與y＝cos x的圖象的交點個數(shù)是________． [解析] 由sin 2x＝cos x可得cos x＝0或sin x＝，又x∈[0，3π]，則x＝，，或x＝，，，，故所求交點個數(shù)是7． [答案] 7 2．(2019·江蘇省高考命題研究專

8、家原創(chuàng)卷(四))已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分圖象如圖所示，其中M，N是圖象與x軸的交點，K是圖象的最高點，若點M的坐標為(3，0)且△KMN是面積為的正三角形，則f＝________． [解析] 由正三角形KMN的面積為知，△KMN的邊長為2，高為，即A＝，最小正周期T＝2×2＝4，ω＝＝＝，又M(3，0)，MN＝2，所以×4＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ－，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝，即f(x)＝sin＝cosx，f＝cos＝． [答案] 三角函數(shù)的圖象與性質 [典型例題] (2019·南京、鹽城高三模擬)設函數(shù)f(

9、x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)當x∈時，求f(x)的取值范圍． 【解】　(1)由圖象及A>0知，A＝2． 又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，得ω＝1． 所以f(x)＝2sin(x＋φ)． 將點代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 即φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又－<φ<，所以φ＝． 所以f(x)＝2sin． (2)當x∈時，x＋∈， 所以sin∈，即f(x)∈[－，2]． 在江蘇高考中，三角函數(shù)試題主要以兩種形式出現(xiàn)：一是注重考查三角函數(shù)定義、性質、同角三角函數(shù)關系、誘導公式等基礎知識；二是以基本三角函數(shù)圖

10、象和正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)圖象為載體，全面考查三角函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、圖象變換等基礎知識，即考查三角函數(shù)圖象性質和數(shù)形結合思想等． [對點訓練] 3．(2019·合肥模擬)設函數(shù)f(x)＝sin－2cos2． (1)求y＝f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間； (2)若函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，當x∈[0，1]時，求函數(shù)y＝g(x)的最大值． [解] (1)由題意知f(x)＝sin －cos－1 ＝sin－1， 所以y＝f(x)的最小正周期T＝＝6． 由2kπ－≤－≤2kπ＋，k∈Z， 得6k－≤x≤6k＋，k∈Z， 所以

11、y＝f(x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z． (2)因為函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱， 所以當x∈[0，1]時，y＝g(x)的最大值即為x∈[3，4]時， y＝f(x)的最大值， 當x∈[3，4]時，x－∈，sin∈，f(x)∈， 即當x∈[0，1]時， 函數(shù)y＝g(x)的最大值為． 1．函數(shù)y＝tan的定義域是________． [解析] 因為x－≠kπ＋，所以x≠kπ＋，k∈Z． [答案] 2．(2019·徐州模擬)函數(shù)y＝cos的單調減區(qū)間為________． [解析] 由y＝cos＝cos得 2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

12、解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以函數(shù)的單調減區(qū)間為(k∈Z)． [答案] (k∈Z) 3．(2019·鎮(zhèn)江市高三調研考試)定義在的函數(shù)f(x)＝8sin x－tan x的最大值為________． [解析] f′(x)＝8cos x－＝，令f′(x)＝0，得cos x＝，又x∈，所以x＝，且當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，當x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，所以f是f(x)的極大值，也是最大值，故f(x)max＝f＝3． [答案] 3 4．(2019·蘇北三市高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin x(x∈[0，π])和函數(shù)g(x)＝tan x的圖象交于A，

13、B，C三點，則△ABC的面積為________． [解析] 由題意知，x≠，令sin x＝tan x，可得sin x＝，x∈∪，可得sin x＝0或cos x＝，則x＝0或π或，不妨設A(0，0)，B(π，0)，C，則△ABC的面積為π×＝π． [答案] π 5．(2019·江蘇名校高三入學摸底)已知在矩形ABCD中，AB⊥x軸，且矩形ABCD恰好能完全覆蓋函數(shù)y＝acos(aπx)＋b(a，b∈R，a≠0)的一個完整周期的圖象，則當a變化時，矩形ABCD的面積為________． [解析] 由題意得，矩形ABCD的邊長分別為函數(shù)y＝acos(aπx)＋b(a，b∈R，a≠0)的最小正

14、周期和|2a|，故此矩形的面積為×|2a|＝4． [答案] 4 6．(2019·山西四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則y＝f取得最小值時x的集合為________． [解析] 根據(jù)所給圖象，周期T＝4×＝π，故π＝，所以ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外圖象經(jīng)過，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|＜，得φ＝－，所以f＝sin，當2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)時，y＝f取得最小值． [答案] 7．(2019·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)為奇函數(shù)，A(a，0)，B

15、(b，0)是其圖象上兩點，若|a－b|的最小值是1，則f＝________． [解析] 因為函數(shù)f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)為奇函數(shù)，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f(x)＝－4sin ωx，又A(a，0)，B(b，0)是其圖象上兩點，且|a－b|的最小值是1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin πx，所以f＝－4sin ＝－2． [答案] －2 8．(2019·蘇北三市高三第一次質量檢測)將函數(shù)f(x)＝sin 2x的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則以函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的相鄰三個交點

16、為頂點的三角形的面積為______． [解析] 函數(shù)f(x)＝sin 2x的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)＝sin的圖象，如圖所示，點A的坐標為，B，C之間的距離為一個周期π，所以三角形ABC的面積為π×2×＝． [答案] 9．(2019·開封模擬)如果存在正整數(shù)ω和實數(shù)φ使得函數(shù)f(x)＝sin2(ωx＋φ)的圖象如圖所示(圖象經(jīng)過點(1，0))，那么ω的值為________． [解析] 由f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝及其圖象知，<×<1，即<ω<π，所以正整數(shù)ω＝2或3．由函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(1，0)，得f(1)＝＝0，得2ω＋2φ＝2kπ(k∈Z)，即

17、2φ＝2kπ－2ω(k∈Z)．由圖象知f(0)>，即＝>，得cos 2ω<0，所以ω＝2． [答案] 2 10．(2019·無錫市普通高中高三調研考試)已知直線y＝a(x＋2)(a>0)與函數(shù)y＝|cos x|的圖象恰有四個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，其中x10)與y＝|cos x|的圖象在x＝x4處相切，且x4∈，則a(x4＋2)＝－co

18、s x4，所以a＝，又在上，y＝－cos x，y′＝sin x，所以(－cos x4)′＝sin x4，所以a＝sin x4．因此a＝＝sin x4，即＝－x4－2，x4＋＝x4＋＝－2． [答案] －2 11．已知函數(shù)f(x)＝sin＋1． (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)畫出函數(shù)y＝f(x)在上的圖象． [解] (1)振幅為，最小正周期T＝π，初相為－． (2)圖象如圖所示． 12．(2019·揚州市第一學期期末檢測)已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x，x∈R． (1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)求方程f(x)＝

19、0在(0，π]內的所有解． [解] f(x)＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)． (1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z． (2)由f(x)＝0，得2sin(2x＋)＝0，得2x＋＝kπ，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z， 因為x∈(0，π]，所以x＝或x＝． 13．(2019·南通市高三調研)已知函數(shù)f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，且經(jīng)過點． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若角

20、α滿足f(α)＋f＝1，α∈(0，π)，求角α的值． [解] (1)由條件得，最小正周期T＝2π， 即＝2π，所以ω＝1，即f(x)＝Asin． 因為f(x)的圖象經(jīng)過點， 所以Asin＝，所以A＝1， 所以f(x)＝sin． (2)由f(α)＋f＝1， 得sin＋sin＝1， 即sin－cos＝1， 所以2sin＝1，即sin α＝． 因為α∈(0，π)，所以α＝或． 14．已知函數(shù)f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，直線x＝x1，x＝x2是y＝f(x)圖象的任意兩條對稱軸，且|x1－x2|的最小值為． (1)求f(x)的表達式； (2)將

21、函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若關于x的方程g(x)＋k＝0在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍． [解] (1)f(x)＝sin 2ωx＋×－ ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin， 由題意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝， 所以ω＝2，所以f(x)＝sin． (2)將f(x)的圖象向右平移個單位后， 得到y(tǒng)＝sin的圖象， 再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)＝sin的圖象． 所以g(x)＝sin． 令2x－＝t， 因為0≤x≤， 所以－≤t≤． g(x)＋k＝0在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解， 即函數(shù)g(t)＝sin t與y＝－k在區(qū)間上有且只有一個交點． 如圖， 由正弦函數(shù)的圖象可知－≤－k<或－k＝1． 所以－