2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第三講 第二課時 圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、存在性問題課后訓(xùn)練 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第三講 第二課時 圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、存在性問題課后訓(xùn)練 文 1．(2018·云南師大附中質(zhì)檢)已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，且過點(diǎn). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若＝λ1，＝λ2，求證：λ1＋λ2為定值． 解析：(1)設(shè)橢圓C的方程為 ＋＝1(a＞b＞0)， 則 ∴a2＝5，b2＝1， ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0) ， 又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)． 顯然直線l存在斜率

2、， 設(shè)直線l的斜率為k， 則直線l的方程是y＝k(x－2)，將直線l的方程代入橢圓C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 又∵＝λ1，＝λ2，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得λ1＝，λ2＝， ∴λ1＋λ2＝＋ ＝ ＝＝－10， 即λ1＋λ2為定值． 2．(2018·貴陽一模)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)若A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，求證：直線BD恒過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)． 解析：(1)易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，則直線l的方程為y＝k

3、(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 由題意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1， 由拋物線的定義知|AB|＝x1＋x2＋2＝8， ∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1， ∴直線l的方程為y＝±(x－1)． (2)由拋物線的對稱性知，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，－y1)，直線BD的斜率kBD＝＝＝， ∴直線BD的方程為y＋y1＝(x－x1)， 即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1， ∵y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)2

4、＝16x1x2＝16， 即y1y2＝－4(y1，y2異號)， ∴直線BD的方程為4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0， 恒過點(diǎn)(－1,0)． 3．(2018·南寧模擬)已知拋物線C：y2＝ax(a＞0)上一點(diǎn)P(t，)到焦點(diǎn)F的距離為2t. (1)求拋物線C的方程； (2)拋物線C上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)Q(3，－1)的直線與拋物線C交于M，N兩個不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值． 解析：(1)由拋物線的定義可知|PF|＝t＋＝2t，則a＝4t， 由點(diǎn)P(t，)在拋物線上，得at＝， ∴a×＝，則a2＝1， 由a＞0，

5、得a＝1， ∴拋物線C的方程為y2＝x. (2)∵點(diǎn)A在拋物線C上，且yA＝1， ∴xA＝1. ∴A(1,1)，設(shè)過點(diǎn)Q(3，－1)的直線的方程為x－3＝m(y＋1)， 即x＝my＋m＋3， 代入y2＝x得y2－my－m－3＝0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3， ∴k1k2＝· ＝ ＝－， ∴k1k2為定值． 4．(2018·福州四校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個端點(diǎn)為P，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)l⊥x軸時，|RS|＝3. (1

6、)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得當(dāng)l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱？若存在，請求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解析：(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì)，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝. 將x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3. 又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝， 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)當(dāng)直線l垂直于x軸時，顯然x軸上任意一點(diǎn)T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱． 當(dāng)直線l不垂直于x軸時，假設(shè)存在T(t,0)滿足條件，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)． 聯(lián)立方程，得得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得①，其中Δ＞0恒成立， 由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，得kTS＋kTR＝0(顯然TS，TR的斜率存在)， 即＋＝0?、? 因為R，S兩點(diǎn)在直線y＝k(x－1)上， 所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得 ＝＝0， 即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0　③， 將①代入③得＝＝0　④， 則t＝4， 綜上所述，存在T(4,0)，使得當(dāng)l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱．