2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第三講 第二課時(shí) 圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、存在性問題課后訓(xùn)練 文

2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第三講 第二課時(shí) 圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、存在性問題課后訓(xùn)練 文1(2018·云南師大附中質(zhì)檢)已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，且過點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若1，2，求證：12為定值解析：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，則a25，b21，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0) ，又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)顯然直線l存在斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是yk(x2)，將直線l的方程代入橢圓C的方程中，消去y并整理得(15k2)x220k2x20k250，x1x2，x1x2.又1，2，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得1，2，1210，即12為定值2(2018·貴陽一模)過拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|8.(1)求l的方程；(2)若A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，求證：直線BD恒過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)解析：(1)易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，則直線l的方程為yk(x1)，代入拋物線方程y24x得k2x2(2k24)xk20，由題意知k0，且(2k24)24k2·k216(k21)0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由拋物線的定義知|AB|x1x228，6，k21，即k±1，直線l的方程為y±(x1)(2)由拋物線的對稱性知，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線BD的斜率kBD，直線BD的方程為yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y4x4x1，y4x1，y4x2，x1x21，(y1y2)216x1x216，即y1y24(y1，y2異號)，直線BD的方程為4(x1)(y1y2)y0，恒過點(diǎn)(1,0)3(2018·南寧模擬)已知拋物線C：y2ax(a0)上一點(diǎn)P(t，)到焦點(diǎn)F的距離為2t.(1)求拋物線C的方程；(2)拋物線C上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)Q(3，1)的直線與拋物線C交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值解析：(1)由拋物線的定義可知|PF|t2t，則a4t，由點(diǎn)P(t，)在拋物線上，得at，a×，則a21，由a0，得a1，拋物線C的方程為y2x.(2)點(diǎn)A在拋物線C上，且yA1，xA1.A(1,1)，設(shè)過點(diǎn)Q(3，1)的直線的方程為x3m(y1)，即xmym3，代入y2x得y2mym30.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2m，y1y2m3，k1k2·，k1k2為定值4(2018·福州四校聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，PF1F2內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)lx軸時(shí)，|RS|3.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱？若存在，請求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解析：(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì)，得×2c×b×(2a2c)×，得.將xc代入1，得y±，所以3.又a2b2c2，所以a2，b，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然x軸上任意一點(diǎn)T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，假設(shè)存在T(t,0)滿足條件，設(shè)l的方程為yk(x1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)聯(lián)立方程，得得(34k2)x28k2x4k2120，由根與系數(shù)的關(guān)系得，其中0恒成立，由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，得kTSkTR0(顯然TS，TR的斜率存在)，即0.因?yàn)镽，S兩點(diǎn)在直線yk(x1)上，所以y1k(x11)，y2k(x21)，代入得0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，將代入得0，則t4，綜上所述，存在T(4,0)，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱