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1、2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理答案
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時(shí)間120分鐘
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
ADCCD ABABC AB
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在題中的橫線上.
(13) (14) (15)(16)
三、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(17) （本小題滿分10分）函數(shù)定義域?yàn)椋?
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）指出函數(shù)
2、的極值點(diǎn)并求對(duì)應(yīng)的極值.
解：（1）
得或，解得或
得或，解得或
所以單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為和…………5分
（2）由（1）可知，極大值點(diǎn)為從而和；極小值點(diǎn)為，從而………………………………………………10分
(18)（本小題滿分12分）
已知為實(shí)數(shù)．
（1）若，求；
（2）若，求的值．
【答案】解：（1）因?yàn)?
…………………………………………………………6分
（2）由條件，得，
即，，
，解得……………………………………12分
(19)（本小題滿分12分）已知函數(shù)，對(duì)于正數(shù)，記，如圖，由點(diǎn)構(gòu)成的矩形的周長(zhǎng)為（），都滿足．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)猜想的表達(dá)
3、式用表示，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
【答案】(Ⅰ)解：由題意知，，又因?yàn)?，所以．令，得，又，且，故．令，得，故；令，得，故；………………?分
(Ⅱ)解：由上述過程猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，，命題成立；
②假設(shè)時(shí)命題成立，即，
則當(dāng)時(shí)，，又，故，由，代入得，．即當(dāng)時(shí)命題成立．綜上所述，對(duì)任意自然數(shù)n，都有成立．………………………………………………………………………………12分
(20) （本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(Ⅰ)若，求在處切線的方程；
(Ⅱ)若對(duì)任意均有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間外，求的取值范圍．
【答案】解：（1
4、），
又切線方程為 ……………………………………4分
（2），
設(shè)，它的圖象是開口向下的拋物線，由題意對(duì)任意有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且，，則對(duì)任意，即，有，
又任意關(guān)于遞增，，故，所以…………12分
(21) （本小題滿分12分）已知函數(shù)，．
(Ⅰ) 討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(Ⅱ) 設(shè),當(dāng)時(shí)，試用反證法證明：與中至少有一個(gè)大于0．
解（1）由題可得，令．設(shè)，令，得；令，得．故在上遞減，在上遞增．
．
當(dāng)或時(shí)，無零點(diǎn)．
當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．…………………………6分
（2）（反證法）假設(shè)都不大于0，即
又
設(shè)，，所以
，
所以，因?yàn)椴荒芡瑫r(shí)取到最小值，從而，與矛盾。所以假設(shè)不成立，所以，在與中至少有一個(gè)大于0．……………………12分
(22)（本小題滿分12分） 已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍；
（2）若對(duì)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
解：（1）
，只要的最小值為負(fù)即可，從而
.
由基本不等式，從而…………………………4分
（2）由題意問題等價(jià)于恒成立，所以必有，從而解得.
從而當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.
令，，所以問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)恒成立；當(dāng)時(shí)恒成立.
由，設(shè)，，
當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)楹愠闪?，所以，解得?
同理可得，當(dāng)時(shí)，也成立。所以實(shí)數(shù)的最大值為2……………………12分
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