2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（含解析）

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1、2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（含解析） 一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目的要求） 1. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)式，再求得共軛復(fù)數(shù)。 【詳解】由題意可得 ,共軛復(fù)數(shù)為.所以選C. 【點(diǎn)睛】運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋

2、(bc＋ad)i. 2. ①是一次函數(shù)；②的圖像是一條直線；③一次函數(shù)的圖像是一條直線.寫一個“三段論”形式的正確推理，則作為大前提、小前提和結(jié)論的分別是(　　) A. ②①③ B. ③②① C. ①②③ D. ③①② 【答案】D 【解析】 三段論：①y=2x+5是一次函數(shù)；②y=2x+5的圖象是一條直線；③一次函數(shù)的圖象是一條直線；大前提是③，小前提是①，結(jié)論是②．故排列的次序應(yīng)為：③①②，故選D. 點(diǎn)睛：演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理．三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來講就是：若集合的所有元素都具有性質(zhì)，是的子集，那么中所有元素都具有

3、性質(zhì)．三段論的公式中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況；這兩個判斷聯(lián)合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷結(jié)論．演繹推理是一種必然性推理，演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系．因而，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實(shí)的，但錯誤的前提可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論 3. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先對函數(shù)求導(dǎo)，求得，，再由點(diǎn)斜式求得切線方程。 【詳解】，所以，，所以切線方程為，化簡得，選A。 【點(diǎn)睛】本題考

4、查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線的方程即函數(shù)在處的切線方程為。 4. 已知， 則等于（　?。? A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得：，將代入可得，即，故選B. 5. 用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程有有理數(shù)根，那么中至少有一個偶數(shù)時，下列假設(shè)正確的是（　?。? A. 假設(shè)都是偶數(shù) B. 假設(shè)都不是偶數(shù) C. 假設(shè)至多有一個偶數(shù) D. 假設(shè)至多有兩個偶數(shù)． 【答案】B 【解析】 “若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么中至少有一個是偶數(shù)”的反證假設(shè)是“假設(shè)都不是偶數(shù)” 選B 6. 若4位同學(xué)報名參加3個不同的課外活動小

5、組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有（ ） A. 34種 B. 9種 C. 43種 D. 12種 【答案】C 【解析】 【分析】 由分步計(jì)數(shù)原理人去選活動小組，可得結(jié)果。 【詳解】由分步計(jì)數(shù)原理人去選活動小組，每個人都選完，事情結(jié)束，所以方法數(shù)為43種。選C. 【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理求完成事情的方法數(shù)，只需要區(qū)分理解分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理。 7. 已知且,計(jì)算,猜想等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分別令，由方程寫出，根據(jù)的特征猜想出的通項(xiàng)公式。 【詳解】由題意可

6、得，代入，得，即，所以， 令n=2,代入，得，即，所以，所以猜想，選B. 【點(diǎn)睛】本題?？疾椴煌耆珨?shù)學(xué)歸納法，這是尋找解題思想和方法的突破點(diǎn)的極其重要的一種方法和手段。 8. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 “ (n∈N*，n＞1)”時由n＝k(k＞1)不等式成立，推證n＝k＋1時左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是(　　) A. k＋1 B. k C. 2k D. 2k＋1 【答案】C 【解析】 【分析】 當(dāng)n＝k＋1時，增加的項(xiàng)為，共項(xiàng)。 【詳解】當(dāng)n=k時，式子為“ (n∈N*，n＞1)”， 當(dāng)n=k+1時，式子為“ (n∈N*，n＞1)”，所以增加了共項(xiàng)，即項(xiàng),選C. 【

7、點(diǎn)睛】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè))假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對從n0開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可． 9. 如圖陰影部分的面積是(　　) A. e＋ B. e＋－1 C. e＋－2 D. e－ 【答案】C 【解析】 試題分析：陰影部分的面積為. 考點(diǎn)：定積分的應(yīng)用. 10. 設(shè)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集是（ ） A. B. C.

8、 D. 【答案】C 【解析】 ∵，即，故在上單調(diào)遞增，又∵是上的偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，∵,故不等式的解集是，故選C. 點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，不等式的解法等，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題；先根據(jù)可確定，進(jìn)而可得到在上遞增，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可確定在上是減函數(shù)，最后根據(jù)可求得答案. 二、填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分） 11. 已知為虛數(shù)單位，設(shè)，則=______． 【答案】. 【解析】 【分析】 由于是以4為周期的數(shù)列，所以相連的四項(xiàng)和為0，由此求得。 【詳解】由于，所以， 即=,所以，填。 【點(diǎn)睛】記

9、住以下結(jié)論，可提高運(yùn)算速度 (1)(1±i)2＝±2i；(2)；(3)；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)； (5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)． 12. a，b，c，d，e共5個人，從中選1名組長1名副組長，但a不能當(dāng)副組長，不同的選法總數(shù)是___________． 【答案】16. 【解析】 【分析】 用間接法，用總共情況減去當(dāng)副組長的情況，即為所求。 【詳解】間接法，用總共情況減去當(dāng)副組長的情況，填16. 【點(diǎn)睛】本題考查帶限制條件的排列組合問題，間接法是一種常用的方法。 13. 復(fù)數(shù),，則的最大值是___________．

10、 【答案】. 【解析】 【分析】 設(shè)，且，求出 ，再由三角換元可求出最大值。 【詳解】設(shè)，且，， 所以 所以最大值為，填3+。 【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的最值問題，利用待定系數(shù)法結(jié)合函數(shù)思想求得最值。 14. 在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則，推廣到空間可以得到類似結(jié)論；已知正四面體P﹣ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則=_________． 【答案】. 【解析】 由平面圖形類比空間圖形，由二維類比三維，如圖，設(shè)正四面體P－ABC的棱長為a，E為等邊三角形ABC的中心，O為內(nèi)切球與外接球的球心，則AE＝a，P

11、E＝a.設(shè)OA＝R，OE＝r，則r＝a－R，又在Rt△AOE中，OA2＝OE2＋AE2，即R2＝2＋2，∴R＝a，r＝a，∴正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是31，故正四面體P－ABC的內(nèi)切球體積V1與外接球體積V2之比等于127，即＝. 三、解答題：（本大題共4小題，共44分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 15. 計(jì)算： (1) (2) 已知復(fù)數(shù)，求 【答案】(1) . (2) . 【解析】 【分析】 （1）先化簡 ，再做復(fù)數(shù)平方運(yùn)算。（2）代入，由復(fù)數(shù)除法可得。 【詳解】（1） ，填。 （2） ，填-2i。 【點(diǎn)睛】本題綜合考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

12、及乘方運(yùn)算，注意運(yùn)算的正確性。 16. 已知0

13、與的特征寫出的表達(dá)式。 （2）根據(jù)題意由數(shù)學(xué)歸納法書寫過程可證。 【詳解】（）∵， ∴， ． 由此可猜想：， （）證明：當(dāng)時，，等式成立， 假設(shè)時，等式成立，即， 則當(dāng)時， ， 即當(dāng)時，等式也成立， 綜上所述，對任意自然數(shù)，． 【點(diǎn)睛】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè))假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對從n0開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可． 18. 設(shè)函數(shù)，其中． (1)若

14、，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間． (2)求函數(shù)的極值． (3)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍． 【答案】（1）. （2）的極大值為，無極小值． （3）. 【解析】 【分析】 （1）先求定義域，由，由可求得單調(diào)遞減區(qū)間。 （2）由于m>0,，由的根為>,可求得極值。 （3）由（）可知，因?yàn)?，且，所以只需? 【詳解】（）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時，，， 令，得，解得或， 又∵， ∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是． （），，∵，， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ∴，無極小值， 綜上，的極大值為，無極小值． （）由（）可知， 當(dāng)時，，又，∴為的一個零點(diǎn)， ∴若在恰有兩個零點(diǎn)， 則，即， 解得． 【點(diǎn)睛】求函數(shù)零點(diǎn)問題，一般利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性與極值等圖像特征，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理分析函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，數(shù)形結(jié)合更有利于解題。