2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理

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1、2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 說明：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘． 一、選擇題（每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)，請將答案填在答題紙上） 1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若直線（t為參數(shù)）的傾斜角為α，則 ( ) A． B． C． D． 3．設(shè)雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為 ( ) A．

2、 B． C． D． 4．計(jì)算定積分 ( ) A．1 B．e-1 C．e D．e+1 5．下面為函數(shù)的遞增區(qū)間的是 ( ) A． B． C． D． 6．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程是，則直線被圓C截

3、得的弦長為 ( ) A． B． C． D． 7．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，點(diǎn)G與E分別是A1B1和CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別是AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)．若GD⊥EF，則線段DF長度的最小值為 ( ) A． B． C． D． 8．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1，0)對稱，且當(dāng)x∈(-∞，0)時(shí)，成立，(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)）；若, ，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ） A．a(chǎn)>b>c

4、 B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a 二、填空題（每小題5分，共30分） 9．若復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則|z|=____________． 10．在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線的距離是________． 11．如圖，圓內(nèi)的正弦曲線與x軸圍成的區(qū)域記為M（圖中陰影部分），隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是_____________． 12．設(shè)曲線過點(diǎn)(0，0)的切線與曲線上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為____________． 13．已知函數(shù)在x=-2處取得極值，并且它的圖象與直線在點(diǎn)(1，0)處相切，則函數(shù)f(x

5、)的表達(dá)式為________________。 14．定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)，如果，使得，則稱為區(qū)間[a,b]上的“中值點(diǎn)”． 下列函數(shù)：①；②；③；④中，在區(qū)間[0,1]上“中值點(diǎn)”多于一個(gè)的函數(shù)序號為_________．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號） 三、解答題（共80分，請寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 15．己知函數(shù)． ( I)求函數(shù)f(x)的極值： (II)求函數(shù)f(x)在[0，2]上的最大值； 16．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，A、B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (I)若直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，且斜率為2，求線段AB的長度|AB|

6、； (II)當(dāng)OA⊥OB時(shí)，求證：直線AB經(jīng)過定點(diǎn)M(4，0)． 17．已知函數(shù)，k∈R． (I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (II)當(dāng)k>0時(shí)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)單調(diào)遞減，求k的取值范圍． 18．已知橢圓，點(diǎn)P(2，0)． (I)求橢圓C的短軸長與離心率； ( II)過(1，0)的直線l與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)MN的中點(diǎn)為T，判斷|TP|與|TM|的大小，并證明你的結(jié)論． 19．已知函數(shù) (I)求函數(shù)在點(diǎn)(1，0)處的切線方程； (II)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)< kx恒成立，求k的范圍； (III)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)h(x)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 20．?dāng)?shù)列

7、 滿足：或1（k=1,2,…,n－1）． 對任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且兩兩不相等． （I）若m=2，寫出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號； ①1,1,1,2,2,2； ②1,1,1,1,2,2,2,2； ③1,1,1,1,1,2,2,2,2 （II）記．若m=3，求S的最小值； （III）若m=xx，求n的最小值． 參考答案 一、選擇題（每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)/） 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C C

8、 B D A B 二、填空，題（每小題5分，共30分） 9．； 10．； 11．； 12．； 13．； 14．①④； 三、解答題（共80分，請寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 15．解：（I）極大值，極小值；（II）最大值 16．解：（I）由題意，得F（1,0），則直線AB的方程為． 由，消去y，得． 設(shè)點(diǎn)，則△>0，且, 所以． （II）因?yàn)锳，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，所以設(shè)， 由OA⊥OB，得，所以． 由，知 ，即直線AB經(jīng)過定點(diǎn)M（4,0）． 17．解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)椋? （1）當(dāng)時(shí)，令，解得，此時(shí)函

9、數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)； 令，解得，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)． （2）當(dāng)時(shí)， ①當(dāng)，即時(shí)， 令，解得或，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)； 令，解得，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)． ②當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)； ③當(dāng)，即時(shí)， 令，解得或，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)； 令，解得，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)． 綜上所述， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1），單調(diào)遞減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1），，單調(diào)遞減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為． （II）． 因?yàn)楹瘮?shù)在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞減，所以不等式在在（1,2）上成立．

10、 因?yàn)椋瑒t，所以等價(jià)于，即，所以． 18．解：（I），故 有，． 橢圓C的短軸長為，離心率為． （II）方法1：結(jié)論是：． 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)， 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線 ，整理得： 故 故，即點(diǎn)P在以MN為直徑的圓內(nèi)，故． （II）方法2,：結(jié)論是． 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)， 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線 ，整理得： 故 此時(shí)， 故 19．解：（I）； （II）因?yàn)?，所以恒成立等價(jià)于恒成立， 令，再求函數(shù)的最大值，得k的范圍是； （III）由，得，即，， 研究函數(shù)，的最大值，， 所以，當(dāng)或者時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn)；

11、當(dāng)或者時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)； 20．解：（I）②③． （II）當(dāng)m=3時(shí)，設(shè)數(shù)列中1,2,3，出現(xiàn)頻數(shù)依次為，由題意． ①假設(shè)，則有（對任意）， 與已知矛盾，所以．同理可證：． ②假設(shè)，則存在唯一的，使得． 那么，對，有（k，s，t兩兩不相等），與已知矛盾，所以． 綜上：，，，所以． （III）設(shè)1，2，…，xx出現(xiàn)頻數(shù)依次為． 同（II）的證明，可得，則． 取，，得到的數(shù)列為： 下面證明滿足題目要求．對，不妨令， ①如果或，由于，所以符合條件； ②如果或，由于，，所以也成立； ③如果，則可選?。煌瑯拥?，如果，則可選取，使得，且i，j，s，t兩兩不相等； ④如果，則可選取，注意到這種情況每個(gè)數(shù)最多被選取了一次，因此也成立． 綜上，對任意i，j，總存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且兩兩不相等．因此滿足題目要求，所以n的最小值為2026．