2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 (VII)

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1、2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 (VII) 考試時間：120分鐘； 1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2．請將答案正確填寫在答題卡上 一、單選題（本題共12個小題，每題5分，共60分） 1．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（ ） A. B. C. D. 2．復(fù)數(shù)（ ） A. B. C. D. 3．曲線在處的切線方程為（ ） A. B. C. D. 4．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

2、 D. 第四象限 5．函數(shù)f(x)＝x2－lnx的最小值為(　　) A. B. 1 C. 0 D. 不存在 6．函數(shù)f（x）=2x2-4lnx的單調(diào)減區(qū)間為 A. （-1，1） B. （1，+∞） C. （0，1） D. [-1，0） 7．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，則對于函數(shù)的描述正確的是（ ）． A. 在上為減函數(shù) B. 在處取得最大值 C. 在上為減函數(shù) D. 在處取得最小值 8．若,則,某學(xué)生由此得出結(jié)論:若,則,該學(xué)生的推理是　(　　) A. 演繹推理

3、 B. 邏輯推理 C. 歸納推理 D. 類比推理 9．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)．以上推理(　　) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 10．函數(shù)的圖象大致是 11．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題： ①-2是函數(shù)的極值點(diǎn)； ②1是函數(shù)的極值點(diǎn)； ③的圖象在處切線的斜率小于零； ④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 則正確命題的序號是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 12．設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ） A

4、. 4 B. 2 C. D. 1 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本題共4個小題，每題5分，共20分） 13．為函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則函數(shù)的極小值為__________． 14．計算_________. 15．5名工人分別要在3天中選擇一天休息，不同方法的種數(shù)是____________． 16．給出下列等式：觀察各式： ，則依次類推可得 ； 四、解答題（本題共6個題，共70分） 17．（本題12分）復(fù)數(shù)， ， 為虛數(shù)單位． (I)實(shí)數(shù)為何值時該復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)； (Ⅱ)實(shí)數(shù)為何值時該復(fù)數(shù)是純虛數(shù)． 18．（本題12分）

5、已知復(fù)數(shù)． ⑴求； ⑵若復(fù)數(shù) 滿足為實(shí)數(shù)，求． 19．（本題12分）若， ，求： （1）的單調(diào)增區(qū)間； （2）在上的最小值和最大值。 20．（本題12分）計算由曲線，直線，，圍成圖形的面積S. 21．（本題12分）證明不等式： ＜，其中a≥0． 22．（本題10分）的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。 答案 注意事項(xiàng)： 1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2．請將答案正確填寫在答題卡上 第I卷（選擇題） 請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明 一、單選題 1．（本題5分）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（ ） A. B. C. D. 【

6、答案】D 【解析】∵， ∴．選D． 2．（本題5分）復(fù)數(shù)（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 . 故選C. 3．（本題5分）曲線在處的切線方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， ，切點(diǎn)為，切線方程為，即： ，選B. 4．（本題5分）復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】∵， ∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限。選A。 5．（本題5分）函數(shù)f(x

7、)＝x2－lnx的最小值為(　　) A. B. 1 C. 0 D. 不存在 【答案】A 【解析】∵f′(x)＝x－ ，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0

8、對于函數(shù)的描述正確的是（ ）． A. 在上為減函數(shù) B. 在處取得最大值 C. 在上為減函數(shù) D. 在處取得最小值 【答案】C 【解析】項(xiàng)，當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)，故項(xiàng)錯誤； 項(xiàng)，由圖象可知，在處取得極大值，故項(xiàng)錯誤； 項(xiàng)，當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，故項(xiàng)正確； 項(xiàng)，時，，時，，在處取得極小值，故項(xiàng)錯誤． 綜上所述． 故選． 8．（本題5分）若,則,某學(xué)生由此得出結(jié)論:若,則,該學(xué)生的推理是　(　　) A. 演繹推理 B. 邏輯推理 C. 歸納推理 D. 類比推理 【答案】D 【解析】由實(shí)數(shù)集上成立的結(jié)論,得到復(fù)數(shù)集上成立的結(jié)論,是

9、類比推理，故選D. 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理、類比推理、演繹推理的定義與性質(zhì)，屬于簡單題. 歸納推理是由部分到整體的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理，根據(jù)三種推理的定義可知，歸納推理與類比推理都是合情推理，不能當(dāng)作結(jié)論與定理應(yīng)用，如果應(yīng)用必須加以證明. 9．（本題5分）正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)．以上推理(　　) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 【答案】C 【解析】 試題分析：由于函數(shù)f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，

10、故小前提不正確，故選C． 考點(diǎn)：本題考查了演繹推理的運(yùn)用 點(diǎn)評：熟練掌握演繹推理的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題 10． （本題5分）函數(shù)的圖象大致是 【答案】A 【解析】,當(dāng)時， , 所以圖像特征應(yīng)是先增后減再增. 11．（本題5分）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題： ①-2是函數(shù)的極值點(diǎn)； ②1是函數(shù)的極值點(diǎn)； ③的圖象在處切線的斜率小于零； ④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 則正確命題的序號是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 【答案】D 【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像可知，-2是導(dǎo)函數(shù)得零點(diǎn)且-2的左右兩側(cè)導(dǎo)

11、函數(shù)值符號異號，故-2是極值點(diǎn)，1不是極值點(diǎn)，因?yàn)?的左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)符號不一致，0處的導(dǎo)函數(shù)值即為此點(diǎn)的切線斜率顯然為正值，導(dǎo)函數(shù)在恒大等于零，故為函數(shù)的增區(qū)間，所以選D 點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系很容易分析單調(diào)性，然后要注意對極值點(diǎn)的理解，極值點(diǎn)除了是導(dǎo)函數(shù)得解還一定要保證在導(dǎo)函數(shù)值在此點(diǎn)兩側(cè)異號 12．（本題5分）設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】,故選C. 第II卷（非選擇題） 請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明 三、填空題 13．（本題5分）為函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則函數(shù)的極小值為_________

12、_． 【答案】0 【解析】∵， ∴。 ∵為函數(shù)的一個極值點(diǎn)， ∴，解得。 當(dāng)時， 。 ∴當(dāng)或時， 單調(diào)遞增， 當(dāng)時， 單調(diào)遞減。 ∴當(dāng)時， 有極大值，且極大值為。 答案：0. 14．（本題5分）計算_________. 【答案】 【解析】原式. 15．（本題5分）5名工人分別要在3天中選擇一天休息，不同方法的種數(shù)是____________． 【答案】243 【解析】每個人都有種選擇方法，根據(jù)分步計算原理可知方法有種. 16．（本題5分）給出下列等式：觀察各式： ，則依次類推可得 ； 【答案】18 【解析】 試題分析：由于 ，

13、所以 考點(diǎn)：歸納推理 點(diǎn)評：做歸納推理的題目，關(guān)鍵是找出里面的規(guī)律。 四、解答題 17．（本題10分）復(fù)數(shù)， ， 為虛數(shù)單位． (I)實(shí)數(shù)為何值時該復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)； (Ⅱ)實(shí)數(shù)為何值時該復(fù)數(shù)是純虛數(shù)． 【答案】（Ⅰ）或時為實(shí)數(shù)；（Ⅱ） 時為純虛數(shù). 【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)，為實(shí)數(shù)； (Ⅱ)當(dāng)，可得復(fù)數(shù)為純虛數(shù). 試題解析： （Ⅰ）當(dāng)，即或時為實(shí)數(shù). （Ⅱ）當(dāng)，即，則時為純虛數(shù). 18．（本題12分）已知復(fù)數(shù)． ⑴求； ⑵若復(fù)數(shù) 滿足為實(shí)數(shù)，求． 【答案】⑴⑵ 【解析】試題分析：（1）利用復(fù)數(shù)的除法法則進(jìn)行求解；（2）先利用復(fù)數(shù)的加法法則得到，再利用復(fù)數(shù)

14、的概念確定值，再利用模長公式進(jìn)行求解. 試題解析：⑴ ⑵∵ ∴ ∵為實(shí)數(shù) ∴ ∴ ∴ ∴ 19．（本題12分）若， ，求： （1）的單調(diào)增區(qū)間； （2）在上的最小值和最大值。 【答案】（1）；（2） 【解析】試題分析：（1） 求導(dǎo)，令，即可得到的單調(diào)增區(qū)間； （2）令，求得（舍）或，比較 , ,的大小，即可得到在上的最小值和最大值. 試題解析： （1）， 解得， 的增區(qū)間為 ； （2）， （舍）或， , , ， 20．（本題12分）計算由曲線，直線，，圍成圖形的面積S. 【答案】解： . 【解析】本試題主要是考查了定積分的運(yùn)用。 先分

15、圖形，得到積分上限和下限，然后結(jié)合定積分基本定理得到結(jié)論。 21．（本題12分）證明不等式： ＜，其中a≥0． 【答案】用分析法證明。 【解析】試題分析：要證＜成立， 需證＜ 需證> 因?yàn)轱@然成立，所以原命題成立。 考點(diǎn)：本題主要考查不等式證明，分析法。 點(diǎn)評：容易題，利用分析法證明不等式，從格式上來說，表述要規(guī)范。本題也可轉(zhuǎn)化證明<，兩邊平方。 22．（本題12分）的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。 【答案】見解析 【解析】試題分析：由題意得S1=a1，由S2=a1+a2求得S2，同理求得 S3，S4．猜想，，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n=1時，猜想成立；假設(shè), 則當(dāng)n=k+1時，由條件可得當(dāng)n=k+1時，也成立，從而猜想仍然成立． 試題解析： 猜想 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想 （1） 猜想成立 （2）假設(shè)當(dāng) 那么 所以，當(dāng) 根據(jù)（1）與（2），可知猜想對任何都成立.