（江蘇專用）2020版高考數(shù)學二輪復(fù)習 第三部分 考前高效提分策略 第2講 考前必講的10大陷阱學案 文 蘇教版

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1、第2講　考前必講的10大陷阱 陷阱1　混淆概念致誤 若z＝sin θ－＋i是純虛數(shù)，則tan的值為________． [易錯分析] 本題易混淆復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，忽視虛部不為零的限制條件，導(dǎo)致所求tan的值為多解． [正確解析] 由純虛數(shù)的概念，可知 由①，得sin θ＝，故cos θ＝±＝± ＝±，而由②，可得cos θ≠，故cos θ＝－，所以tan θ＝＝－． 而tan＝＝＝－7． [答案] －7 [跳出陷阱] 在解答概念類試題時，一定要仔細辨析試題中待求的問題，在準確用好概念的前提下再對試題進行解答，這樣才能避免概念性錯誤．如本題，要搞清楚虛數(shù)，純虛數(shù)，實數(shù)與復(fù)數(shù)的概念

2、． 陷阱2　錯求目標失分 設(shè)向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，則|2a＋b|＝________． [易錯分析] 在本題求解向量模的運算過程中易忘記開平方，誤把向量模的平方當成所求結(jié)論而錯選結(jié)果． [正確解析] 法一：由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1． 由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4． 故(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，故|2a＋b|＝2． 法二：由a·(a－b)＝0，可知a⊥(a－b)． 而2a＋b＝3a－(a－b)， 所以(2a＋b)2＝[3a－(a－b)]2＝(3a)2＋

3、(a－b)2－2×3a·(a－b)＝9a2＋(a－b)2＝9×12＋()2＝12， 故|2a＋b|＝2． [答案] 2 [跳出陷阱] 求解向量模的問題，一般是先求該向量自身的數(shù)量積，即向量模的平方，易出現(xiàn)的問題就是最后忘記開方導(dǎo)致失誤．求解此類問題一定要注意審題，明確解題目標，求出結(jié)果之后再對照所求驗證一遍，就可以避免此類失誤． 陷阱3　錯用結(jié)論失分 函數(shù)f(x)的圖象由函數(shù)g(x)＝4sin xcos x的圖象向左平移個單位，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)而得到，則f＝________． [易錯分析] 該題易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面：一是不能準確確

4、定函數(shù)解析式的變換與圖象左右平移方向之間的關(guān)系；二是記錯函數(shù)圖象上點的橫坐標的變化規(guī)律與函數(shù)解析式的變換的關(guān)系． [正確解析] 函數(shù)g(x)＝4sin xcos x＝2sin 2x的圖象向左平移個單位得到函數(shù)y＝2sin＝2sin的圖象，該函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)所得圖象對應(yīng)的函數(shù)， 即f(x)＝2sin＝2sin． 所以f＝2sin＝2· ＝2＝． [答案] [跳出陷阱] 三角函數(shù)圖象的平移與伸縮變換問題，關(guān)鍵是把握變換前后兩個函數(shù)解析式之間的關(guān)系，熟記相關(guān)的規(guī)律．如函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位，得到函數(shù)y＝f(x＋m)的圖象；

5、若向右平移m(m>0)個單位，得到函數(shù)y＝f(x－m)的圖象．若函數(shù)y＝f(x)的圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼摩乇?，則得到函數(shù)y＝f的圖象． 陷阱4　遺漏條件致誤 若a，b∈{－1，0，1，2}，則函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b有零點的概率為________． [易錯分析] 該題易出現(xiàn)的問題是求解基本事件的個數(shù)時，不按照一定的順序列舉導(dǎo)致漏、重現(xiàn)象． [正確解析] 法一：因為a，b∈{－1，0，1，2}，所以不同的取法為： (－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(

6、2，－1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共16種． 當a＝0時，f(x)＝2x＋b，無論b取{－1，0，1，2}中何值，原函數(shù)必有零點，所以有4種取法； 當a≠0時，函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b為二次函數(shù)，若有零點須使Δ≥0，即4－4ab≥0，即ab≤1，所以a，b取值組成的數(shù)對分別為：(－1，0)，(1，0)，(2，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(1，1)，(1，－1)，(－1，2)，(2，－1)，共9種， 綜上，所求的概率為＝． 法二：(排除法)：由法一可知，總的方法種數(shù)為16， 其中原函數(shù)若無零點，則有a≠0且Δ<0即ab>1， 所以此時a，b取值組成的數(shù)對分

7、別為(1，2)，(2，1)，(2，2)，共3種， 所以所求的概率為1－＝． [答案] [跳出陷阱] 利用列舉法求基本事件時，一是注意用不同的字母或數(shù)字符號表示不同類的元素，這樣便于區(qū)分；二是要注意按照一定的順序，如該題中a，b各有4個數(shù)可以取，寫出對應(yīng)的基本事件時，按照從左到右或從右到左的順序進行列舉，一一寫出基本事件，否則就容易產(chǎn)生遺漏或重復(fù)的現(xiàn)象． 陷阱5　畫圖不準致誤 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足： ①f(x)＋f(2－x)＝0； ②f(x－2)＝f(－x)； ③在[－1，1]上表達式為f(x)＝ 則函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)＝的圖象在區(qū)間[－3，3]上的交點

8、個數(shù)為________． [易錯分析] 該題易出現(xiàn)的問題是不能準確作出函數(shù)圖象導(dǎo)致無法判斷兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)． [正確解析] 由①f(x)＋f(2－x)＝0可得f(1－x)＋f(1＋x)＝0，即f(x)的圖象關(guān)于(1，0)對稱； 由②f(x－2)＝f(－x)可得f(x－1)＝f(－x－1)，即f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱． 如圖，先作出函數(shù)y＝f(x)在[－1，1]上的圖象，然后作出其關(guān)于直線x＝－1對稱的圖象，即得到函數(shù)在[－3，－1]上的圖象，最后作其關(guān)于(1，0)對稱的圖象，即得到函數(shù)在[1，3]上的圖象． 又作出函數(shù)y＝g(x)的圖象，由圖象可知函數(shù)f(x)與函

9、數(shù)g(x)的圖象在[－3，3]上有6個交點． [答案] 6 [跳出陷阱] 該題是利用函數(shù)圖象的直觀性解決兩函數(shù)圖象的交點問題，準確利用函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象是解決此類問題的關(guān)鍵．要熟練把握函數(shù)的一些基本性質(zhì)，如函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性與單調(diào)性等．如該題中的函數(shù)y＝f(x)，根據(jù)已知，該函數(shù)既有對稱中心，又有對稱軸，所以該函數(shù)也具有周期性——其周期就是對稱中心到對稱軸距離的4倍，所以該函數(shù)的周期為T＝2×4＝8．所以如果研究函數(shù)在其他范圍內(nèi)的圖象，就可以利用周期性作出函數(shù)圖象． 陷阱6　忽視特例失分 已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0．求使l1∥l

10、2的a的值． [易錯分析] 本題易出現(xiàn)的問題是忽略直線斜率不存在的特殊情況． [正確解析] 法一：當直線斜率不存在，即a＝0時，有l(wèi)1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2； 當直線斜率存在時，l1∥l2?－＝且≠－?a＝－． 故使l1∥l2的a的值為－或0． 法二：由l1∥l2?3·(－a)－(3a－1)·2a＝0， 得a＝0或a＝－． 故使l1∥l2的a的值為0或－． [跳出陷阱] 討論兩條直線的位置關(guān)系時，要注意對斜率是否存在進行討論，還要注意對系數(shù)是否為零進行討論． 陷阱7　跳步計算出錯 (2019·長沙四校聯(lián)考)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：＋＝1(b

11、>0)的左、右焦點，若P是該橢圓上的一個動點，且·的最大值為1． (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)直線l：x＝ky－1與橢圓E交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角(O為坐標原點)，求k的取值范圍． [易錯分析] 該題易出現(xiàn)的問題是坐標化已知條件以及聯(lián)立方程確定點的坐標之間的關(guān)系時，由于計算過程不規(guī)范導(dǎo)致失誤． [正確解析] (1)法一：易知a＝2，c＝，b2<4， 所以F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 設(shè)P(x，y)，則·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－4＋b2＝x2＋b2－－4＋b2＝x2＋2b2－4． 因為x∈[－2，2]，故當x＝±2，即點P為橢圓長軸端點時

12、，·有最大值1，即1＝×4＋2b2－4，解得b2＝1． 故所求橢圓E的方程為＋y2＝1． 法二：由題意知a＝2，c＝，b2<4， 所以F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 設(shè)P(x，y)，則·＝||·||·cos∠F1PF2＝||·||· ＝[(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2－16＋4b2] ＝x2＋2b2－4． 因為x∈[－2，2]，故當x＝±2，即點P為橢圓長軸端點時，·有最大值1，即1＝×4＋2b2－4，解得b2＝1． 故所求橢圓E的方程為＋y2＝1． (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋4)y2－2ky－3＝0，Δ＝(－2k)2＋12(4＋k2)＝16

13、k2＋48>0， 故y1＋y2＝，y1·y2＝． 又∠AOB為銳角，故·＝x1x2＋y1y2>0， 又x1x2＝(ky1－1)(ky2－1)＝k2y1y2－k(y1＋y2)＋1， 所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)y1y2－k(y1＋y2)＋1 ＝(1＋k2)·－＋1 ＝＝>0， 所以k2<，解得－0等)；

14、最后求解函數(shù)的最值，常利用代數(shù)方法，如基本不等式法、配方法、導(dǎo)數(shù)法、單調(diào)性法等，將所求得的函數(shù)最值與目標中的幾何最值形成對應(yīng)，得到問題的結(jié)論． 陷阱8　推論不當致誤 如圖，以BC為斜邊的等腰直角三角形ABC與等邊三角形ABD所在平面互相垂直，且點E滿足＝． (1)求證：平面EBC⊥平面ABC； (2)求平面EBC與平面ABD所成的角的正弦值． [易錯分析] 推理過程不嚴謹，使用面面垂直的判定定理時給出的定理條件不全面，造成了推理的不充分． [正確解析] (1)證明：取BC的中點F，AB的中點H， 因為△ABD是等邊三角形，所以DH⊥AB， 因為以BC為斜邊的等腰直角三角

15、形ABC與等邊三角形ABD所在平面互相垂直， 所以DH⊥平面ABC， 因為點E滿足＝． 所以DE∥AC，DE＝AC， 因為HF∥AC，HF＝AC， 所以DE∥FH，DE＝FH， 則四邊形EFHD是矩形， 則EF∥DH， 則EF⊥平面ABC， 因為EF?平面BCE， 所以平面EBC⊥平面ABC． (2)建立以H為坐標原點，HF，HB，HD所在直線分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖， 則平面ABD的法向量為， 是平面BCE的法向量， 則∠AFH＝45°， 則平面EBC與平面ABD所成的角為45°， 則sin 45°＝， 所以平面EBC與平面ABD所成的角的

16、正弦值是． [跳出陷阱] 立體幾何試題的一個主要功能就是考查邏輯推理能力，主要以線面位置關(guān)系證明的方式進行考查，在使用空間線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理時一定要保證條件的充分性，以確保推理過程嚴謹無誤． 陷阱9　分類標準不正確致誤 已知函數(shù)f(x)＝xln x＋x，g(x)＝－(x>0)． (1)討論f(x)在區(qū)間[t，t＋e](t>0)上的單調(diào)性； (2)是否存在直線y＝b(b∈R)，使得函數(shù)f(x)與g(x)的圖象分別在它的兩側(cè)(可相切)？若存在，請求出實數(shù)b的值(或取值范圍)；若不存在，請說明理由． [易錯分析] 該題易出現(xiàn)的問題是討論f(x)的單調(diào)性時，對參數(shù)進行分類

17、討論的標準不正確，造成分類重復(fù)或遺漏而導(dǎo)致錯解． [正確解析] (1)f(x)＝xln x＋x，f′(x)＝ln x＋2， 由f′(x)＝0得x＝． 當00， 因此f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 當t≥時，在[t，t＋e]上，f′(x)≥0恒成立， 所以f(x)在[t，t＋e]上單調(diào)遞增． 綜上所述，當0

18、時，f′(x)>0， 所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 故f(x)min＝f＝－． 而g(x)＝－(x>0)，g′(x)＝， 當00，當x>1時，g′(x)<0， 所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減． 所以g(x)max＝g(1)＝－． 所以f(x)≥－≥g(x)， 故函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象恒在直線y＝－的兩側(cè)(相切)，所以b＝－． [跳出陷阱] 含參函數(shù)單調(diào)性的分析是一個難點，此類問題易出現(xiàn)的問題就是對參數(shù)分類的標準不清楚，導(dǎo)致分類錯亂．明確標準，合理分類是解決此類問題的關(guān)鍵，一般來說，討論含參函數(shù)單調(diào)性的

19、問題，對參數(shù)進行分類討論的基本順序為：①最高次冪系數(shù)是否為0；②方程f′(x)＝0是否有解；③解是否在定義域內(nèi)；④解之間的大小關(guān)系．分類之后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，應(yīng)畫出導(dǎo)函數(shù)解析式中符號變化的部分對應(yīng)函數(shù)(一般可轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)或二次函數(shù))的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相對位置變化確定導(dǎo)函數(shù)的符號，進而寫出單調(diào)區(qū)間． 陷阱10　忽視驗證出錯 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an＋1(n∈N*)，且a1＝1． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn． [易錯分析] 該題易出現(xiàn)的問題有兩個方面：一是利用an＝Sn－Sn－1建立an與an＋1之間的關(guān)系

20、時忽視n≥2的限制條件，而忽略n＝1的討論；二是求數(shù)列{nan}的前n項和Tn時，忽視該數(shù)列通項公式中n＝1時的情況，直接求和不驗證而導(dǎo)致失分． [正確解析] (1)當n＝1時，由已知可得a1＝2a2， 即a2＝a1＝． 當n≥2時，由已知Sn＝2an＋1(n∈N*)，可得Sn－1＝2an(n≥2，n∈N*)， 兩式相減得an＝2an＋1－2an?2an＋1＝3an，即＝， 所以數(shù)列{an}從第二項開始成一個首項為a2＝，公比為的等比數(shù)列， 故當n≥2，n∈N*時有an＝·． 所以an＝ (2)記bn＝nan＝ 故當n＝1時，T1＝b1＝1； 當n≥2時，Tn＝b1＋b2＋

21、b3＋…＋bn＝1＋×＋×＋…＋×＋×，① Tn＝＋×＋×＋…＋×＋×，② ①－②得，－Tn＝－＋1＋×＋×＋…＋×－× ＝＋－× ＝＋×－× ＝－－× ＝－＋－× ＝－1－×， 所以Tn＝2＋(n－2)×． 當n＝1時，T1＝2＋(1－2)×＝1， 顯然上式也成立． 綜上，Tn＝2＋(n－2)×． [跳出陷阱] 解決數(shù)列問題時一定要注意n的取值限制，求通項問題，要注意首項的驗證，如該題中用到an與Sn的關(guān)系式an＝Sn－Sn－1，而該式成立的前提是n≥2；再如已知數(shù)列{an}，當n≥2時，若有＝q，則該數(shù)列不一定是等比數(shù)列，因為該式不包含＝q，若要證明該數(shù)列是等比數(shù)列，則還需驗證＝q． - 11 -