2022年高中數(shù)學(xué)《第二章 平面向量》周練3 新人教A版必修4

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1、2022年高中數(shù)學(xué)《第二章 平面向量》周練3 新人教A版必修4 一、選擇題(每小題5分，共40分) 1．已知|a|＝，|b|＝4，且a與b的夾角為，則a·b的值是(　　)． A．1 B.±1 C．2 D.±2 解析　a·b＝|a|·|b|·cos＝×4×＝1. 答案　A 2．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，則|a－b|＝(　　)． A．1 B. C．2 D.或2 解析　|a－b|＝＝ ＝＝＝＝2. 答案　C 3．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為(　　)． A. B.

2、 C. D. 解析　a·b＝3＋2＝5，|a|＝，|b|＝，設(shè)夾角為θ， 則cos θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案　B 4．(xx·泉州測(cè)試)在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，則k的值是 (　　)． A．5 B.－5 C. D.－ 解析　∵∠C＝90°，∴·＝0，∴(－)·＝0，即(k－2，－2)·(2,3)＝0，解得k＝5.故選A. 答案　A 6．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，則m的值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　(3a＋5b)·(ma－b)

3、＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0?3m·32＋(5m－3)·3×2cos 60°－5×22＝0，解之得m＝. 答案　C 7．(xx·煙臺(tái)高一檢測(cè))若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為 (　　)． A. B. C. D. 解析　設(shè)a與b的夾角為θ， 則cos θ＝＝＝， ∴a在b方向上的投影為|a|cos θ＝×＝. 答案　A 8．兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1、F2，當(dāng)它們間的夾角為90°時(shí)合力大小為20 N，則當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，合力的大小為(　　)． A．40 N B.10 N C．20 N D.10 N 解析

4、　由題意，知|F1|＝|F2|＝10 N，當(dāng)其夾角為120°時(shí)，利用平行四邊形法則可構(gòu)造一個(gè)菱形，其合力大小等于10 N. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共20分) 9．設(shè)單位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，則|x＋2y|＝________. 解析　∵m⊥b，∴m·b＝0. 即2x－y＝0. 又|m|2＝x2＋y2＝1， 解得或 ∴|x＋2y|＝. 答案　 10．一個(gè)重20 N的物體從傾斜角30°，斜面長(zhǎng)1 m的光滑斜面頂端下滑到底端，則重力做的功是________． 解析　由力的正交分解知識(shí)可知沿斜面下滑的分力大小 |F|＝×20 N＝10 N，

5、 ∴W＝|F|·|s|＝10 J. 或由斜面高為 m， W＝|G|·h＝20× J＝10 J. 答案　10 J 11．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直線l過(guò)點(diǎn)A(3，－1)且與向量a＋2b垂直，則直線l的方程為_(kāi)_______． 解析　a＋2b＝(6,2)＋2＝(－2,3)． 設(shè)P(x，y)為所求直線上任意一點(diǎn)，則 ＝(x－3，y＋1)． ∵·(a＋2b)＝0， ∴－2(x－3)＋3(y＋1)＝0， 整理得2x－3y－9＝0. ∴2x－3y－9＝0即為所求直線方程． 答案　2x－3y－9＝0 12．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值

6、為_(kāi)_______． 解析　·＝(＋)· ＝·＋· ＝||2＝1. 答案　1 三、解答題(每小題10分，共40分) 13．設(shè)平面上向量a＝(cos α，sin α)(0≤α≤2π)，b＝，a與b不共線． (1)證明向量a＋b與a－b垂直； (2)當(dāng)兩個(gè)向量a＋b與a－b的模相等時(shí)，求角α. (1)證明　a＋b＝，a－b＝， (a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． (2)解　由題意：(a＋b)2＝(a－b)2得：a·b＝0， ∴－cos α＋sin α＝0， 得tan α＝，又0≤α<2π得α＝或. 14．已知點(diǎn)A(1,

7、2)和B(4，－1)，問(wèn)能否在y軸上找到一點(diǎn)C，使∠ACB＝90°，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)． 解　假設(shè)存在點(diǎn)C(0，y)使∠ACB＝90°，則⊥. ∵＝(－1，y－2)，＝(－4，y＋1)，⊥， ∴·＝4＋(y－2)(y＋1)＝0， ∴y2－y＋2＝0. 而在方程y2－y＋2＝0中，Δ<0， ∴方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故不存在滿足條件的點(diǎn)C. 15．(xx·惠州高一期末)已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐標(biāo)； (2)若|b|＝，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ. 解　(1)設(shè)c＝(x，y)，∵

8、|c|＝2， ∴＝2， ∴x2＋y2＝20. 由c∥a和|c|＝2，可得 解得或故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)． (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cos θ＝＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π. 16．如圖有兩條相交成60°的直線xx′，yy′，其交點(diǎn)為O，甲、乙兩輛汽車(chē)分別在xx′，yy′上行駛，起初甲在離O點(diǎn)30 km的點(diǎn)A處，乙在離O點(diǎn)10 km的點(diǎn)B處，后來(lái)兩車(chē)均用60 km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行駛． (1)起初兩車(chē)的

9、距離是多少？ (2)t小時(shí)后兩車(chē)的距離是多少？ (3)何時(shí)兩車(chē)的距離最短？ 解　(1)由題意知， ||2＝(－)2 ＝||2＋||2－2||||cos 60° ＝302＋102－2×30×10×＝700. 故||＝10(km)． (2)設(shè)甲、乙兩車(chē)t小時(shí)后的位置分別為P，Q，則||＝60t，||＝60t. 當(dāng)0≤t≤時(shí)，||2＝(－)2＝(30－60t)2＋(10＋60t)2－2(30－60t)(10＋60t)cos 60°； 當(dāng)t>時(shí)，||2＝(60t－30)2＋(10＋60t)2－2(60t－30)(10＋60t)cos 120°. 上面兩式可統(tǒng)一為 ||2＝10 800t2－3 600t＋700， 即||＝10. (3)∵108t2－36t＋7＝1082＋4， ∴當(dāng)t＝時(shí)，即在第10分鐘末時(shí)，兩車(chē)的距離最短，且最短距離為20(km)．