2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理（含解析） 【試卷綜析】本試卷是高三理科試卷，以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為載體，以能力測(cè)試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí)，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識(shí)考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識(shí)，兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查：不等式、函數(shù)的性質(zhì)及圖象、三角函數(shù)、解三角形、數(shù)列、平面向量、立體幾何、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、概率、二項(xiàng)式定理、充分必要條件、復(fù)數(shù)、程序框圖等；考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力，是份較好的試卷. 第Ｉ卷 【題文】一、選擇題（本大題10個(gè)小題，每題5分，共50分,請(qǐng)將答案涂在答題卷上） 【題文】1．已知是虛數(shù)單位，則= （

2、 ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算L4 【答案】【解析】B 解析：因?yàn)椋赃xB. 【思路點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是?？贾R(shí)點(diǎn)之一，熟練掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是本題解題的關(guān)鍵. 【題文】2．已知，，則“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】充分、必要條件A2 【答案】【解析】A 解析：若x+y=1，當(dāng)x,y異號(hào)或有一個(gè)為0時(shí)，顯然有，當(dāng)x,y同號(hào)時(shí)，則x,y只能都為正數(shù)，此時(shí)1=x+y,得，所以

3、對(duì)于滿足x+y=1的任意實(shí)數(shù)x,y都有，則充分性成立，若，不妨取x=4,y=0.001,此時(shí)x+y=1不成立，所以必要性不成立，綜上可知選A. 【思路點(diǎn)撥】一般判斷充分、必要條件時(shí)，可先分清命題的條件與結(jié)論，若從條件能推出結(jié)論，則充分性滿足，若從結(jié)論能推出條件，則必要性滿足. 【題文】3. 若的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為280，則= （ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理J3 【答案】【解析】C 解析：因?yàn)椋?-2r=1，得r=3,所以，解得a=,則選C. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到展開(kāi)式的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，通常利用展開(kāi)式

4、的通項(xiàng)公式解答. 【題文】4．已知函數(shù) ，若 是 的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù) 在原點(diǎn)附近的圖象大致是（ ） A B C D 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，函數(shù)的圖像B8 B11 【答案】【解析】A 解析：因?yàn)?，所以函?shù)在R上單調(diào)遞增，則選A. 【思路點(diǎn)撥】一般判斷函數(shù)的圖像，可結(jié)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性及特殊位置的函數(shù)值或函數(shù)值的符號(hào)等進(jìn)行判斷. 【題文】5．某幾何體是由直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中

5、橢圓的離心率為 A． B． C． D． （第5題） 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖 橢圓的性質(zhì)G2 H5 【答案】【解析】D 解析：設(shè)正視圖中正方形的邊長(zhǎng)為2b，由三視圖可知，俯視圖中的矩形一邊長(zhǎng)為2b，另一邊長(zhǎng)為圓錐底面直徑，即為正視圖中的對(duì)角線長(zhǎng)，計(jì)算得，所以,則選D. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖解答幾何問(wèn)題，注意三視圖與原幾何體的長(zhǎng)寬高的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求橢圓的離心率，抓住其定義尋求a,b,c關(guān)系即可解答. 【題文】6．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為且，則的值為（ ） A． B． C．

6、 D． 【知識(shí)點(diǎn)】解三角形C8 【答案】【解析】A 解析：由得,又A為三角形內(nèi)角，所以A=120°,則，所以選A. 【思路點(diǎn)撥】在解三角形中，若遇到邊角混合條件，通常先利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為單一的角的關(guān)系或單一的邊的關(guān)系，再進(jìn)行解答. 【題文】7．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10:S5＝1:2，則 ( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列D3 【答案】【解析】B 解析：因?yàn)镾10:S5＝1:2，所以,由等比數(shù)列的性質(zhì)得成

7、等比數(shù)列，所以,得,所以,則選B. 【思路點(diǎn)撥】在等比數(shù)列中，若遇到等距的和時(shí)，可考慮利用等比數(shù)列的性質(zhì)成等比數(shù)列進(jìn)行解答.. 【題文】8．已知x，y滿足則的取值范圍是 ( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃E5 【答案】【解析】C 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖,因?yàn)椋鵀閰^(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(4，2)連線的斜率，顯然斜率的最小值為0，點(diǎn)(-3,-4)與點(diǎn)(4，2)連線的斜率最大為，所以的取值范圍為，則選C. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到由兩個(gè)變量滿足的不等式組求范圍問(wèn)題，通常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義

8、，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答. 【題文】9．已知橢圓C:，點(diǎn)為其長(zhǎng)軸的6等分點(diǎn)，分別過(guò)這五點(diǎn)作斜率為的一組平行線，交橢圓C于，則直線這10條直線的斜率乘積為 （ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 橢圓的性質(zhì)H5 【答案】【解析】B 解析：由橢圓的性質(zhì)可得，由橢圓的對(duì)稱性可得,同理可得,則直線這10條直線的斜率乘積為,所以選B. . 【思路點(diǎn)撥】抓住橢圓上的點(diǎn)與長(zhǎng)軸端點(diǎn)的連線的斜率為定值是本題的關(guān)鍵. 【題文】10.已知為線段上一點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿足，，，且，則的值為（ ） A.

9、 B. 3 C. 4 D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積F3 【答案】【解析】B 解析：，而，，， 又，即， 所以I在∠BAP的角平分線上，由此得I是△ABP的內(nèi)心，過(guò)I作IH⊥AB于H，I為圓心，IH為半徑，作△PAB的內(nèi)切圓，如圖，分別切PA,PB于E、F，， ，， 在直角三角形BIH中，，所以,所以選B . 【思路點(diǎn)撥】理解向量是與向量共線同向的單位向量即可確定I的位置，再利用向量的減法及數(shù)量積計(jì)算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解. 第Ⅱ卷 【題文】二．填空題（本大題5個(gè)小題，每題5分，共25分，請(qǐng)把答案

10、填在答題卷上） 【題文】11．若某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值為　　　　． 【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖L1 【答案】【解析】 解析：第一次執(zhí)行循環(huán)體得s=1,i=2; 第二次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=3; 第三次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=4; 第四次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=5; 第五次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=6; 第六次執(zhí)行循環(huán)體得s= 此時(shí)不滿足判斷框跳出循環(huán)，所以輸出的值為.. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖問(wèn)題，當(dāng)運(yùn)行次數(shù)較少時(shí)就能達(dá)到目的，可依次執(zhí)行循環(huán)體，直到跳出循環(huán)，若運(yùn)行次數(shù)較多時(shí)，可結(jié)合數(shù)列知識(shí)進(jìn)行解答. . （第11題） 【

11、題文】12．若非零向量，滿足，， 則　　?。? 【知識(shí)點(diǎn)】向量的模，向量垂直的充要條件F3 【答案】【解析】2 解析：由得，由得，解得. 【思路點(diǎn)撥】由向量的模的關(guān)系尋求向量的關(guān)系，通常利用性質(zhì)：向量的模的平方等于向量的平方進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 【題文】13．已知函數(shù)的最大值為1， 則　　　?。? 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的性質(zhì)C3 【答案】【解析】0或 解析：因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，解得a=0或. 【思路點(diǎn)撥】研究三角函數(shù)的性質(zhì)，一般先化成一個(gè)角的三角函數(shù)再進(jìn)行解答，本意注意應(yīng)用asinx+bcosx的最值的結(jié)論進(jìn)行作答. 【題文】14．過(guò)點(diǎn)作圓的弦， 其中

12、弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有 條。 【知識(shí)點(diǎn)】圓的方程H3 【答案】【解析】32 解析：由題意可知過(guò)點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)為10，最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為26,所以共有弦長(zhǎng)為整數(shù)有2+2×(26－10－1)=32. 【思路點(diǎn)撥】可先求出弦長(zhǎng)的范圍，弦與點(diǎn)A與圓心連線垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，弦過(guò)圓心時(shí)弦長(zhǎng)為圓的直徑，此時(shí)長(zhǎng)度最大，取得最值的兩個(gè)位置只有一條，中間的整數(shù)值都有兩條. 【題文】15．已知兩個(gè)正數(shù)，可按規(guī)律推廣為一個(gè)新數(shù)，在三個(gè)數(shù)中取兩個(gè)較大的數(shù)，按上述規(guī)則擴(kuò)充到一個(gè)新數(shù)，依次下去，將每擴(kuò)充一次得到一個(gè)新數(shù)稱為一次操作。若，經(jīng)過(guò)五次操作后擴(kuò)充得到的數(shù)為為正整數(shù)），則 【

13、知識(shí)點(diǎn)】歸納推理M1 【答案】【解析】13 解析：因?yàn)閜＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1，因?yàn)閏＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）-1，所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）-1=（p+1）3（q+1）2-1，第四次可得：c4=（c3+1）（c2-1）-1=（p+1）5（q+1）3-1，故經(jīng)過(guò)5次擴(kuò)充，所得數(shù)為：（q+1）8（p+1）5-1，∴m=8，n=5，則13. 【思路點(diǎn)撥】可通過(guò)逐步擴(kuò)充發(fā)現(xiàn)每次擴(kuò)充得到的數(shù)的規(guī)律，即可解答.

14、【題文】三．解答題（本大題6個(gè)小題，共75分，請(qǐng)把答案填在答題卷上） 【題文】16．（本題滿分12分）一個(gè)袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個(gè)，從中任取2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出2球中白球的個(gè)數(shù)，已知． （Ⅰ）求袋中白球的個(gè)數(shù)； （Ⅱ）求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望． 【知識(shí)點(diǎn)】古典概型 離散型隨機(jī)變量及其分布列K2 K6 【答案】【解析】（Ⅰ）6；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）設(shè)袋中有白球n個(gè)，則， 解得n=6． （Ⅱ）因?yàn)?所以隨機(jī)變量X的分布列如下： X 0 1 2 P 得 . 【思路點(diǎn)撥】一般遇到求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，通常先確定隨機(jī)變量的取值，再計(jì)算

15、各個(gè)取值的概率，即可列表得分布列，用公式求期望. 【題文】17、（本小題滿分12分）已知函數(shù)。 （1）若，求函數(shù)的最大值和最小值，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的值； （2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足且， 求的值。 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)性質(zhì)，解三角形C3 C8 【答案】【解析】（1）時(shí)函數(shù)得最小值為；（2）a=1，b=2． 解析：（1），因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)得最大值為0，當(dāng)時(shí)函數(shù)得最小值為； （2）因?yàn)閒（C）=sin（2C-）-1=0，則sin（2C-）=1， ∵0＜C＜π，∴0＜2C＞2π，∴＜2C-＜，∴2C-=，∴C=，∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a ①，由

16、余弦定理得c2=a2+b2-ab=3 ②，由①②解得：a=1，b=2． 【思路點(diǎn)撥】一般研究三角函數(shù)的性質(zhì)，通常先利用公式把函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)再進(jìn)行解答，在解三角形時(shí)，注意利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化和求值. 【題文】18．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，，分別為的中點(diǎn). （Ⅰ）求證:平面平面; （Ⅱ）求二面角的平面角的大小. （第18題） 【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系 二面角G4 G11 【答案】【解析】（Ⅰ） 略；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）因?yàn)榉謩e為中點(diǎn),所以, 又因?yàn)槭钦叫?,所以,所以平面. 因?yàn)榉謩e為中點(diǎn),所以,所以平面. 所以平面

17、平面. （Ⅱ）法1.易知,又,故平面 分別以為軸和軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖) 不妨設(shè) 則, 所以 設(shè)是平面的法向量,則 所以取,即 設(shè)是平面的法向量,則 所以取 設(shè)二面角的平面角的大小為 所以,二面角的平面角的大小為. 法2. 取中點(diǎn),聯(lián)結(jié)則,又平面,,所以平面,所以平面,所以,. 因?yàn)?則,所以 平面. 又因?yàn)?所以 所以就是二面角的平面角的補(bǔ)角. 不妨設(shè),則 ,,. 所以二面角的平面角的大小為. 【思路點(diǎn)撥】證明面面平行一般利用面面平行的判定定理進(jìn)行證明，求二面角可以建立適當(dāng)坐標(biāo)系利用平面的法向量求解，也可以尋求二面角的

18、平面角求解. 【題文】19．（本題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和D1 D4 【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）時(shí), 所以 （Ⅱ） . 【思路點(diǎn)撥】一般遇到數(shù)列求和問(wèn)題，通常先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合通項(xiàng)公式特征確定求和思路. 【題文】20．（本題滿分13分） 已知橢圓：的左焦點(diǎn)，離心率為， （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)，，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的最小值，并求此時(shí)的的值．

19、【知識(shí)點(diǎn)】橢圓，直線與橢圓位置關(guān)系H5 H8 【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值為,此時(shí). 解析：（Ⅰ）,由得,橢圓方程為 （Ⅱ）若直線斜率不存在,則= 設(shè)直線, 由得 所以 故的最小值為,此時(shí). 【思路點(diǎn)撥】在圓錐曲線與向量的綜合應(yīng)用中，出現(xiàn)向量關(guān)系，一般把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，再通過(guò)聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為系數(shù)關(guān)系進(jìn)行解答. 【題文】21、（本小題滿分14分）已知二次函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，其中為非零常數(shù)，設(shè)。 （1）求的值； （2）如何取值時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)。 （3）若，且，求證：。 【知識(shí)點(diǎn)】一

20、元二次不等式 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 二項(xiàng)式定理 基本不等式E3 E6 B12 J3 【答案】【解析】（1）-2；（2）當(dāng)m＞0時(shí)，k取任意實(shí)數(shù)，函數(shù)φ（x）有極小值點(diǎn)x2；當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)φ（x）有極小值點(diǎn)x2，有極大值點(diǎn)x1． （其中）；（3）略 解析：（1）∵關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），即不等式x2+（a+1-2m）x+m2+m＜0的解集為（m，m+1），∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=（x-m）（x-m-1）．∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=x2-（2m+1）x+m（m+1）．∴a+1-2m=-（2m+1）．∴a=-2． （2）

21、由（1）得 ． ∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=-kln（x-1）的定義域?yàn)椋?，+∞）．∴． 方程x2-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判別式△=（2+k）2-4（k-m+1）=k2+4m， 當(dāng)m＞0時(shí)，△＞0，方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為，則x∈（1，x2）時(shí)，；x∈（x2，+∞）時(shí)，．∴函數(shù)φ（x）在（1，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增．∴函數(shù)φ（x）有極小值點(diǎn)x2， 當(dāng)m＜0時(shí)，由△＞0，得或，若，則，故x∈（1，+∞）時(shí)，，∴函數(shù)φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴函數(shù)φ（x）沒(méi)有極值點(diǎn)．若時(shí)，，則x∈（1，x1）時(shí)，； x∈（x1，x2）時(shí)，；x∈（x

22、2，+∞）時(shí)，．∴函數(shù)φ（x）在（1，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增．∴函數(shù)φ（x）有極小值點(diǎn)x2，有極大值點(diǎn)x1． 綜上所述，當(dāng)m＞0時(shí)，k取任意實(shí)數(shù)，函數(shù)φ（x）有極小值點(diǎn)x2；當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)φ（x）有極小值點(diǎn)x2，有極大值點(diǎn)x1． （其中） （3）證明：∵m=1，∴g（x）=． ∴ = = ,令T=，則T= ,∵x＞0， ∴2T=≥ ==2（2n-2）． ∴T≥2n-2，即[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2． 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)、一元二次不等式、一元二次方程、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、均值不等式等，其中利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)注意在其定義域內(nèi)解答，對(duì)于第三問(wèn)也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明．