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1、2022年高三數(shù)學12月月考試題 文(IV)
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分
1．過原點和在復平面內(nèi)對應點的直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
2、已知函數(shù)的值域為，則正實數(shù)等于（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“方程表示橢圓”的（ ）條件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D. 既不充分也不必要
4.．雙曲線的焦距為（ ）
A． B． C． D．
5．下列說法中不正確的是
2、 A．若命題，使得，則，都有；
B．存在無數(shù)個，使得等式成立；
C．命題“在中，若,則”的逆否命題是真命題；
D．“為真”是“為真”的必要不充分條件．
6.在等比數(shù)列中，公比，且前項和，
正視圖
側視圖
俯視圖
10
x
y
則項數(shù)等于
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，當取得最大值時，
該幾何體的體積為
A． B．
C． D．
8. 已知是橢圓長軸的兩個端點，B是它短軸的一個端點，如果與的夾角不小于，則該橢圓的離心率的取值范圍是（
3、 ）
A． B． C． D．
9．如圖，已知點P是圓上的一個動點，點Q是直線上的一個動點，O為坐標原點，則向量上的投影的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．1
10.如圖.已知,圓心在上、半徑為的圓在時與相切于點A,圓沿以的速度勻速向上移動,圓被直線所截上方圓弧長記為,令,則與時間 (0≤≤1,單位:s)的函數(shù)的圖像大致為
11．定義在R上的函數(shù) 是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，若實數(shù)滿足不等式的取值
4、范圍是（ ）
A． B． C． D． [4，16]
12.定義：如果函數(shù)在上存在，（），滿足，，則稱數(shù)，為上的“對望數(shù)”，函數(shù)為上的“對望函數(shù)”．已知函數(shù)是上的“對望函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是
. . . .
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13. 已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝ ．
14．表示函數(shù)的導數(shù)，在區(qū)間上隨機取值，的概率為 ___ ．
15.點是函數(shù)圖象上任意一點，且在點處切線的傾斜角為
，則的取值范圍是
16．我國齊梁時代的數(shù)學
5、家祖暅（公元前世紀）提出了一條原理“冪勢既同，則積不容異．”這句話的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積總是相等，那么這兩個幾何體的體積相等．設由曲線和直線，所圍成的平面圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為；由同時滿足，，，的點構成的平面圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為，根據(jù)祖暅原理等知識，通過考察可以得到的體積為 ．
三．解答題：解答時需寫出必要的文字說明和推理過程，本大題共6小題，
17．（本小題滿分12分）
已知向量，設函數(shù)．
（1）求在區(qū)間上的零點；
2)在△中，角的對邊分別是，且滿足，求的
6、取值范圍．
18.（本小題滿分12分）
武漢市市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民。根據(jù)這50位市民評分的莖葉圖，請回答下面問題
甲部門
乙部門
4
9 7
9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0
9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0
6 6 5 5 2 0 0
7、 6 3 2 2 2 0
3
4
5
6
7
8
9
10
5 9
0 4 4 8
1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9
0 1 1 2 3 4 6 8 8
0 0 1 1 3 4 4 9
1 2 3 3 4 5
0 1 1 4 5 6
0 0 0
（I）分別估計該市的市民對甲、乙部門評分的中位數(shù)；
（II）分別估計該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率；
?
19.（本小題滿分12分）如圖，為圓的直徑，是圓上不同于，的動點，四邊形 為矩形，且，，平面平
8、面．
（1）求證：平面；
（2）當點在弧的什么位置時，四棱錐的體積為．
20. （本小題滿分12分）設,分別是橢圓的左右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N.
（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率；
（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.
21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)。
（Ⅰ）求的極小值和極大值；
（Ⅱ）當曲線的切線的斜率為負數(shù)時，求在軸上截距的取值范圍。
22．（本小題滿分10分）選修4—1幾何證明選講：
如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E,F分別為弦AB與弦AC上的點，且，四點
9、共圓．
（Ⅰ）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；
（Ⅱ）若，求過四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．
23．（本小題滿分10分）選修4—4；坐標系與參數(shù)方程
已知動點都在曲線(為參數(shù))上，對應參數(shù)分別為與，M為PQ的中點．
（Ⅰ）求M的軌跡的參數(shù)方程；
（Ⅱ）將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點．
24．（本小題滿分10分）選修4—5；不等式選講
設均為正數(shù)，且，證明：
（Ⅰ）； （Ⅱ）．
10、漢鐵高中xx屆高三12月月考試題答案（文科）
D B B D D B DB A B B
13. 14. 15. 16.
17. 因為，函數(shù)．
所以 ………………………2分
………………………4分
（Ⅰ）由，得．
，或
，或 ………………………6分
又，或．
所以在區(qū)間上的零點是和． ………………………8分
（Ⅱ）在△中，，所以．
由且，得從而 ……………10分
， ． ………………12分
18.（I）由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評
11、分由小到大排序，排在25，26位的是75，75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)估計值是75.
50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在25，26位的是66，68，故樣本中位數(shù)為，所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)估計值是67.
（II）由所給莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為，，故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1和0.16。
19.（1）因為四邊形為矩形，所以,
又平面平面，
且平面平面，
所以平面，
而平面，所以． （3分）
又因為為圓的直徑，是圓上不同于，的
動點，所以．
12、
因為，所以平面． （6分）
（2）因為平面平面，過點作交于點，則平面．
在中，記（），
因為，所以，，
所以． （10分）
?
由已知，所以，即．
因為，所以，即；
或，即．
于是點在滿足或時，四棱錐
的體積為． （12分）
20．解：(1)根據(jù)c＝及題設知M，2b2＝3ac.
將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故C的離心率為.
(2)由題意知，原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸，所以直線MF1與y
13、軸的交點D(0，2)是線段MF1的中點，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
設N(x1，y1)，由題意知y1<0，則
即
代入C的方程，得＋＝1.②
將①及c＝代入②得＋＝1，
21．解：(1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)．
f′(x)＝－e－xx(x－2)．①
當x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)時，f′(x)<0；
當x∈(0，2)時，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)單調(diào)遞減，在(0，2)單調(diào)遞增．
故當x＝0時，f(x)取得極小值，極小值為f(0)＝0；當x＝2時，f(x)取得極大值，極大值為
14、f(2)＝4e－2.
(2)設切點為(t，f(t))，則l的方程為y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．
所以l在x軸上的截距為m(t)＝t－＝t＋＝t－2＋＋3.
由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．
令h(x)＝x＋(x≠0)，則當x∈(0，＋∞)時，h(x)的取值范圍為[2 ，＋∞)；當x∈(－∞，－2)時，h(x)的取值范圍是(－∞，－3)．
所以當t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)時，m(t)的取值范圍是(－∞，0)∪[2 ＋3，＋∞)．
綜上，l在x軸上的截距的取值范圍是(－∞，0)∪[2 ＋3，＋∞)．
22．解：(1)證明：因為CD為△ABC外接圓的切線，所以∠
15、DCB＝∠A，由題設知＝，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因為B，E，F(xiàn)，C四點共圓，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑．
(2)聯(lián)結CE，因為∠CBE＝90°，所以過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑為CE，由DB＝BE，有CE＝DC，
又BC＝DB·BA＝2DB，所以CA＝4DB＋BC＝6DB.
而DC＝DB·DA＝3DB，故過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.
23．解：(1)依題意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(c
16、os α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的軌跡的參數(shù)方程為
(α為參數(shù)，0<α<2π)．
(2)M點到坐標原點的距離
d＝＝(0<α<2π)．
當α＝π時，d＝0，故M的軌跡過坐標原點．
24．證明：(1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca得
a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.
由題設得(a＋b＋c)＝1，即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因為 ＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，又a＋b＋c＝1，
所以＋＋≥1.
2022年高三數(shù)學12月月考試題 文(IV)
