2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 文（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 文（含解析） 【試卷綜析】本試卷是高三文科試卷，以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為載體，以能力測試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí)，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識(shí)考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識(shí)，兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查：不等式、函數(shù)的性質(zhì)及圖象、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、解三角形、數(shù)列、平面向量、立體幾何、圓錐曲線、程序框圖、充分、必要條件、復(fù)數(shù)等；考查學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力，是份較好的試卷. 第Ｉ卷 【題文】一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 【題文】1．已

2、知是虛數(shù)單位，則= （ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算L4 【答案】【解析】B 解析：因?yàn)椋赃xB. 【思路點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是?？贾R(shí)點(diǎn)之一，熟練掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是本題解題的關(guān)鍵. 【題文】2．已知，，則“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】充分、必要條件A2 【答案】【解析】A 解析：若x+y=1，當(dāng)x,y異號(hào)或有一個(gè)為0時(shí)，顯然有，當(dāng)x,y同號(hào)時(shí)，則x,y只能都為正數(shù)，此時(shí)

3、1=x+y,得，所以對(duì)于滿足x+y=1的任意實(shí)數(shù)x,y都有，則充分性成立，若，不妨取x=4,y=0.001,此時(shí)x+y=1不成立，所以必要性不成立，綜上可知選A. 【思路點(diǎn)撥】一般判斷充分、必要條件時(shí)，可先分清命題的條件與結(jié)論，若從條件能推出結(jié)論，則充分性滿足，若從結(jié)論能推出條件，則必要性滿足. 【題文】3. 在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件：“”的概率為（ ） A． B ． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】幾何概型K3 【答案】【解析】C 解析：對(duì)于[－π, π]，由cosx≥0，得x∈,所以所求的概率為，則選C.

4、 【思路點(diǎn)撥】先判斷出是幾何概型，歸納為所求概率為長度之比，即可解答. 【題文】4．已知函數(shù) ，若 是 的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù) 在原點(diǎn)附近的圖象大致是（ ） 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，函數(shù)的圖像B8 B11 【答案】【解析】A 解析：因?yàn)?，所以函?shù)在R上單調(diào)遞增，則選A. 【思路點(diǎn)撥】一般判斷函數(shù)的圖像，可結(jié)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性及特殊位置的函數(shù)值或函數(shù)值的符號(hào)等進(jìn)行判斷. 【題文】5．某幾何體是由直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為 （ ） A． B．

5、 C． D． （第5題） 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖 橢圓的性質(zhì)G2 H5 【答案】【解析】D 解析：設(shè)正視圖中正方形的邊長為2b，由三視圖可知，俯視圖中的矩形一邊長為2b，另一邊長為圓錐底面直徑，即為正視圖中的對(duì)角線長，計(jì)算得，所以,則選D. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖解答幾何問題，注意三視圖與原幾何體的長寬高的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求橢圓的離心率，抓住其定義尋求a,b,c關(guān)系即可解答. 【題文】6．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為且，則 的值為（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】解三角形C8

6、【答案】【解析】A 解析：由得,又A為三角形內(nèi)角，所以A=120°,則，所以選A. 【思路點(diǎn)撥】在解三角形中，若遇到邊角混合條件，通常先利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為單一的角的關(guān)系或單一的邊的關(guān)系，再進(jìn)行解答. 【題文】7．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10:S5＝1:2，則 ( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列D3 【答案】【解析】B 解析：因?yàn)镾10:S5＝1:2，所以,由等比數(shù)列的性質(zhì)得成等比數(shù)列，所以,得,所以,則選B. 【思路點(diǎn)撥】在等比數(shù)列

7、中，若遇到等距的和時(shí)，可考慮利用等比數(shù)列的性質(zhì)成等比數(shù)列進(jìn)行解答.. 【題文】8．已知x，y滿足則的取值范圍是 ( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】簡單的線性規(guī)劃E5 【答案】【解析】C 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖,因?yàn)?，而為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(4，2)連線的斜率，顯然斜率的最小值為0，點(diǎn)(-3,-4)與點(diǎn)(4，2)連線的斜率最大為，所以的取值范圍為，則選C. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到由兩個(gè)變量滿足的不等式組求范圍問題，通常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答. 【題文】9．已知橢圓C:，

8、點(diǎn)為其長軸的6等分點(diǎn)，分別過這五點(diǎn)作斜率為的一組平行線，交橢圓C于，則直線這10條直線的斜率乘積為（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 橢圓的性質(zhì)H5 【答案】【解析】B 解析：由橢圓的性質(zhì)可得，由橢圓的對(duì)稱性可得,同理可得,則直線這10條直線的斜率乘積為,所以選B. . 【思路點(diǎn)撥】抓住橢圓上的點(diǎn)與長軸端點(diǎn)的連線的斜率為定值是本題的關(guān)鍵. 【題文】10. 用表示非空集合中的元素個(gè)數(shù)，定義 若，設(shè)， 則等于（ ） A．1 B．4 C．3 D．2 【知識(shí)點(diǎn)】集合的運(yùn)算A1 【答案】【解析】

9、B 解析：∵x2-ax-14=0對(duì)應(yīng)的判別式△=a2-4×（-14）=a2+56＞0，∴n（A）=2，∵A*B=1，∴n（B）=1或n（B）=3．由|x2+bx+xx|=xx，解得x2+bx+1=0①或x2+bx+4027=0②，①若集合B是單元素集合，則方程①有兩相等實(shí)根，②無實(shí)數(shù)根，∴b=2或-2．②若集合B是三元素集合，則方程①有兩不相等實(shí)根，②有兩個(gè)相等且異于①的實(shí)數(shù)根，即△=b2-4×4027=0，且b≠±2，解得，綜上所述b=±2或，∴設(shè)S={b|A*B=1}=，∴n（S）=4．故選B． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給的定義，判斷兩個(gè)集合根的個(gè)數(shù)，由方程根的個(gè)數(shù)求b值. 第Ⅱ卷

10、 【題文】二．填空題（本大題5個(gè)小題，每題5分，共25分， 請(qǐng)把答案填在答題卷上） 【題文】11. 已知的值為___________. 【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化 對(duì)數(shù)的運(yùn)算B6 B7 【答案】【解析】3 解析：由得，所以. 【思路點(diǎn)撥】由已知條件先把x,y化成同底的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算. 【題文】12．若某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值為　　　　． （第12題） 【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖L1 【答案】【解析】 解析：第一次執(zhí)行循環(huán)體得s=1,i=2; 第二次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=3; 第三次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=4; 第

11、四次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=5; 第五次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=6; 第六次執(zhí)行循環(huán)體得s= 此時(shí)不滿足判斷框跳出循環(huán)，所以輸出的值為. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖問題，當(dāng)運(yùn)行次數(shù)較少時(shí)就能達(dá)到目的，可依次執(zhí)行循環(huán)體，直到跳出循環(huán)，若運(yùn)行次數(shù)較多時(shí)，可結(jié)合數(shù)列知識(shí)進(jìn)行解答. 【題文】13．已知函數(shù)的最大值為1， 則　　　?。? 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的性質(zhì)C3 【答案】【解析】0或 解析：因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，解得a=0或. 【思路點(diǎn)撥】研究三角函數(shù)的性質(zhì)，一般先化成一個(gè)角的三角函數(shù)再進(jìn)行解答，本意注意應(yīng)用asinx+bcosx的最值的結(jié)論進(jìn)行作答. 【題文】

12、14．過點(diǎn)作圓的弦， 其中弦長為整數(shù)的共有 條。 【知識(shí)點(diǎn)】圓的方程H3 【答案】【解析】32 解析：由題意可知過點(diǎn)的最短的弦長為10，最長的弦長為26,所以共有弦長為整數(shù)有2+2×(26－10－1)=32. 【思路點(diǎn)撥】可先求出弦長的范圍，弦與點(diǎn)A與圓心連線垂直時(shí)弦長最短，弦過圓心時(shí)弦長為圓的直徑，此時(shí)長度最大，取得最值的兩個(gè)位置只有一條，中間的整數(shù)值都有兩條. 15.已知為線段上一點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿足，，，且，則的值為 【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積F3 【答案】【解析】3 解析：，而，，， 又，即， 所以I在∠BAP的角平分線

13、上，由此得I是△ABP的內(nèi)心，過I作IH⊥AB于H，I為圓心，IH為半徑，作△PAB的內(nèi)切圓，如圖，分別切PA,PB于E、F，， ，， 在直角三角形BIH中，，所以,所以選B . 【思路點(diǎn)撥】理解向量是與向量共線同向的單位向量即可確定I的位置，再利用向量的減法及數(shù)量積計(jì)算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解. 【題文】三．解答題（本大題6個(gè)小題，共75分，請(qǐng)把答案填在答題卷上） 【題文】16. （本小題滿分12分） 組距 頻率 0.01 0.07 75 80 85 90 95 0.02 100 0.04 0.06 服務(wù)時(shí)間/小時(shí) OO 某市規(guī)定，高中學(xué)生在校期間須參加不

14、少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格．某校隨機(jī)抽取20位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示． （Ⅰ）求抽取的20人中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)； （Ⅱ）從參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生中任意選取2人，求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率． 【知識(shí)點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體 古典概型I2 K2 【答案】【解析】（Ⅰ）6人；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）由題意可知， 參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生人數(shù)為（人）， 參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生人數(shù)為（人）． 所以參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為 （人）． （Ⅱ）設(shè)所選學(xué)生的

15、服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)為事件．由（Ⅰ）可知， 參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生有4人，記為； 參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生有2人，記為． 從這6人中任意選取2人有 共15種情況． 事件包括共7種情況． 所以所選學(xué)生的服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率． 【思路點(diǎn)撥】在頻率分布直方圖中，注意縱坐標(biāo)是頻率/組距，在求概率時(shí)，一般通過列舉法尋求所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù). 【題文】17、（本小題滿分12分）已知函數(shù)。 （1）若，求函數(shù)的最大值和最小值，并寫出相應(yīng)的x的值； （2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足且， 求的值。 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)性質(zhì)，解三角形C3 C8 【答案】【解析】（

16、1）時(shí)函數(shù)得最小值為；（2）a=1，b=2． 解析：（1），因?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)得最大值為0，當(dāng)時(shí)函數(shù)得最小值為； （2）因?yàn)閒（C）=sin（2C-）-1=0，則sin（2C-）=1， ∵0＜C＜π，∴0＜2C＞2π，∴＜2C-＜，∴2C-=，∴C=，∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a ①，由余弦定理得c2=a2+b2-ab=3 ②，由①②解得：a=1，b=2． 【思路點(diǎn)撥】一般研究三角函數(shù)的性質(zhì)，通常先利用公式把函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)再進(jìn)行解答，在解三角形時(shí)，注意利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化和求值. 【題文】18．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中

17、，四邊形是正方形，，，分別為的中點(diǎn). （Ⅰ）求證:平面平面; （Ⅱ）若，求三棱錐的體積. （第18題） 【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系 棱錐的體積G4 G7 【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ） 解析： （Ⅰ）證明：因?yàn)榉謩e為中點(diǎn),所以,又因?yàn)槭钦叫?,所以,所以平面.因?yàn)榉謩e為中點(diǎn),所以,所以平面.所以平面平面. （Ⅱ）. 【思路點(diǎn)撥】證明面面平行通常利用其判定定理進(jìn)行證明，求棱錐體積可結(jié)合底面積與高的關(guān)系轉(zhuǎn)化為與已知條件相關(guān)的棱錐的體積進(jìn)行求值. 【題文】19．（本題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列

18、求和D1 D4 【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）時(shí), 所以 （Ⅱ） . 【思路點(diǎn)撥】一般遇到數(shù)列求和問題，通常先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合通項(xiàng)公式特征確定求和思路. 【題文】20．（本題滿分13分） 已知橢圓：的左焦點(diǎn)，離心率為。 （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)，，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的值。 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓，直線與橢圓位置關(guān)系H5 H8 【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）,由得,橢圓方程為 （Ⅱ）若直線斜率不存在,則=，當(dāng)直線l斜率存在時(shí) 設(shè)直線, 由得 所以

19、 【思路點(diǎn)撥】在圓錐曲線與向量的綜合應(yīng)用中，出現(xiàn)向量關(guān)系，一般把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，再通過聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為系數(shù)關(guān)系進(jìn)行解答. 【題文】21. （本題滿分14分）已知為正數(shù)，記為“正數(shù)的對(duì)數(shù)平均數(shù)”。 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； ，比較的“算術(shù)平均數(shù)”，“幾何平均數(shù)”和“對(duì)數(shù)平均數(shù)”的大小并證明。 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 不等式的證明方法B12 E7 【答案】【解析】(1) (1,+ ∞)；(2) a=b＞0時(shí)，當(dāng)a＞b時(shí)，有. 解析：(1)由題意得 ， 設(shè)，所以h(x)單調(diào)遞增，則h(x)＞h(1)=0,所以，所以函數(shù)f(x)在所給區(qū)間上單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為(1,+ ∞)； (2) 當(dāng)a=b＞0時(shí)，，當(dāng)a＞b時(shí)，有，證明如下：，， 則＞G(1)=0,所以，又， ，令，所以H(t) ＜H(1)=0，所以，綜上得當(dāng)a=b＞0時(shí)，當(dāng)a＞b時(shí)，有. 【思路點(diǎn)撥】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是求導(dǎo)函數(shù)大于0及小于0的解集對(duì)應(yīng)的區(qū)間，證明不等式可利用比較法，同時(shí)借助所證明的函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明.