2022年高中數(shù)學(xué) 第十三課 三角函數(shù)的性質(zhì)教案 蘇教版必修4

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第十三課 三角函數(shù)的性質(zhì)教案 蘇教版必修4教學(xué)目標(biāo):理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義,會求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間;滲透數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn):正、余弦函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn):正、余弦函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用教學(xué)過程:.課題導(dǎo)入上節(jié)課,我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象,今天,我們借助它們的圖象來研究它們有哪些性質(zhì).(1)定義域:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R或(,),分別記作:ysinx,xRycosx,xR(2)值域因?yàn)檎揖€、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度,所以sinx1,cosx1,即1sinx

2、1,1cosx1也就是說,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是1,1.其中正弦函數(shù)y=sinx,xR當(dāng)且僅當(dāng)x2k,kZ時,取得最大值1.當(dāng)且僅當(dāng)x2k,kZ時,取得最小值1.而余弦函數(shù)ycosx,xR當(dāng)且僅當(dāng)x2k,kZ時,取得最大值1.當(dāng)且僅當(dāng)x(2k1),kZ時,取得最小值1.(3)周期性由 (kZ)知:正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的.一般地,對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(xT)f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.由此可知,2,4,2,4,2k(kZ且k0)都是這兩個函數(shù)的周期.對于一個

3、周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.根據(jù)上述定義,可知:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2k(kZ且k0)都是它的周期,最小正周期是2.(4)奇偶性正弦函數(shù)是奇函數(shù),余弦函數(shù)是偶函數(shù).(5)單調(diào)性從ysinx,x,的圖象上可看出:當(dāng)x,時,曲線逐漸上升,sinx的值由1增大到1.當(dāng)x,時,曲線逐漸下降,sinx的值由1減小到1.結(jié)合上述周期性可知:正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間2k,2k(kZ)上都是增函數(shù),其值從1增大到1;在每一個閉區(qū)間2k,2k(kZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到1.余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間(2k1),2k(kZ)上

4、都是增函數(shù),其值從1增加到1;在每一個閉區(qū)間2k,(2k1)(kZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到1.例1求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合,并說出最大值是什么.(1)ycosx1,xR; (2)ysin2x,xR.解:(1)使函數(shù)ycosx1,xR取得最大值的x的集合,就是使函數(shù)ycosx,xR取得最大值的x的集合xx2k,kZ.函數(shù)ycosx1,xR的最大值是112.(2)令Z2x,那么xR必須并且只需ZR,且使函數(shù)ysinZ,ZR取得最大值的Z的集合是ZZ2k,kZ由2xZ2k,得xk即:使函數(shù)ysin2x,xR取得最大值的x的集合是xxk,kZ.函數(shù)ysin2x,xR的最大值是1.例

5、2求下列函數(shù)的定義域:(1)y1 (2)y解:(1)由1sinx0,得sinx1即x2k(kZ)原函數(shù)的定義域?yàn)閤x2k,kZ(2)由cosx0得2kx2k(kZ)原函數(shù)的定義域?yàn)?k,2k(kZ)例3求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間:ycos(2x);y3sin()解:設(shè)u2x,則ycosu當(dāng)2ku2k時ycosu隨u的增大而增大又u2x隨xR增大而增大ycos(2x)當(dāng)2k2x2k(kZ)即kxk時,y隨x增大而增大ycos(2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:k,k(kZ)設(shè)u,則y3sinu當(dāng)2ku2k時,y3sinu隨x增大在減小,又u隨xR增大在減小 y3sin()當(dāng)2k2k即4kx4k時,y隨x增大

6、而增大y3sin()的單調(diào)遞增區(qū)間為 4k,4k(kZ).課堂練習(xí)課本P33 17.課時小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí),要初步掌握正、余弦函數(shù)的性質(zhì)以及性質(zhì)的簡單應(yīng)用,解決一些相關(guān)問題.課后作業(yè)課本P46 習(xí)題 2、3、4課后練習(xí):1給出下列命題:ysinx在第一象限是增函數(shù);是銳角,則ysin()的值域是1,1;ysinx的周期是2;ysin2xcos2x的最小值是1;其中正確的命題的序號是_.分析:ysinx是周期函數(shù),自變量x的取值可周期性出現(xiàn),如反例:令x1,x22,此時x1x2而sinsin(2) 錯誤;當(dāng)為銳角時,由圖象可知sin()1錯誤;ysinx(xR)是偶函數(shù).其圖象是關(guān)于y軸對稱,可看

7、出它不是周期函數(shù).錯誤;ysin2xcos2xcos2x,最小值為1正確.答案:評述:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部選擇,是針對區(qū)間而言的;我們不能說某函數(shù)在某象限內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù),而只能說某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù).2求下列函數(shù)的定義域和值域:(1)ylg(sinx) (2)y2分析:根據(jù)函數(shù)有意義列不等式,求x的范圍即為定義域.求值域時要注意正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域.解:(1)要使lg(sinx)有意義,必須且只須sinx,解之得:2kx2k,kZ又0sinx1lg(sinx)lg(1)定義域?yàn)?2k,2k),(kZ)值域?yàn)?,lg(1).(2)要使2有意義,必須且只須2cos3x1

8、0,即cos3x,解之得2k3x2k即 x,kZ.又02cos3x11故022 定義域?yàn)椋琸Z值域?yàn)?,2評述:求由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成復(fù)合函數(shù)的定義域、值域問題,要充分考慮基本的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域.4.比較下列各組數(shù)的大?。?1)sin195與cos170;(2)cos,sin,cos(3)sin(sin),sin().分析:化為同名函數(shù),進(jìn)而利用單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小.解:(1)sin195sin(18015)sin15cos170cos(18010)cos10sin800158090又ysinx在0,90上是遞增函數(shù),sin15sin80 sin15sin80sin195cos170.(2)sincos()coscos()又1.471.51.391.4而ycosx在0,上是減函數(shù),由得coscos()cos()即cossincos.(3)cossin0cossin1而ysinx在0,1內(nèi)遞增sin(cos)sin(sin).

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