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1、
2022年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷 含解析
一、選擇題每小題5分，共60分，請(qǐng)將所選答案填在答卷對(duì)應(yīng)題號(hào)的空格內(nèi).
1．若A=，B={x|1≤x＜2}，則A∪B=（ ?。?
A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C． D．{x|0＜x＜2}
2．函數(shù)f（x）=log2（3x+1）的值域?yàn)椋ā 。?
A．（0，+∞） B．，那么函數(shù)f（x2﹣1）的定義域是（ ?。?
A． B． C． D．
5．設(shè)偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈（x1＜x2）的長(zhǎng)度為x2﹣x1，已知函數(shù)y=2|x|的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t區(qū)間的長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為 ?。?
2、
三、解答題共70分，解題要有推理過(guò)程或演算步驟
17．已知A={x∈R|x2﹣2x﹣8=0}，B={x∈R|x2+ax+a2﹣12=0}，B是A的非空子集，求實(shí)數(shù)a的值．
18．已知f（x）=1+log3x，（1≤x≤9），求函數(shù)g（x）=f2（x）+f（x2）的最大值與最小值．
19．已知奇函數(shù)
（1）求實(shí)數(shù)m的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出y=f（x）的圖象．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，試確定a的取值范圍．
20．某公司要將一批不易存放的蔬菜從A地運(yùn)到B地，有汽車、火車兩種運(yùn)輸工具可供選擇，兩種運(yùn)輸工具的主要參考數(shù)據(jù)如表：
運(yùn)輸工具
途中速
3、度（km/h）
途中費(fèi)用（元/km）
裝卸時(shí)間（h）
裝卸費(fèi)用（元）
汽車
50
8
2
1000
火車
100
4
4
xx
若這批蔬菜在運(yùn)輸過(guò)程（含裝卸時(shí)間）中損耗為300元/h，設(shè)A、B兩地距離為xkm
（1）設(shè)采用汽車與火車運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用分別為f（x）與g（x），求f（x）與g（x）；
（2）試根據(jù)A、B兩地距離大小比較采用哪種運(yùn)輸工具比較好（即運(yùn)輸總費(fèi)用最?。?
（注：總費(fèi)用=途中費(fèi)用+裝卸費(fèi)用+損耗費(fèi)用）
21．已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明f（x）的單調(diào)性，并求其值域；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈，那么函數(shù)f（x2﹣1）
4、的定義域是（ ?。?
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．
【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．
【分析】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，可得?≤x2﹣1≤1，解出即可得出．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?
由﹣1≤x2﹣1≤1，解得．
∴函數(shù)f（x2﹣1）的定義域是．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的定義域的求法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
5．設(shè)偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈（x1＜x2）的長(zhǎng)度為x2﹣x1，已知函數(shù)y=2|x|的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則區(qū)間的長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為 1 ．
【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．
【專題】
5、函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的值域求出a，b的取值情況即可得到結(jié)論．
【解答】解：若2|x|=1，則x=0．
若2|x|=2，則x=1或x=﹣1，
∵函數(shù)y=2|x|的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?
∴若a=﹣1，則0≤b≤1，
若b=1，則﹣1≤a≤0，
即當(dāng)a=﹣1，b=0或a=0，b=1時(shí)，b﹣a最小為1，
當(dāng)a=﹣1，b=1時(shí)，b﹣a的值最大為1﹣（﹣1）=2，
故區(qū)間的長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為2﹣1=1，
故答案為：1
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的值域求出a，b的取值情況是解決本題的關(guān)鍵．
6、
三、解答題共70分，解題要有推理過(guò)程或演算步驟
17．已知A={x∈R|x2﹣2x﹣8=0}，B={x∈R|x2+ax+a2﹣12=0}，B是A的非空子集，求實(shí)數(shù)a的值．
【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．
【專題】計(jì)算題；集合．
【分析】解一元二次方程求得集合A，由B是A的非空子集，分類討論，分別求出實(shí)數(shù)a的取值．
【解答】解：由已知，A={﹣2，4}．
∵B是A的非空子集，∴B={﹣2}或{4}或{﹣2，4}．
若B={﹣2}，則有，解得：a=4；
若B={4}，則有，解得a∈?；
若B={﹣2，4}，由韋達(dá)定理可得，解得a=﹣2
綜上，所求實(shí)數(shù)a的值為
7、﹣2或4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，一元二次方程的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
18．已知f（x）=1+log3x，（1≤x≤9），求函數(shù)g（x）=f2（x）+f（x2）的最大值與最小值．
【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．
【專題】計(jì)算題．
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)g（x）=f2（x）+f（x2）=（log3x+2）2﹣2，其中1≤x≤3，看作關(guān)于log3x的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解．
【解答】解：g（x）的定義域由確定，解得：1≤x≤3，g（x）=f2（x）+f（x2）=（1+log3x）2+（1+log3x2）=（
8、log3x+2）2﹣2，1≤x≤3，
令t=log3x，0≤t≤1，
有：y=g（x）=（t+2）2﹣2，在上為增函數(shù)，
∴當(dāng)t=0即x=1時(shí)，g（x）min=2；
當(dāng)t=1即x=3時(shí)，g（x）max=7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，換元法．正確的求出g（x）的定義域是關(guān)鍵，也是本題極易出錯(cuò)的地方．
19．已知奇函數(shù)
（1）求實(shí)數(shù)m的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出y=f（x）的圖象．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，試確定a的取值范圍．
【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)的圖象．
【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；待定系數(shù)法．
【分析】（1
9、）由奇函數(shù)的定義，對(duì)應(yīng)相等求出m的值；畫出圖象．
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，從而得到|a|﹣2的一個(gè)不等式，解不等式就求得a 的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x
又f（x）為奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x2﹣2x，∴f（x）=x2+2x，∴m=2
y=f（x）的圖象如右所示
（2）由（1）知f（x）=，
由圖象可知，f（x）在上單調(diào)遞增，要使f（x）在上單調(diào)遞增，只需解之得﹣3≤a＜﹣1或1＜a≤3
【點(diǎn)評(píng)】考查奇函數(shù)的定義，應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想求值；作函數(shù)的圖象，求a的取值范圍，體現(xiàn)了
10、作圖和用圖的能力，屬中檔題．
20．某公司要將一批不易存放的蔬菜從A地運(yùn)到B地，有汽車、火車兩種運(yùn)輸工具可供選擇，兩種運(yùn)輸工具的主要參考數(shù)據(jù)如表：
運(yùn)輸工具
途中速度（km/h）
途中費(fèi)用（元/km）
裝卸時(shí)間（h）
裝卸費(fèi)用（元）
汽車
50
8
2
1000
火車
100
4
4
xx
若這批蔬菜在運(yùn)輸過(guò)程（含裝卸時(shí)間）中損耗為300元/h，設(shè)A、B兩地距離為xkm
（1）設(shè)采用汽車與火車運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用分別為f（x）與g（x），求f（x）與g（x）；
（2）試根據(jù)A、B兩地距離大小比較采用哪種運(yùn)輸工具比較好（即運(yùn)輸總費(fèi)用最?。?
（注：總費(fèi)用=途
11、中費(fèi)用+裝卸費(fèi)用+損耗費(fèi)用）
【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．
【專題】應(yīng)用題．
【分析】（1）根據(jù)表格，利用總費(fèi)用=途中費(fèi)用+裝卸費(fèi)用+損耗費(fèi)用，分別求出運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用；
（2）分類討論，比較它們的大小，由此確定采用哪種運(yùn)輸工具較好
【解答】解：（1）∵總費(fèi)用=途中費(fèi)用+裝卸費(fèi)用+損耗費(fèi)用
∴用汽車運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用為：
用火車運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用為：
（2）由f（x）＜g（x）得
由f（x）=g（x）得
由f（x）＞g（x）得
故當(dāng)A、B兩地距離小于時(shí)，采用汽車運(yùn)輸好；當(dāng)A、B兩地距離等于時(shí)，采用汽車或火車都一樣；當(dāng)A、B兩地距離大于時(shí)，采用火車運(yùn)輸好
【點(diǎn)評(píng)】本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查解不等式，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用表格中的數(shù)據(jù)
21．已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明f（x）的單調(diào)性，并求其值域；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈．
又，
令，則k≥g（t）max．
∵在（﹣∞，1]上是增函數(shù)，
故．
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義域，值域，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．
2022年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷 含解析
