【】2021中考數(shù)學 第16講 三角形的基本知識及全等三角形

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1、 第16講 三角形的基本知識及全等三角形 考點1 三角形的概念及其分類 考點2 與三角形有關的線段 高 ⑥ 三角形的三條高相交于三角形的內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于⑦ ；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部. 中線 三角形的三條中線相交于⑧ ，每一條中線都將三角形分成面積⑨ 的兩部分. 角平分線 三角形的三條角平分線相交于⑩ ，這個點是三角形的? ，這個點到三邊的距離? . 三邊關系 三角形的兩邊之和? 第三邊

2、，三角形的兩邊之差? 第三邊. 穩(wěn)定性 三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性. 三角形的中位線 定義 連接三角形兩邊? 的線段叫做三角形的中位線. 性質(zhì) 三角形的中位線? 第三邊，并且等于第三邊的 . 考點3 與三角形有關的角 定理 三角形三個內(nèi)角的和等于 . 推論 直角三角形的兩個銳角 . 三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的 . 考點4 全等三角形的性質(zhì)與判定 性質(zhì) 全等三角形的對應邊 ，對應角

3、 . 判定 判定1：三邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫成“邊邊邊”或“SSS”)； 判定2：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(簡寫成“邊角邊”或“SAS”)； 判定3：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”); 判定4：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫成“角角邊”或“AAS”)； 判定5：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”). 【易錯提示】“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等. 1.判斷給定的三條線段能否組成三角形，只需判斷兩條較短線段的和是否大于最長

4、線段即可. 2.“截長法”和“補短法”是證明和差關系的重要方法，無論用哪一種方法都是要將線段的和差關系轉化為證明線段相等的問題，因此添加輔助線構造全等三角形是通向結論的橋梁. 命題點1 三角形中的線段 例1 不一定在三角形內(nèi)部的線段是( ) A.三角形的角平分線 B.三角形的中線 C.三角形的高 D.三角形的中位線 【思路點撥】不管是哪種類型的三角形，三角形的角平分線、中線和中位線都在三角形內(nèi)部，但是銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，直角三角形的一條高在三角形內(nèi)部，其余兩條高與直角邊重合，鈍角三角形的一條高在三角形內(nèi)部，

5、其余兩條高在三角形外部. 方法歸納：解答本題的關鍵是熟練掌握三角形高、角平分線和中線的畫法. 1.(2013·溫州)下列各組數(shù)可能是一個三角形的邊長的是( ) A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11 2.如圖，在長方形網(wǎng)格中，每個小長方形的長為2，寬為1，A、B兩點在網(wǎng)格格點上，若點C也在網(wǎng)格格點上，以A、B、C為頂點的三角形面積為2，則滿足條件的點C個數(shù)是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.三角形

6、的下列線段中能將三角形的面積分成相等的兩部分的是( ) A.中線 B.角平分線 C.高 D.中位線 命題點2 三角形中的角 例2 (2013·海南改編)如圖，AB∥CD，AE＝AF，CE交AB于點F，∠C＝110°，求∠A的度數(shù). 【思路點撥】根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”求出∠EFB的度數(shù)，進而求出∠AFE，根據(jù)“等邊對等角”求出∠E的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù). 【解答】 方法歸納：當問題中含有平行線時，可利用平行線的性質(zhì)將其轉化為其他角；當該角是一個三角形的外角或內(nèi)角時，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角

7、形內(nèi)角和定理進行計算. 1.(2013·龍巖)如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點M，N是射線CD上的一點.若∠B＝65°，∠MDN＝135°，則∠AMB＝ . 2.(2014·邵陽)如圖，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°,AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是( ) A.45° B.54° C.40° D.50° 3.(2014·威海)如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，點E在BC的延長線上，∠ABC的平分線BC與∠ACE的平分線

8、CD相交于點D，連接AD.下列結論不正確的是( ) A.∠BAC＝70° B.∠DOC＝90° C.∠BDC＝35° D.∠DAC＝55° 命題點3 三角形的中位線 例3 (2014·湘潭)如圖，AB是池塘兩端，設計一方法測量AB的距離，取點C，連接AC、BC，再取它們的中點D、E，測得DE=15米，則AB=( ) A.7.5米 B.15米 C.22.5米 D.30米 【思路點撥】因為DE是△ABC的中位線，利用中位線定義求AB的長.

9、 方法歸納：解答本題的關鍵是要依據(jù)題目條件，活用中位線定理的結論. 1.(2014·瀘州)如圖，等邊△ABC中，點D、E分別為邊AB、AC的中點，則∠DEC的度數(shù)為( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3.E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是( ) A.7 B.9 C.10 D.11 3.如圖，在△A

10、BC中，點D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，若△ABC的周長為12 cm，則△DEF的周長是 cm. 命題點4 全等三角形的性質(zhì)與判定 例4 (2014·福州)如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求證：∠A=∠D. 【思路點撥】∠A與∠D分別在△ABF和△DEC中，直接證明△ABF和△DCE全等即可. 【解答】 方法歸納：證明兩條邊或兩個角相等時，若兩條邊或兩個角分別在兩個三角形當中，通常證明這兩條邊或兩個角所在的三角形全等. 1.(2014·南充)如圖，AD、BC相交于O，OA=OC,

11、∠OBD=∠ODB.求證：AB=CD. 2.(2014·宜賓)如圖，已知：在△AFD和△CEB中，點A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC. 求證：AD=BC. 3.(2014·瀘州)如圖正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且AE⊥BF，垂足為G，求證：AE=BF. 1.小華在電話中問小明：“已知一個三角形三邊長分別是4，9，12，如何求這個三角形的面積？”小明提示說：“可通過作最長邊上的高來求解.”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是(

12、) 2.(2013·襄陽)如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點，∠B＝40°，∠ACD＝120°，則∠A等于( ) A.60° B.70° C.80° D.90° 3.(2014·棗莊)如圖，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，則∠D的度數(shù)為( ) A.17° B.34° C.56° D.124° 4.(2013·河池)一個三角形的周長是36 cm，則以這個三角形各邊中點為頂點的三角形的周長是( ) A.6 cm

13、B.12 cm C.18 cm D.36 cm 5.(2014·益陽)如圖，平行四邊形ABCD中，E,F是對角線BD上的兩點，如果添加一個條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能是( ) A.AE=CF B.BE=FD C.BF=DE D.∠1=∠2 6.(2014·廣州)△ABC中，已知∠A=60°,∠B=80°,則∠C的外角的度數(shù) . 7.(2014·長沙)如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF= .

14、 8.(2014·溫州)如圖，直線AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，則∠3= 度. 9.(2013·婁底)如圖，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，應添加的條件是 .(添加一個條件即可) 10.(2014·連云港)如圖，AB∥CD，∠1=62°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠2= . 11.(2013·威海)將一副直角三角板如圖擺放,點C在EF上,AC經(jīng)過點D,已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,則∠CDF= . 12.

15、(2014·威海)如圖，有一直角三角形紙片ABC，邊BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，將該直角三角形紙片沿DE折疊，使點A與點C重合，則四邊形DBCE的周長為 . 13.(2014·十堰)如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，AD=AE.求證：∠B=∠C. 14.(2014·武漢)如圖，AC和BD相交于點O，OA=OC，OB=OD.求證：DC∥AB. 15.(2014·宜昌)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB. (1)求∠CAD的度數(shù)； (2)延長AC至E

16、，使CE=AC,求證:DA=DE. 16.(2014·杭州)在△ABC中，AB=AC，點E,F分別在AB,AC上，AE=AF，BF與CE相交于點P，求證：PB=PC，并請直接寫出圖中其他相等的線段. 17.(2014·泰安)如圖，∠ACB=90°，D為AB的中點，連接DC并延長到E，使CE=CD,過點B作BF∥DE，與AE的延長線交于點F.若AB=6，則BF的長為( ) A.6 B.7 C.8 D.10 1

17、8.(2013·達州改編)如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2；…∠A2 014BC和∠A2 014CD的平分線交于點A2 015，則∠A2 015= 度. 19.(2014·蘇州)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,點D，F(xiàn)分別在AB，AC上，CF=CB.連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CE，連接EF. (1)求證：△BCD≌△FCE; (2)若EF∥CD，求∠BDC的度數(shù). 20.(2013·佛山)課本指出：公

18、認的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題(如推論、定理等)的正確性都需要通過推理的方法證實. (1)敘述三角形全等的判定方法中的推論AAS； (2)證明推論AAS. 要求：敘述推論用文字表達；用圖形中的符號表達已知、求證，并證明，證明對各步驟要注明依據(jù). 21.(2014·內(nèi)江)如圖，點M、N分別是正五邊形ABCDE的邊BC、CD上的點，且BM＝CN，AM交BN于點P. (1)求證：△ABM≌△BCN； (2)求∠APN的度數(shù). 參考答案 考點解讀 ①首尾順次 ②銳 ③直 ④鈍 ⑤等邊

19、⑥銳角 ⑦直角頂點 ⑧一點 ⑨相等 ⑩一點 ?內(nèi)心 ?相等 ?大于 ?小于 ?中點 ?平行 一半 180° 互余 和 相等 相等 各個擊破 例1 C 題組訓練 1.C 2.C 3.A 例2 ∵AB∥CD，∴∠EFB＝∠C＝110°， ∴∠AFE＝180°-110°＝70°. 又∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE＝70°， ∴∠A＝180°-∠E-∠AFE＝180°-2×70°＝40°. 題組訓練 1.70° 2.C 3.B 例3 D 題組訓練 1.C 2.D 3.6 例4 證明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+E

20、F，即BF=CE. 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE，∴∠A=∠D. 題組訓練 1.證明：∵∠OBD=∠ODB， ∴OB=OD. 在△AOB和△COD中， ∴△AOB≌△COD(SAS)， ∴AB=CD. 2.證明：∵AE=CF，∴AF=CE. ∵AD∥BC，∴∠A=∠C. 在△AFD和△CEB中， ∴△AFD≌△CEB(AAS), ∴AD=BC. 3.證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°. 又∵AE⊥BF，垂足為G，∴∠CBF+∠AEB=90°, ∴∠BAE=∠CB

21、F. 在△ABE與△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(ASA)， ∴AE=BF. 整合集訓 1.C 2.C 3.C 4.C 5.A 6.140° 7.6 8.80 9.∠C=∠B或∠AEB=∠ADC或∠CEB=∠BDC或AE=AD或CE=BE 10.31° 11.25° 12.18 13.證明：在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴∠B=∠C. 14.證明：∵在△ODC和△OBA中， ∵ ∴△ODC≌△OBA(SAS)， ∴∠C=∠A(或者∠D=∠B)(全等三角形對應角相等)， ∴DC∥AB(內(nèi)錯角相等，兩直線平行

22、). 15.(1)∵∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠B=90°. 又∵∠B=30°，∴∠CAB=60°. ∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠CAB,∴∠CAD=30°. (2)證明：∵∠ACB=90°,∴DC⊥AE. 又∵CE=AC，∴DC垂直平分AE. ∴DA=DE. 16.證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. 又∵AE＝AF，∠A＝∠A，∴△ABF≌△ACE， ∴∠ABF＝∠ACE，∴∠PBC＝∠PCB， ∴PB＝PC. 相等的線段還有BF＝CE，PF＝PE，BE＝CF. 17.C 18. 19.(1)證明：∵CD繞點C順時針方向旋轉90°得CE,

23、 ∴CD=CE,∠DCE=90°. ∵∠ACB=90°, ∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE. 在△BCD和△FCE中， ∴△BCD≌△FCE. (2)由△BCD≌△FCE得∠BDC=∠E. ∵EF∥CD,∴∠E=180°-∠DCE=90°, ∴∠BDC=90°. 20.(1)兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等. (2)已知：在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求證：△ABC≌△DEF. 證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°-∠A-∠B(三角形的內(nèi)角和等于180°). 同理：∠F=180°-∠D-∠E. 又∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∴∠C=∠F(等式的性質(zhì)). 在△ABC與△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA). 21.(1)證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形， ∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN. 在△ABM和△BCN中， ∴△ABM≌△BCN(SAS). (2)∵△ABM≌△BCN， ∴∠MBP＝∠BAP. ∵∠MBP＋∠BMP＋∠BPM＝180°， ∠BAP＋∠BMA＋∠MBA＝180°， ∴∠BPM＝∠MBA. ∵∠BPM＝∠APN， ∴∠APN＝∠MBA＝＝108°. 12