2021中考數(shù)學(xué) 第6講 一次方程（組）

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1、 第6講 一次方程(組) 考點(diǎn)1 一元一次方程及解法 等式的性質(zhì) 性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)① ，所得結(jié)果仍是等式； 性質(zhì)2：等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不能為0)，所得結(jié)果仍是② . 方程的概念 含有未知數(shù)的③ 叫做方程. 方程的解 使方程左右兩邊的值④ 的未知數(shù)的值叫做方程的解. 一元一次方程的概念 只含有⑤ 個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是⑥ 的整式方程，叫做一元一次方程. 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步驟：去分

2、母、去⑦ 、移項(xiàng)、合并⑧ 、系數(shù)化為1. 考點(diǎn)2 二元一次方程組及解法 二元一次方程的概念 含有⑨ 未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的次數(shù)是⑩ 的整式方程叫做二元一次方程. 二元一次方程組的概念 一般地，含有? 的未知數(shù)的? 二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組. 二元一次方程組的解 二元一次方程組的兩個(gè)方程的? ，叫做二元一次方程組的解. 二元一次方程組的解法 解二元一次方程組的方法步驟： 二元一次方程組? 方程. 消元是解二元一次方程組的基本

3、思路，方法有? 消元法和? 消元法兩種. 考點(diǎn)3 一次方程(組)的應(yīng)用 列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟 1.審 審清題意和數(shù)量關(guān)系，弄清題中的已知量和未知量，明確各數(shù)量之間的關(guān)系. 2.設(shè) 設(shè)未知數(shù)(可設(shè)直接或 未知數(shù)). 3.列 根據(jù)題意尋找 列方程(組). 4.解 解方程(組). 5.答 檢驗(yàn)所求的未知數(shù)的值是否符合題意，寫出答案. 1.解二元一次方程組時(shí)，若方程組其中一個(gè)方程中的未知數(shù)系數(shù)為1或-1，則直接采用代入消元法求解；若相同未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，則直接采用加減消元法求解.

4、 2.列方程(組)的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系，尋找等量關(guān)系常用的方法有：①抓住不變量；②找關(guān)鍵詞；③畫線段圖或列表格；④運(yùn)用數(shù)學(xué)公式. 命題點(diǎn)1 一次方程(組)的解法 例1 (2014·濱州)解方程組： 【思路點(diǎn)撥】通過(guò)觀察方程組，y的系數(shù)符號(hào)相反且系數(shù)的絕對(duì)值是整數(shù)倍，①×3+②即可消去y，求出x，然后再代入任一方程可求y的值. 【解答】 方法歸納：在對(duì)二元一次方程組進(jìn)行消元時(shí)，要根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選擇代入法或加減法：(1)方程中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為1或-1時(shí)，一般采用代入消元法；(2)當(dāng)兩個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)，

5、或者存在倍數(shù)關(guān)系時(shí)，一般采用加減消元法. 1.(2014·濱州)方程2x-1=3的解是( ) A.-1 B. C.1 D.2 2.(2014·婁底)已知關(guān)于x的方程2x+a-5=0的解是x=2，則a的值為 . 3.解方程：-=-1.3. 4.(2014·湖州)解方程組 命題點(diǎn)2 一次方程(組)的應(yīng)用 例2 (2014·聊城)某服裝店用6 000元購(gòu)進(jìn)A，B兩種新式服裝，按標(biāo)價(jià)出售后可獲毛利潤(rùn)3 800元(毛利

6、潤(rùn)＝售價(jià)-進(jìn)價(jià))，這兩種服裝的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如下表所示： (1)求這兩種服裝各購(gòu)進(jìn)的件數(shù)； (2)如果A種服裝按標(biāo)價(jià)的8折出售，B種服裝按標(biāo)價(jià)的7折出售，那么這批服裝全部售完后，服裝店比按標(biāo)價(jià)售出少收入多少元？ 【思路點(diǎn)撥】(1)題中有兩個(gè)等量關(guān)系式：①購(gòu)進(jìn)A種新式服裝和B種新式服裝共用去6 000元；②按標(biāo)價(jià)出售A種新式服裝和B種新式服裝后共可獲毛利潤(rùn)3 800元.依據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系直接設(shè)未知數(shù)構(gòu)建方程組求解即可； (2)根據(jù)第(1)題計(jì)算出購(gòu)進(jìn)A型服裝、B型服裝的數(shù)量，再按“A種服裝按標(biāo)價(jià)的8折出售，B種服裝按標(biāo)價(jià)的7折出售”進(jìn)行計(jì)算即可. 【解答】

7、 方法歸納：用方程(組)解決問(wèn)題的關(guān)鍵是審清題意，找出題目的相等關(guān)系，一些相等關(guān)系可以設(shè)元轉(zhuǎn)換未知量，另一些相等關(guān)系可以列方程用，但一般情況是一個(gè)相等關(guān)系只用一次. 1.(2014·無(wú)錫)某文具店一支鉛筆的售價(jià)為1.2元，一支圓珠筆的售價(jià)為2元.該店在“6·1兒童節(jié)”舉行文具優(yōu)惠售賣活動(dòng)，鉛筆按原價(jià)打8折出售，圓珠筆按原價(jià)打9折出售，結(jié)果兩種筆共賣出60支，賣得金額87元.若設(shè)鉛筆賣出x支，則依題意可列得的一元一次方程為( ) A.1.2×0.8x+2×0.9(60+x)＝87 B.1.2×0.8x+2×0.9(60-x)＝87 C.2×0.9x+

8、1.2×0.8(60+x)＝87 D.2×0.9x+1.2×0.8(60-x)＝87 2.(2013·棗莊)某種商品每件的標(biāo)價(jià)是330元，按標(biāo)價(jià)的八折銷售時(shí)，仍可獲利10%，則這種商品每件的進(jìn)價(jià)為( ) A.240元 B.250元 C.280元 D.300元 3.(2014·溫州)20位同學(xué)在植樹節(jié)這天共種了52棵樹苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵.設(shè)男生有x人，女生有y人.根據(jù)題意，列方程組正確的是( ) A. B. C.

9、 D. 4.(2014·江西)小錦和小麗購(gòu)買了價(jià)格分別相同的中性筆和筆芯.小錦買了20支筆和2盒筆芯，用了56元；小麗買了2支筆和3盒筆芯，僅用了28元.求每支中性筆和每盒筆芯的價(jià)格. 1.(2014·咸寧)若代數(shù)式x+4的值是2，則x等于( ) A.2 B.-2 C.6 D.-6 2.(2015·原創(chuàng))關(guān)于x的方程3x+m-7=0的解是x=1，則m的值為( ) A.2

10、 B.3 C.4 D.5 3.(2014·婁底)方程組的解為( ) A. B. C. D. 4.(2014·孝感)已知是二元一次方程組的解，則m-n的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2013·南昌)某單位組織34人分別到井岡山和瑞金進(jìn)行革命傳統(tǒng)教育，到井岡山的人數(shù)是瑞

11、金的人數(shù)的2倍多1人，求到兩地的人數(shù)各是多少？設(shè)到井岡山的人數(shù)為x人，到瑞金的人數(shù)為y人.下面所列的方程組正確的是( ) A. B. C. D. 6.(2013·隨州)我市圍繞“科學(xué)節(jié)糧減損，保障糧食安全”，積極推廣農(nóng)戶使用“彩鋼小糧倉(cāng)”.每套小糧倉(cāng)的定價(jià)是350元，為了鼓勵(lì)農(nóng)戶使用，中央、省、市財(cái)政給予補(bǔ)貼，補(bǔ)貼部分是農(nóng)戶實(shí)際出資的三倍還多30元，則購(gòu)買一套小糧倉(cāng)農(nóng)戶實(shí)際出資是( ) A.80元 B.95元 C.135元

12、 D.270元 7.(2014·湖州)方程2x-1=0的解是x= . 8.(2014·重慶A卷)方程組的解是 . 9.請(qǐng)寫出一個(gè)二元一次方程組答案不唯一，如： 使它的解是 10.(2013·湘潭)湖園中學(xué)學(xué)生志愿服務(wù)小組在“三月學(xué)雷鋒”活動(dòng)中，購(gòu)買了一批牛奶到敬老院慰問(wèn)老人.如果送給每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送給每位老人3盒牛奶，則正好送完.設(shè)敬老院有x位老人，依題意可列方程為 . 11.已知關(guān)于x、y的二元一次方程組且x+y=2，則k的值為 . 12.(2

13、014·甘孜)設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算 =ad-bc.則滿足等式 =1的x的值為 . 13.(2014·濱州)解方程：2-=. 14.(2014·威海)解方程組： 15.(2014·岳陽(yáng))某項(xiàng)球類比賽，每場(chǎng)比賽必須分出勝負(fù)，其中勝1場(chǎng)得2分，負(fù)1場(chǎng)得1分.某隊(duì)在全部16場(chǎng)比賽中得到25分，求這個(gè)隊(duì)勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？ 16.(2014·連云港)小林在某商店買商品A、B共三次，只有一次購(gòu)買時(shí)，商品A、B同時(shí)打折，其余兩次均按標(biāo)價(jià)購(gòu)買，三次購(gòu)買商品A、B的數(shù)量及費(fèi)用如下表： 購(gòu)買商品A的數(shù)量(個(gè))

14、 購(gòu)買商品B的數(shù)量(個(gè)) 購(gòu)買總費(fèi)用(元) 第一次購(gòu)買 6 5 1 140 第二次購(gòu)買 3 7 1 110 第三次購(gòu)買 9 8 1 062 (1)小林按打折扣價(jià)購(gòu)買商品A、B是第 次購(gòu)買； (2)求A、B的標(biāo)價(jià)； (3)若A、B的折扣相同，問(wèn)商店是打幾折出售的？ 17.(2013·涼山)根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問(wèn)題： (1)放入一個(gè)小球水面升高 cm，放入一個(gè)大球水面升高 cm； (2)如果要使水面上升到50 cm，應(yīng)放入大球、小球各多少個(gè)？ 18.(2013·嘉興)某

15、鎮(zhèn)水庫(kù)的可用水量為12 000萬(wàn)立方米，假設(shè)年降水量不變，能維持該鎮(zhèn)16萬(wàn)人20年的用水量.實(shí)施城市化建設(shè)，新遷入4萬(wàn)人后，水庫(kù)只夠維持居民15年的用水量. (1)問(wèn)：年降水量為多少萬(wàn)立方米？每人年平均用水量多少立方米？ (2)政府號(hào)召節(jié)約用水，希望將水庫(kù)的保用年限提高到25年，則該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約多少立方米才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)？ 19.(2014·濱州)某公園“6·1”期間舉行特優(yōu)讀書游園活動(dòng)，成人票和兒童票均有較大的折扣，張凱、李利都隨他們的家人參加了本次活動(dòng)，王斌也想去，就打聽(tīng)張凱、李利買門票花了多少錢.張凱說(shuō)他家去了3個(gè)大人和4個(gè)小孩，共花了38元錢；

16、李利說(shuō)他家去了4個(gè)大人和2個(gè)小孩，共花了44元錢.王斌家計(jì)劃去3個(gè)大人和2個(gè)小孩，請(qǐng)你幫他算一下，需準(zhǔn)備 元錢買門票. 20.(2013·揚(yáng)州)已知關(guān)于x、y的方程組的解滿足x>0，y>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 21.(原創(chuàng))有一種用來(lái)畫圓的工具板(如圖所示)，工具板長(zhǎng)21 cm，上面依次排列著大小不等的五個(gè)圓(孔)，其中最大圓的直徑為3 cm，其余圓的直徑從左到右依次遞減x cm，最大圓的左側(cè)距工具板左側(cè)邊緣1.5 cm，最小圓的右側(cè)距工具板右側(cè)邊緣1.5 cm；且相鄰兩圓的間距d均相等. (1)用含x的代數(shù)式表示出其余四個(gè)圓的直徑長(zhǎng)； (2

17、)若最大圓是最小圓的直徑的1511，求相鄰兩圓的間距. 22.(2014·日照)如圖，長(zhǎng)青化工廠與A、B兩地有公路、鐵路相連.這家工廠從A地購(gòu)買一批每噸1 000元的原料運(yùn)回工廠，制成每噸8 000元的產(chǎn)品運(yùn)到B地.已知公路運(yùn)價(jià)為1.5元/(噸·千米)，鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/(噸·千米)，且這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)輸費(fèi)15 000元，鐵路運(yùn)輸費(fèi)97 200元.求： (1)該工廠從A地購(gòu)買了多少噸原料？制成運(yùn)往B地的產(chǎn)品多少噸？ (2)這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？ 23.為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價(jià)計(jì)費(fèi).下表

18、是該市居民“一戶一表”生活用水階梯式計(jì)費(fèi)價(jià)格表的一部分信息： [說(shuō)明：①每戶產(chǎn)生的污水量等于該戶的用水量；②水費(fèi)=自來(lái)水費(fèi)+污水處理費(fèi)] 已知小王家2012年4月份用水20噸，交水費(fèi)66元；5月份用水25噸，交水費(fèi)91元. (1)求a、b的值; (2)隨著夏天的到來(lái)用水量將增加，為了節(jié)約開(kāi)支，小王計(jì)劃把6月份水費(fèi)控制在家庭月收入的2%，若小王家月收入為9 200元，則小王家6月份最多能用水多少噸？ 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①整式 ②等式 ③等式 ④相等 ⑤一 ⑥1 ⑦括號(hào) ⑧同類項(xiàng) ⑨兩 ⑩1 ?相同 ?兩 ?公共解 ?一元一次 ?

19、代入 ?加減 間接 等量關(guān)系 各個(gè)擊破 例1 ①×3+②，得10x=20，則x=2. 把x=2代入①，得6-y=7，則y=-1. ∴原方程組的解為 題組訓(xùn)練 1.D 2.1 3.去分母，得5(x+4)-2(x-3)=-13， 去括號(hào)，得5x+20-2x+6=-13， 移項(xiàng)，得5x-2x=-13-20-6， 合并，得3x=-39， 系數(shù)化為1，得x=-13. 4.①+②得5x=10,∴x=2. 把x=2代入②，得4-y=3,∴y=1. ∴原方程組的解是 例2 (1)設(shè)購(gòu)進(jìn)A型服裝x件，B型服裝y件.由題意，得 解得 答：購(gòu)進(jìn)A型服裝50件，B型服

20、裝30件. (2)A種服裝按標(biāo)價(jià)的8折出售，B種服裝按標(biāo)價(jià)的7折出售時(shí)，服裝店的毛利潤(rùn)為： (100×0.8-60)×50+(160×0.7-100)×30=20×50+12×30=1 360(元). 3 800-1 360＝2 440(元). 答：服裝店打折售出比按標(biāo)價(jià)售出少收入2 440元. 題組訓(xùn)練 1.B 2.A 3.D 4.設(shè)每支中性筆x元，每盒筆芯y元，根據(jù)題意，得 解得 答：每支中性筆2元，每盒筆芯8元. 整合集訓(xùn) 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7. 8. 9.答案不唯一，如： 10.2x+16=3x 11.4

21、 12.-10 13.去分母，得12-2(2x+1)=3(1+x)， 去括號(hào)，得12-4x-2=3+3x， 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得-7x=-7， 把系數(shù)化為1，得x=1. 14.②×6，得3x-2y＝6.③ ③-①，得3y＝3.∴y＝1. 把y＝1代入①，得3x-5＝3.∴x＝. ∴原方程組的解為 15.設(shè)這個(gè)隊(duì)勝x場(chǎng)，則負(fù)(16-x)場(chǎng).根據(jù)題意得 2x+(16-x)=25，解得x=9. ∴16-x=7. 答：這個(gè)隊(duì)勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是9場(chǎng)、7場(chǎng). 16.(1)三. (2)設(shè)A、B的標(biāo)價(jià)分別為x元，y元，則由題意，得 解得 答：A、B的標(biāo)價(jià)分別為90元，120元.

22、 (3)設(shè)商店是打x折出售的，則 (90×9+8×120)=1 062.解得x=6. 答：商店是打六折出售的. 17.(1)放入三個(gè)體積相同的小球水面升高32-26=6(cm)，則放入一個(gè)小球水面升高2 cm； 放入兩個(gè)體積相同的大球水面升高32-26=6(cm)，則放入一個(gè)大球水面升高3 cm. 故答案分別填：2，3. (2)設(shè)應(yīng)放入x個(gè)大球，y個(gè)小球，由題意，得 解得 答：應(yīng)放入4個(gè)大球，6個(gè)小球. 18.(1)設(shè)年降水量為x萬(wàn)立方米，每人年平均用水量為y立方米，則 解得 答：年降水量為200萬(wàn)立方米，每人年平均用水量為50立方米. (2)設(shè)該鎮(zhèn)居民年平均用水量為

23、z立方米才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，則 12 000+25×200＝20×25z.解得z＝34. ∴50-34＝16. 答：該鎮(zhèn)居民人均每年需要節(jié)約16立方米的水才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo). 19.34 20.解關(guān)于x、y的方程組，得 ∵x＞0，y＞0， ∴ ∴a的取值范圍是＜a＜2. 21.(1)其余四個(gè)圓的直徑長(zhǎng)分別為(3-x)cm，(3-2x)cm，(3-3x)cm，(3-4x)cm； (2)根據(jù)題意，得 解得 答：相鄰兩圓的間距為1.25 cm. 22.(1)設(shè)工廠從A地購(gòu)買了x噸原料，制成運(yùn)往B地的產(chǎn)品y噸，依題意，得 整理，得解得 答：工廠從A地購(gòu)買了400噸原料，制成運(yùn)往B地的產(chǎn)品300噸. (2)300×8 000-400×1 000-15 000-97 200=1 887 800(元). 答：這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多1 887 800元. 23.(1)由題意，得 解得 (2)當(dāng)用水量為30噸時(shí)，水費(fèi)為： 17×3+13×5=116(元)，9 200×2%=184(元). ∵116<184， ∴小王家6月份最多能用水超過(guò)30噸. 設(shè)小王家6月份用水量為x噸，由題意，得 17×3+13×5+6.8(x-30)≤184，解得x≤40. ∴小王家6月份最多用水40噸. 9