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1、
開放性問題
開放性試題是相對于條件和結(jié)論明確的封閉題而言的，是能引起同學(xué)們產(chǎn)生聯(lián)想，并會自然而然地往深處想的一種數(shù)學(xué)問題.簡單來說就是答案不唯一，解題的方向不確定，條件(或結(jié)論)不止一種情況的試題.解答這類題目時(shí)，需要對問題全方位、多層次、多角度思考審視，盡量找到解決問題的方法.根據(jù)開放題的特點(diǎn)主要有如下三種題型：(1)條件開放型；(2)結(jié)論開放型；(3)綜合開放型.
題型之一 條件開放型
例1 (2014·巴中)如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是邊BC的中點(diǎn)，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點(diǎn)E,F，連接BE,CF.
(1)請你添加一個(gè)條件，使得△BEH
2、≌△CFH，你添加的條件是 ，并證明.
(2)在問題(1)中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形BFCE是矩形，請說明理由.
【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)已知條件和圖形可知，兩個(gè)三角形有一組邊和一組角相等，因此根據(jù)全等三角形的判定方法添加一個(gè)條件，然后加以證明即可；
(2)由(1)中三角形的全等，易得四邊形BFCE是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的判定方法，得出EH與BH應(yīng)滿足的條件.
【解答】(1)添加條件：答案不唯一，如：BE∥CF或EH=FH或∠EBH=∠FCH或∠BEH=∠CFH等.
選擇EH=FH，證明如下：
證明：∵點(diǎn)H是邊BC的中點(diǎn)，∴BH=CH.
在△BEH和
3、△CFH中，
∴△BEH≌△CFH(SAS).
(2)如圖，當(dāng)BH=EH時(shí)，四邊形BFCE是矩形.
理由如下：
∵BH=CH，EH=FH,
∴四邊形BFCE是平行四邊形.
又∵BH=EH,∴EF=BC.
∴四邊形BFCE是矩形.
方法歸納：解這種類型的開放性問題的一般思路是：（1）由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，結(jié)合圖形挖掘條件，逆向追索，逐步探尋.(2)添加的條件，使證明過程越簡單越好，且不可自己難為自己.
1.（2014·湘潭）如圖，直線a、b被直線c所截，若滿足 ，則a、b平行.
2.(2
4、014·內(nèi)江)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AD∥BC，請?zhí)砑右粋€(gè)條件： ，使四邊形ABCD為平行四邊形(不添加任何輔助線).
3.(2013·六盤水)如圖，添加一個(gè)條件： ，使△ADE∽△ACB.(寫出一個(gè)即可)
4.(2014·婁底)先化簡，再從不等式2x-3<7的正整數(shù)解中選一個(gè)使原式有意義的數(shù)代入求值.
5.(2013·邵陽)如圖所示，將△ABC繞AC的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得四邊形ABCD為矩形，并說明理由.
5、
題型之二 結(jié)論開放型
例2 (2013·西安模擬)按圖所示的流程，輸入一個(gè)數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關(guān)系式輸出一個(gè)數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20~100(含20和100)之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個(gè)要求：
(Ⅰ)新數(shù)據(jù)都在60~100(含60和100)之間；
(Ⅱ)新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大.
(1)若y與x的關(guān)系是y=x+p(100-x)，請說明：當(dāng)p=時(shí)，這種變換滿足上述兩個(gè)要求；
(2)若按關(guān)系式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a>0)將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，請寫
6、出一個(gè)滿足上述要求的這種關(guān)系式.(不要求對關(guān)系式符合題意作說明，但要寫出關(guān)系式得出的主要過程)
【思路點(diǎn)撥】(1)要驗(yàn)證y=x+(100-x)是否滿足題中的兩個(gè)要求，就是①看y是否隨x增大而增大；②看當(dāng)20≤x≤100時(shí)，y的值是否滿足60≤y≤100；
(2)由于規(guī)定了a>0，要使拋物線y=a(x-h)2+k滿足題中條件,必經(jīng)過(20,60),(100,100)兩點(diǎn),且這兩點(diǎn)在對稱軸的右邊,因此其中滿足條件的拋物線可以是以(20,60)為頂點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)(100,100).故該解析式不難求出.
【解答】(1)當(dāng)p=時(shí)，y=x+(100-x).即y=x+50.
∴y隨著x的增大而增大，
7、
即p=時(shí)，滿足條件(Ⅱ)；
又當(dāng)20≤x≤100時(shí)，×20+50≤y≤×100+50.即60≤y≤100.即滿足條件(Ⅰ).
綜上可知，當(dāng)p=時(shí)，這種變換滿足要求.
(2)由題意可知,只要滿足：①h≤20；②若x=20，100時(shí)，y的對應(yīng)值m，n能落在60~100之間，則這樣的關(guān)系式都符合要求.如取h=20，y=a(x-20)2+k.
∵a＞0，∴當(dāng)20≤x≤100時(shí)，y隨著x的增大而增大，
令x=20,y=60，得k=60.
令x=100,y=100，得a×802+k=100.則a=.
∴y=(x-20)2+60.
方法歸納：所謂結(jié)論性開放題就是給出問題的條件,讓解題者根據(jù)
8、條件尋找相應(yīng)的結(jié)論,且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣化,這類問題就是結(jié)論開放型問題.其解題思路是:從已知條件出發(fā),沿著不同方向、不同層次進(jìn)行觀察、分析、驗(yàn)證得到相應(yīng)的結(jié)論.
1.(2014·濱州)寫出一個(gè)運(yùn)算結(jié)果是a6的算式 .
2.(2013·赤峰)請你寫出一個(gè)大于0而小于1的無理數(shù) .
3.(2014·邵陽)如圖，已知點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.
(1)從圖中任找兩組全等三角形；
(2)從(1)中任選一組進(jìn)行證明.
9、
4.(2013·內(nèi)蒙古)存在兩個(gè)變量x與y，y是x的函數(shù)，該函數(shù)同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①圖象經(jīng)過(1，1)點(diǎn)；②當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，請各寫出一個(gè)滿足條件的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式.
5.(2014·臺州)為了估計(jì)魚塘中成品魚(個(gè)體質(zhì)量在0.5 kg及以上，下同)的總質(zhì)量，先從魚塘中捕撈50條成品魚.稱得它們的質(zhì)量如下表：
質(zhì)量/kg
0.5
0.6
0.7
1.0
1.2
1.6
1.9
數(shù)量/條
1
8
15
18
5
1
2
然后做上記號再放回水庫中，過幾天又捕撈了100條成品魚，發(fā)現(xiàn)其中2條帶
10、有記號.
(1)請根據(jù)表中數(shù)據(jù)補(bǔ)全下面的直方圖(各組中數(shù)據(jù)包括左端點(diǎn)不包括右端點(diǎn)).
(2)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)分組.估計(jì)從魚塘中隨機(jī)捕一條成品魚，其質(zhì)量落在哪一組的可能性最大?
(3)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)分組，估計(jì)魚塘里質(zhì)量中等的成品魚，其質(zhì)量落在哪一組內(nèi)？
(4)請你用適當(dāng)?shù)姆椒ü烙?jì)魚塘中成品魚的總質(zhì)量(精確到1 kg).
題型之三 綜合開放型
例3 (2013·紹興有改動(dòng))看圖說故事.
請你編寫一個(gè)故事，使故事情境中出現(xiàn)的一對變量x，y滿足圖示的函數(shù)關(guān)系，要求：
(1)指出變量x和y的含義；
(2)利用圖中的數(shù)據(jù)和變化規(guī)律提出兩個(gè)問題，并
11、解答這兩個(gè)問題.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)情景說明函數(shù)關(guān)系，注意只有兩個(gè)變量，涉及其他的量必須是常量.提出問題時(shí)要緊扣圖象和(1)中實(shí)際意義來提出.
【解答】(1)本題答案不唯一，如下列解法：
某市出租車計(jì)費(fèi)方法是當(dāng)載客行駛里程為x(千米)，則車費(fèi)為y(元).該函數(shù)圖象就是表示y隨x的變化過程.
(2)①出租車的起步價(jià)是多少元？當(dāng)x＞3時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②若某乘客有一次乘出租車的車費(fèi)為32元，求這位乘客乘車的里程.
解：①由圖象得：出租車的起步價(jià)是8元.
設(shè)當(dāng)x＞3時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
由函數(shù)圖象，得
解得
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2x+2.
12、
②當(dāng)y=32時(shí)，32=2x+2.解得x=15.
答：這位乘客乘車的里程是15千米.
方法歸納：這是一道自編自解的綜合開放型的問題，解題時(shí)要認(rèn)真分析已給出的條件，經(jīng)過適當(dāng)?shù)膰L試，符合要求的答案定會產(chǎn)生.
1.看圖說故事.
請你編寫一個(gè)故事，使故事情境中出現(xiàn)的一對變量x、y滿足圖示的函數(shù)關(guān)系，要求：（1）指出變量x和y的含義；（2）利用圖中的數(shù)據(jù)說明這對變量變化過程的實(shí)際意義，其中必須涉及“速度”這個(gè)量.
2.A，B兩地間的距離為15千米，甲從A地出發(fā)步行前往B地，20分鐘后，乙從B地出發(fā)騎車前往A地，且乙騎車比甲步行每小時(shí)多走10千米.乙到
13、達(dá)A地后停留40分鐘，然后騎車按原路原速返回，結(jié)果甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)B地.請你就“甲從A地到B地步行所用時(shí)間”或“甲步行的速度”提出一個(gè)用分式方程解決的問題，并寫出解題過程.
3.如圖是一個(gè)反比例函數(shù)圖象的一部分，點(diǎn)A(1，10)，B(10，1)是它的兩個(gè)端點(diǎn).
(1)求此函數(shù)的解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)請你舉出一個(gè)能用本題的函數(shù)關(guān)系描述的生活實(shí)例.
參考答案
題型之一 條件開放型
1.答案不唯一，如∠1=∠2 2.（答案不唯一）AD＝BC(或AB∥DC)
3.∠ADE=∠C(答案不唯一)
4.
14、原式===.
解不等式2x-3<7得x<5.
取x=1時(shí)，原式==.
提示：本題最后答案不唯一，x不能取±3,4.
5.本題答案不唯一，如：∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90°,或OB=OA=OC或AB2+BC2=AC2等.
以∠B=90°為例說明.理由：
∵AB=CD,AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
又∵∠B=90°，∴□ABCD為矩形.
題型之二 結(jié)論開放型
1.答案不唯一，如：2a6-a6，a2×a4，(a2)3，a8÷a2(a≠0)
2.答案不唯一，如：，，
3.(1)△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA.
(2)∵AF＝CE，∴AE
15、＝CF.
∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.
又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF.
4.根據(jù)題意，函數(shù)可以是一次函數(shù)，反比例函數(shù)或二次函數(shù).例如：
① 此函數(shù)的解析式為y=(k＞0)，
∵此函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，∴k=1.
∴此函數(shù)可以為：y=；
②設(shè)此函數(shù)的解析式為y=kx+b(k＜0)，
∵此函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，∴k+b=1，k＜0.
∴此函數(shù)可以為：y=-x+2,y=-2x+3,…；
③設(shè)此函數(shù)的解析式為
y=a(x-m)2+n(a<0,m≤0)，
∵此函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，
∴a(1-m)2+n=1(a<0,m≤0).
∴此函數(shù)可以為：y=-x
16、2+2,y=-2x2+3,y=-(x+1)2+5,….
5.(1)如圖所示.
(2)其質(zhì)量落在0.5 kg~0.8 kg范圍內(nèi)的可能性最大；
(3)質(zhì)量落在0.8~1.1 kg范圍內(nèi)；
(4)方法一：用去尾平均數(shù)估計(jì)：
去尾平均數(shù)=≈0.87（kg）.
50×50×0.87＝2 175(kg).水庫中成品魚的總質(zhì)量約為2 175 kg.
方法二：平均數(shù)=（0.5×1+0.6×8+0.7×15+1.0×18+1.2×5+1.6×1+1.9×2）×＝0.904(kg).
50×50×0.904＝2 260(kg).水庫中成品魚的總質(zhì)量約為2 260 kg.
方法三：利用組中值
17、計(jì)算平均數(shù)：=＝0.884（kg）.
50×50×0.884＝2 210(kg).水庫中成品魚的總質(zhì)量約為2 210 kg.
方法四：用眾數(shù)(中位數(shù))估計(jì)水庫中成品魚的總質(zhì)量：
50×50×1.0＝2 500(kg).水庫中成品魚的總質(zhì)量約為2 500 kg.
題型之三 綜合開放型
1.答案不唯一，如：（1）該函數(shù)圖象表示小明開車離出發(fā)地的路程y(單位：km)與他所用的時(shí)間x(單位：min）的關(guān)系；
（2）小明以0.4 km/min的速度勻速開了5 min，在原地休息了6 min，然后以0.5 km/min的速度勻速開車回出發(fā)地.
2.答案不唯一，如：甲從A地到B地步行所用時(shí)間是多久？
設(shè)甲從A地到B地步行所用時(shí)間為x小時(shí)，由題意得=+10.
化簡得2x2-5x-3=0，解得x1=3，x2=-.
經(jīng)檢驗(yàn)知x=3符合題意，∴x=3.
∴甲從A地到B地步行所用時(shí)間為3小時(shí).
3.(1)設(shè)y=，
∵A(1，10)在圖象上，∴10=.即k=10.
∴y=(1≤x≤10).
(2)答案不唯一.例如：小明家離縣城10 km，某天小明騎自行車以x km/h的速度去縣城，那么小明從家去縣城所需的時(shí)間y=（h）.
8
2021中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 開放性問題
