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1、2022年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷 含解析(IV)
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）
1．已知集合A={0，1，3，5，7，}，B={2，4，6，8，0}，則A∩B等于（ ?。?
A．? B．{?} C．0 D．{0}
2．函數(shù)f（x）=x2（x∈R）是（ ?。?
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．非奇非偶函數(shù) D．奇函數(shù)同時也是偶函數(shù)
3．4+log4等于（ ?。?
A．0 B．1 C． D．4
4．函數(shù)f（x）=x3+x+3的零點所在的區(qū)間是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（
2、1，2）
5．已知a=log23，b=log2π，c=（）0.1，則（ ?。?
A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
6．已知函數(shù)f（x）是冪函數(shù)，若f（2）=4，則f（3）等于（ ）
A．9 B．8 C．6 D．
7．函數(shù)f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的值域是（ ?。?
A．[0，2] B．[1，4] C．[1，2] D．[0，4]
8．已知a＞0且a≠1，若loga2＜1，則實數(shù)a的取值范圍是（ ?。?
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．a(chǎn)＞2 D．0＜a＜1或a＞2
9．函數(shù)f（x）=ln（x2+1）的圖象大致是（ ?。?
A． B． C．
3、D．
10．已知集合A={x∈N|1≤x≤10}，B是A的子集，且B中各元素的和為8，則滿足條件的集合B共有（ ?。?
A．8個 B．7個 C．6個 D．5個
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填寫在題中橫線上）
11．函數(shù)f（x）=+lg（2﹣x）的定義域為 ?。?
12．已知全集U=R，集合A={x|x≥1}，集合B={x|x≤0}，則?∪（A∪B）= ?。?
13．已知函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，有下列說法：
①若f（a）?f（b）＞0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上沒有零點；
②若f（a）?f（b）＞0，則函
4、數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上可能有零點；
③若f（a）?f（b）＜0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上沒有零點；
④若f（a）?f（b）＜0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上至少有一個零點；
其中正確說法的序號是 （把所有正確說法的序號都填上）．
14．一批材料可以建成100m長的圍墻，現(xiàn)用這些材料在一邊靠墻的地方圍成一塊封閉的矩形場地，中間隔成3個面積相等的小矩形（如圖），則圍成的矩形場地的最大總面積為（圍墻厚度忽略不計） m2．
15．已知函數(shù)f（x）、g（x）分別是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=x2+ax+2a﹣1（a為常數(shù)），若f（
5、1）=2，則g（t）= ?。?
三、解答題（本大題共5小題，共60分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．已知函數(shù)f（x）=（x∈R），e是自然對數(shù)的底．
（1）計算f（ln2）的值；
（2）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
17．已知函數(shù)f（x）=．
（1）在下面的坐標系中，作出函數(shù)f（x）的圖象并寫出單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（a）=2，求實數(shù)a的值．
18．已知集合A={1，2，3}，集合B={x|a+1＜x＜6a﹣1}，其中a∈R．
（1）寫出集合A的所有真子集；
（2）若A∩B={3}，求a的取值范圍．
19．某學(xué)生在假期進行某種小商品的推銷，他利用
6、所學(xué)知識進行了市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品當天的市場價格與他的進貨量（件）加上20成反比．已知這種商品每件進價為2元．他進100件這種商品時，當天賣完，利潤為100元．若每天的商品都能賣完，求這個學(xué)生一天的最大利潤是多少？獲得最大利潤時每天的進貨量是多少件？
20．已知函數(shù)f（x）=x++b，其中a，b是常數(shù)且a＞0．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在區(qū)間（0，]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，且在區(qū)間[1，2]上f（x）的最大值為5，最小值為3，求a的值．
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共4
7、0分．每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）
1．已知集合A={0，1，3，5，7，}，B={2，4，6，8，0}，則A∩B等于（ ）
A．? B．{?} C．0 D．{0}
【考點】交集及其運算．
【分析】直接利用交集的運算法則求解即可．
【解答】解：集合A={0，1，3，5，7，}，B={2，4，6，8，0}，則A∩B={0}．
故選：D．
2．函數(shù)f（x）=x2（x∈R）是（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．非奇非偶函數(shù) D．奇函數(shù)同時也是偶函數(shù)
【考點】函數(shù)奇偶性的判斷．
【分析】判斷f（﹣x）與f（x）的關(guān)系，利用定義判斷．
【解答】解：因
8、為x∈R，并且f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x）；
所以函數(shù)f（x）=x2（x∈R）是偶函數(shù)；
故選B．
3．4+log4等于（ ?。?
A．0 B．1 C． D．4
【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．
【分析】利用對數(shù)與指數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)換底公式即可得出．
【解答】解：原式=2+=2﹣=．
故選：C．
4．函數(shù)f（x）=x3+x+3的零點所在的區(qū)間是（ ?。?
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【考點】二分法的定義．
【分析】利用函數(shù)零點存在定理，對區(qū)間端點函數(shù)值進行符號判斷，異號的就是函數(shù)零點存在的區(qū)間．
【解答】解：因為f
9、（x）=x3+x+3，所以f′（x）=3x2+1＞0，所以f（x）=x3+x+3單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）至多有一個零點，
因為f（﹣1）=﹣1﹣1+3=1＞0，
f（﹣2）=﹣8﹣2+3=﹣7＜0，
所以f（﹣1）f（﹣2）＜0，
所以函數(shù)f（x）=x3+x+3的零點所在區(qū)間是（﹣2，﹣1）；
故選：A．
5．已知a=log23，b=log2π，c=（）0.1，則（ ?。?
A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【考點】對數(shù)值大小的比較．
【分析】利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【解答】解：∵1＜a=log23＜b=log2π，c
10、=（）0.1＜1，
∴c＜a＜b．
故選：B．
6．已知函數(shù)f（x）是冪函數(shù)，若f（2）=4，則f（3）等于（ ?。?
A．9 B．8 C．6 D．
【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．
【分析】求出冪函數(shù)的解析式，再計算f（3）的值．
【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=xα，
滿足f（2）=4，
∴2α=4，
解得α=2；
∴f（x）=x2，
∴f（3）=32=9，
故選：A．
7．函數(shù)f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的值域是（ ?。?
A．[0，2] B．[1，4] C．[1，2] D．[0，4]
【考點】函數(shù)的值域．
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的
11、性質(zhì)直接求解即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）是一個復(fù)合函數(shù)，
令t=x+1，
∵﹣1≤x≤1
∴0≤t≤2．
那么函數(shù)f（x）=2t是一個增函數(shù)．
當t=0時，函數(shù)f（x）取得最小值為1，
當t=2時，函數(shù)f（x）取得最大值為4，
所以函數(shù)f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的值域為[1，4]．
故選B．
8．已知a＞0且a≠1，若loga2＜1，則實數(shù)a的取值范圍是（ ?。?
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．a(chǎn)＞2 D．0＜a＜1或a＞2
【考點】指、對數(shù)不等式的解法．
【分析】把不等式兩邊化為同底數(shù)，然后對a分類討論得答案．
【解
12、答】解：由loga2＜1，得loga2＜logaa，
∴或，即0＜a＜1或a＞2．
故選：D．
9．函數(shù)f（x）=ln（x2+1）的圖象大致是（ ?。?
A． B． C． D．
【考點】函數(shù)的圖象．
【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函數(shù)的圖象應(yīng)在x軸的上方，
在令x取特殊值，選出答案．
【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，
∴函數(shù)的圖象應(yīng)在x軸的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴圖象過原點，
綜上只有A符合．
故選：A
13、10．已知集合A={x∈N|1≤x≤10}，B是A的子集，且B中各元素的和為8，則滿足條件的集合B共有（ ）
A．8個 B．7個 C．6個 D．5個
【考點】子集與真子集．
【分析】列舉出題集合A的所有元素，根據(jù)B中各元素的和為8，確定集合B的組成．即可得到滿足條件集合B的個數(shù)．
【解答】解：由題意：集合A={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}
∵B?A，且B中各元素的和為8，
滿足條件有元素集合有：{8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，{1，2，5}，{1，3，4}共6個．
故選：C．
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共
14、20分．把答案填寫在題中橫線上）
11．函數(shù)f（x）=+lg（2﹣x）的定義域為 [1，2）?。?
【考點】函數(shù)的定義域及其求法；對數(shù)函數(shù)的定義域．
【分析】根據(jù)使函數(shù)的解析式有意義的原則，我們可以根據(jù)偶次被開方數(shù)不小于0，對數(shù)的真數(shù)大于0，構(gòu)造關(guān)于x的不等式組，解不等式組即可得到函數(shù)的定義域．
【解答】解：要使函數(shù)的解析式有意義，
自變量x須滿足：
解得：1≤x＜2．
故函數(shù)的定義域為[1，2）
故答案為[1，2）
12．已知全集U=R，集合A={x|x≥1}，集合B={x|x≤0}，則?∪（A∪B）= {x|0＜x＜1} ．
【考點】交、并、補集的混合運算．
【分
15、析】根據(jù)并集與補集的定義進行計算即可．
【解答】解：全集U=R，集合A={x|x≥1}，集合B={x|x≤0}，
∴A∪B={x|x≤0或x≥1}，
∴?∪（A∪B）={x|0＜x＜1}．
故答案為：{x|0＜x＜1}．
13．已知函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，有下列說法：
①若f（a）?f（b）＞0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上沒有零點；
②若f（a）?f（b）＞0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上可能有零點；
③若f（a）?f（b）＜0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上沒有零點；
④若f（a）?f（b）＜0，則函數(shù)y=
16、f（x）在區(qū)間（a，b）上至少有一個零點；
其中正確說法的序號是?、冖堋。ò阉姓_說法的序號都填上）．
【考點】函數(shù)零點的判定定理．
【分析】利用函數(shù)的零點判定定理以及反例判斷即可．
【解答】解：對于①②，如圖：若f（a）?f（b）＞0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上沒有零點①不正確；
若f（a）?f（b）＞0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上可能有零點；所以②正確；
對于③，若f（a）?f（b）＜0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上沒有零點；不滿足零點判定定理，所以錯誤；
對于④若f（a）?f（b）＜0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上至少有一個零點；滿足零
17、點判定定理，正確；
故答案為：②④．
14．一批材料可以建成100m長的圍墻，現(xiàn)用這些材料在一邊靠墻的地方圍成一塊封閉的矩形場地，中間隔成3個面積相等的小矩形（如圖），則圍成的矩形場地的最大總面積為（圍墻厚度忽略不計） 625 m2．
【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．
【分析】設(shè)出寬，進而可表示出長，利用矩形面積公式求得面積的表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得矩形面積的最大值．
【解答】解：設(shè)每個小矩形的高為am，則長為b=m，記面積為Sm2
則S=3ab=a?=﹣4a2+100a=﹣4（a﹣）2+625（0＜a＜25）
∴當a=12.5時，Smax=625（m
18、2）
∴所圍矩形面積的最大值為625m2
故答案為625．
15．已知函數(shù)f（x）、g（x）分別是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=x2+ax+2a﹣1（a為常數(shù)），若f（1）=2，則g（t）= t2+4t﹣1?。?
【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)f（x）、g（x）的奇偶性，得出f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x）=x2﹣ax+2a﹣1②，又f（x）+g（x）=x2+ax+2a﹣1①；由①、②求得f（x）、g（x），結(jié)合f（1）=2，可得結(jié)論．
【解答】解：∵f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（
19、x），
又f（x）+g（x）=x2+ax+2a﹣1①，
∴f（﹣x）+g（﹣x）=（﹣x）2+a（﹣x）+2a﹣1，
即﹣f（x）+g（x）=x2﹣ax+2a﹣1②；
由①、②解得f（x）=ax，g（x）=x2+2ax﹣1．
∵f（1）=2，∴a=2，
∴g（t）=t2+4t﹣1．
故答案為t2+4t﹣1．
三、解答題（本大題共5小題，共60分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．已知函數(shù)f（x）=（x∈R），e是自然對數(shù)的底．
（1）計算f（ln2）的值；
（2）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值．
【分析】（1）直接
20、代入計算f（ln2）的值；
（2）利用奇函數(shù)的定義證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
【解答】（1）解：f（ln2）==；
（2）證明：函數(shù)的定義域為R．
f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
17．已知函數(shù)f（x）=．
（1）在下面的坐標系中，作出函數(shù)f（x）的圖象并寫出單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（a）=2，求實數(shù)a的值．
【考點】函數(shù)的圖象．
【分析】（1）分段做出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對a的范圍進行討論列出方程解出a．
【解答】解：（1）做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：
由圖象得f（x）的增區(qū)間為（
21、，1]，（1，+∞），減區(qū)間為（﹣∞，]．
（2）∵f（a）=2，
∴或．
解得a=﹣1或a=5．
18．已知集合A={1，2，3}，集合B={x|a+1＜x＜6a﹣1}，其中a∈R．
（1）寫出集合A的所有真子集；
（2）若A∩B={3}，求a的取值范圍．
【考點】交集及其運算．
【分析】（1）找出集合A的所有真子集即可；
（2）根據(jù)A與B的交集，確定出a的范圍即可．
【解答】解：（1）∵A={1，2，3}，
∴A的真子集為{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}；
（2）∵A={1，2，3}，集合B={x|a+1＜x＜6a﹣1}，且A∩B={
22、3}，
∴，
解得：1≤a＜2．
19．某學(xué)生在假期進行某種小商品的推銷，他利用所學(xué)知識進行了市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品當天的市場價格與他的進貨量（件）加上20成反比．已知這種商品每件進價為2元．他進100件這種商品時，當天賣完，利潤為100元．若每天的商品都能賣完，求這個學(xué)生一天的最大利潤是多少？獲得最大利潤時每天的進貨量是多少件？
【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．
【分析】根據(jù)這種商品當天的市場價格與他的進貨量（件）加上20成反比，這種商品每件進價為2元．他進100件這種商品時，當天賣完，利潤為100元，求出比例系數(shù)，可得利潤函數(shù)，再換元，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．
【解答
23、】解：由題意，設(shè)市場價格y元，他的進貨量為x件，則y=，
∵這種商品每件進價為2元．他進100件這種商品時，當天賣完，利潤為100元，
∴100=（﹣2）×100，∴k=360，
∴利潤L=（﹣2）x，
設(shè)x+20=t（t≥20），則L=400﹣（+2t）≤400﹣240=160，
當且僅當=2t，即t=60，x=40時，最大利潤是160元．
20．已知函數(shù)f（x）=x++b，其中a，b是常數(shù)且a＞0．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在區(qū)間（0，]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，且在區(qū)間[1，2]上f（x）的最大值為5，最
24、小值為3，求a的值．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)的最值及其幾何意義．
【分析】（1）證法一：任取設(shè)0＜x1＜x2≤，作差比較可得f（x1）＞f（x2），結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得：f（x）在區(qū)間（0，]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
證法二：求導(dǎo)，分析出當x∈（0，]時，f′（x）≤0恒成立，故f（x）在區(qū)間（0，]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上f（x）的最值，可求出滿足條件的a值．
【解答】（1）證法一：∵函數(shù)f（x）=x++b，其中a，b是常數(shù)且a＞0，
任取設(shè)0＜x1＜x2≤，
則x1﹣x2＜0
25、，0＜x1?x2＜a，
f（x1）﹣f（x2）=（x1++b）﹣（x2++b）=（x1﹣x2）﹣=（x1﹣x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在區(qū)間（0，]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
證法二：∵函數(shù)f（x）=x++b，其中a，b是常數(shù)且a＞0，
∴f′（x）=1﹣=，
當x∈（0，]時，f′（x）≤0恒成立，
故f（x）在區(qū)間（0，]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，且在區(qū)間[1，2]上f（x）的最大值為5，最小值為3，
當a≤1時，即，解得：a=﹣2（舍去）；
當1＜a≤2.25時，即，解得：a=0（舍去），或：a=16（舍去）；
當2.25＜a＜4時，，解得：a=3+2（舍去），
當a≥4時，即，解得：a=6；
綜上可得：a=6
xx11月27日
2022年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷 含解析(IV)
