2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 3 弧度制學(xué)案 北師大版必修4

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1、 3 弧度制 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解角度制與弧度制的概念，能對(duì)弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換.2.體會(huì)引入弧度制的必要性，建立角的集合與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.掌握并能應(yīng)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式． 知識(shí)點(diǎn)一　角度制與弧度制 思考1　在初中學(xué)過(guò)的角度制中，1度的角是如何規(guī)定的？ 思考2　在弧度制中，1弧度的角是如何規(guī)定的，如何表示？ 思考3　“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小有關(guān)系嗎？ 梳理　(1)角度制和弧度制 角度制 用________作為單位來(lái)度量角的單位制叫作角度制，規(guī)定1度的角等于周角的 弧度制 在單位圓中，長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓

2、心角稱為1弧度角．它的單位符號(hào)是rad，讀作________．以________作為單位來(lái)度量角的單位制叫作弧度制 (2)角的弧度數(shù)的計(jì)算 設(shè)r是圓的半徑，l是圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)，則角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值滿足|α|＝. 知識(shí)點(diǎn)二　角度制與弧度制的換算 思考　角度制和弧度制都是度量角的單位制，它們之間如何進(jìn)行換算呢？ 梳理　(1)角度與弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝________ rad 2π rad＝________ 180°＝________ rad π rad＝________ 1°＝ rad≈________ rad 1 rad＝

3、≈________＝57°18′ (2)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 度 0° 1° 30° 60° 120° 150° 180° 360° 弧度 π 2π 知識(shí)點(diǎn)三　扇形的弧長(zhǎng)及面積公式 思考　扇形的面積與弧長(zhǎng)公式用弧度怎么表示？ 梳理 α為度數(shù) α為弧度數(shù) 扇形的弧長(zhǎng) l＝ l＝αr 扇形的面積 S＝ S＝lr＝αr2 類型一　角度與弧度的互化 例1　將下列角度與弧度進(jìn)行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. 反思與感悟

4、　將角度轉(zhuǎn)化為弧度時(shí)，要把帶有分、秒的部分化為度之后，牢記π rad＝180°即可求解．把弧度轉(zhuǎn)化為角度時(shí)，直接用弧度數(shù)乘以即可． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)把112°30′化成弧度； (2)把－化成度． 類型二　用弧度制表示終邊相同的角 例2　已知角α＝2 010°. (1)將α改寫(xiě)成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限的角； (2)在區(qū)間[－5π，0)上找出與α終邊相同的角． 反思與感悟　用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時(shí)，其中2kπ是π的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍，還要注意角度制與弧度制不能混用． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)把－1 4

5、80°寫(xiě)成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]內(nèi)找出與角終邊相同的角． 類型三　扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用 例3　(1)若扇形的中心角為120°，半徑為，則此扇形的面積為(　　) A．π B. C. D. (2)如果2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為4，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為(　　) A．2 B. C．2sin 1 D. 反思與感悟　聯(lián)系半徑、弧長(zhǎng)和圓心角的有兩個(gè)公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中兩個(gè)，就可以求出另一個(gè)．求解時(shí)應(yīng)注意先把度化為弧度，再計(jì)算． 跟蹤訓(xùn)練3　一個(gè)扇形的面積為1，周長(zhǎng)

6、為4，求圓心角的弧度數(shù)． 1．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是(　　) A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān) 2．時(shí)針經(jīng)過(guò)一小時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)了(　　) A. rad B．－ rad C. rad D．－ rad 3．若θ＝－5，則角θ的終邊在(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 4．已知扇形的周長(zhǎng)是6 cm，面積是2 cm2，則扇形圓心角的弧度數(shù)是(　　) A．1 B．4 C．1或4

7、 D．2或4 5．已知⊙O的一條弧的長(zhǎng)等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則從OA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OE所形成的角α的弧度數(shù)是________． 1．角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)． 2．解答角度與弧度的互化問(wèn)題的關(guān)鍵在于充分利用“180°＝π rad”這一關(guān)系式． 易知：度數(shù)× rad＝弧度數(shù)，弧度數(shù)×＝度數(shù)． 3．在弧度制下，扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式都得到了簡(jiǎn)化，在具體應(yīng)用時(shí)，要注意角的單位取弧度． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)

8、學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1　周角的等于1度． 思考2　在單位圓中，長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度角． 思考3　在半徑為1的圓中，1弧度的角為長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角，又當(dāng)半徑不同時(shí)，同樣的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑之比是常數(shù)，故1弧度角的大小與所在圓的半徑大小無(wú)關(guān)． 梳理　(1)度　弧度　弧度 知識(shí)點(diǎn)二 思考　利用1°＝ rad和1 rad＝進(jìn)行弧度與角度的換算． 梳理　(1)2π　360°　π　180°　0.017 45 57．30°　(2)45°　90°　135°　270°　0　　　　 知識(shí)點(diǎn)三 思考　設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，α為其圓心角，則S＝lr，l＝αr. 題型

9、探究 例1　解　(1)20°＝＝. (2)－15°＝－＝－. (3)＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°. 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)112°30′＝°＝×＝. (2)－＝－°＝－75°. 例2　解　(1)2 010°＝2 010×＝ ＝5×2π＋， 又π<<， ∴α與終邊相同，是第三象限的角． (2)與α終邊相同的角可以寫(xiě)成γ＝＋2kπ(k∈Z)， 又－5π≤γ＜0， ∴當(dāng)k＝－3時(shí)，γ＝－； 當(dāng)k＝－2時(shí)，γ＝－； 當(dāng)k＝－1時(shí)，γ＝－. 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)∵－1 480°＝－1 480×＝－， 而－＝－10π＋，且0≤α≤2π， ∴α＝. ∴－1 480°＝＋2×(－5)π. (2)∵＝×()°＝72°， ∴終邊與角相同的角為θ＝72°＋k·360°(k∈Z)， 當(dāng)k＝0時(shí)，θ＝72°；當(dāng)k＝1時(shí)，θ＝432°. ∴在[0°，720°]內(nèi)與角終邊相同的角為72°，432°. 例3　(1)A　(2)D 跟蹤訓(xùn)練3　解　設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，則2R＋l＝4，∴l(xiāng)＝4－2R， 根據(jù)扇形面積公式S＝lR， 得1＝(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l(xiāng)＝2，∴α＝＝＝2， 即扇形的圓心角為2 rad. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．D　2.B　3.D　4.C　5.－ 7