彎曲變形 概述梁彎曲變形的量—撓和轉角撓曲線的近似微分方程積分法求梁變形疊加法求梁變形彎曲剛問題簡單超靜定梁

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1、會計學1彎曲變形彎曲變形 概述梁彎曲變形的量概述梁彎曲變形的量撓和轉撓和轉角撓曲線的近似微分方程積分法求梁變角撓曲線的近似微分方程積分法求梁變形疊加法求梁變形彎曲剛問題簡單超靜形疊加法求梁變形彎曲剛問題簡單超靜定梁定梁5.1、概述概述搖臂鉆床的搖臂變形過大，影響加工精度。搖臂鉆床的搖臂變形過大，影響加工精度。第2頁/共47頁5.1、概述概述橋式起重機橫梁橋式起重機橫梁變形過大，小車變形過大，小車行走困難，出現行走困難，出現爬坡現象。爬坡現象。第3頁/共47頁5.1、概述概述另外，對某些構件，又要求有較大的變形，滿足工另外，對某些構件，又要求有較大的變形，滿足工作需要。例如車輛上的板彈簧，要求有

2、足夠大的變作需要。例如車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩沖車輛受到的沖擊和振動作用。形，以緩沖車輛受到的沖擊和振動作用。P2P2P第4頁/共47頁5.2、梁彎曲變形的度量梁彎曲變形的度量撓度和轉角撓度和轉角v撓度撓度CCAB y xB2、撓度撓度：撓曲線上一點的縱坐標：撓曲線上一點的縱坐標v，表示坐標為，表示坐標為x的的橫截面的形心沿橫截面的形心沿y軸的位移，稱為該點撓度。軸的位移，稱為該點撓度。1、撓曲線撓曲線：發(fā)生彎曲變形后的梁，軸線是一條：發(fā)生彎曲變形后的梁，軸線是一條xy平平面內的曲線，稱為撓曲線。面內的曲線，稱為撓曲線。撓度遠小于梁的跨度，截面形心的撓度遠小于梁的跨度，截面形心

3、的水平水平位移略去。位移略去。撓曲線方程撓曲線方程v=f（x）第5頁/共47頁5.2、梁彎曲變形的度量梁彎曲變形的度量撓度和轉角撓度和轉角對于細長梁，平面假設仍然適用，忽略剪力的影響對于細長梁，平面假設仍然適用，忽略剪力的影響。ACCyB xBv撓度撓度 轉角轉角3、轉角轉角：橫截面對其原來位置的角位移：橫截面對其原來位置的角位移（轉過的（轉過的角度），稱為轉角。角度），稱為轉角。第6頁/共47頁5.2、梁彎曲變形的度量梁彎曲變形的度量撓度和轉角撓度和轉角4、撓度與撓度與轉角關系轉角關系ACCyB xBv撓度撓度 轉角轉角( )tgvv x轉角近似等于撓曲線的斜率。轉角近似等于撓曲線的斜率。第

4、7頁/共47頁5.2、梁彎曲變形的度量梁彎曲變形的度量撓度和轉角撓度和轉角5、撓度與撓度與轉角符號規(guī)定轉角符號規(guī)定ACCyB xBv撓度撓度 轉角轉角撓度向上為正，向下為負。撓度向上為正，向下為負。轉角，自轉角，自x軸逆時針轉向切線方向為正，反之為負軸逆時針轉向切線方向為正，反之為負。第8頁/共47頁5.3、撓曲線的近似微分方撓曲線的近似微分方程程1、公式推導公式推導純彎曲時，純彎曲時，曲率曲率與彎矩的關系與彎矩的關系1MEI 橫力彎曲時，橫力彎曲時，M 和和 都是都是x的函數的函數（略去剪力的影響）略去剪力的影響）1( )( )M xxEI 第9頁/共47頁5.3、撓曲線的近似微分方撓曲線的

5、近似微分方程程根據高數中曲率表達式根據高數中曲率表達式 3 221( )1( ) vxv 小變形情況下，小變形情況下， 2( )v與與 1 相比十分微小，忽略不計相比十分微小，忽略不計 1( )vx ( )M xvEI第10頁/共47頁5.3、撓曲線的近似微分方撓曲線的近似微分方程程曲線向上凸，曲線向上凸，oxvxov00 vMv與與M的正負號相同的正負號相同00Mv曲線向下凸，曲線向下凸，00 vM00MvMMMM第11頁/共47頁5.3、撓曲線的近似微分方撓曲線的近似微分方程程 ( )M xvEI( )M xvEI梁撓曲線的近似微分方程梁撓曲線的近似微分方程第12頁/共47頁5.4、積分法

6、求梁變形積分法求梁變形( )M xvEI梁撓曲線的近似微分方程梁撓曲線的近似微分方程( )M xvdxCEI 積分積分 ( )()M xvdx dxCxDEI等截面梁，等截面梁，EI為常量，可提出來。為常量，可提出來。系數系數C、D如何確定？如何確定？第13頁/共47頁5.4、積分法求梁變形積分法求梁變形積分常數的確定：積分常數的確定：邊界條件與連續(xù)條件邊界條件與連續(xù)條件。簡支梁的兩鉸支端簡支梁的兩鉸支端撓度撓度Av和和Bv都等于都等于0懸臂梁的固定端撓度懸臂梁的固定端撓度和轉角和轉角Av都等于都等于0A 0Av0Bv0Av0A ABAB撓曲線上任意一點有唯一的撓度與轉角。撓曲線上任意一點有唯

7、一的撓度與轉角。第14頁/共47頁例例5-1、抗彎剛度為、抗彎剛度為 EI 的懸臂梁，自由端受集中力的懸臂梁，自由端受集中力 F 作用。試求梁的撓度方程和轉角方程，并確定其作用。試求梁的撓度方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角。最大撓度和最大轉角。 lABxFv5.4、積分法求梁變形積分法求梁變形第15頁/共47頁(1) 彎矩方程為彎矩方程為解：解：(2) 撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為xlvABxF對撓曲線近似微分方程進行積分對撓曲線近似微分方程進行積分( )() M xF lx ( ) EIvM xFlFx 2 2FxEIvFlxC 2326FlxFxEIvCxD 5.

8、4、積分法求梁變形積分法求梁變形第16頁/共47頁梁的轉角方程和撓曲線方程分別為梁的轉角方程和撓曲線方程分別為邊界條件邊界條件0,0 ; 0, 0 xvxv代入代入0 0CD 22FxEIvFlx 2326FlxFxEIv5.4、積分法求梁變形積分法求梁變形2 2FxEIvFlxC 2326FlxFxEIvCxD 第17頁/共47頁BmaxvmaxxlvAF（ ）222max|22x lFlFlFlEIEIEI 都發(fā)生在自由端截面處。都發(fā)生在自由端截面處。max maxv和和（ ）3max|3x lFlvvEI 5.4、積分法求梁變形積分法求梁變形第18頁/共47頁5.4、積分法求梁變形積分法

9、求梁變形例例5-2、抗彎剛度為、抗彎剛度為 EI 的簡支梁，的簡支梁，D處受集中力處受集中力 F 作用。試求梁的撓度方程和轉角方程，并確定其最作用。試求梁的撓度方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角。大撓度和最大轉角。 ABFDabl解解：FAFBAbFFlBaFFlxx1(0)bMFxxal2() ()bMFxF xaaxll第19頁/共47頁5.4、積分法求梁變形積分法求梁變形1(0)bMFxxal梁的撓曲線微分方程，撓度與轉角方程如下：梁的撓曲線微分方程，撓度與轉角方程如下：11bFxEIvMl2112b xEIvFCl31116b xEIvFC xDl第20頁/共47頁5.4、積分

10、法求梁變形積分法求梁變形2() ()bMFxF xaaxll梁的撓曲線微分方程，撓度與轉角方程如下：梁的撓曲線微分方程，撓度與轉角方程如下：22()bFxF xaEIvMl 2222()22bF xaxFEIvCl33222()66bF xaxFxEIvCDl第21頁/共47頁5.4、積分法求梁變形積分法求梁變形ABFDablFAFBD點的連續(xù)條件點的連續(xù)條件邊界條件邊界條件在在 x = a 處處12vv12vv在在 x = 0 處，處，10v在在 x = l 處，處，20v代入代入120DD2212()6FbCClbl 第22頁/共47頁5.4、積分法求梁變形積分法求梁變形22211()36

11、FbvlbxlEI 2221)(6FbxlvbxlEI 2222221()()23FblxavxlblEI b 33222() ()6FblxxavxlblEI b(0)xa ()axl第23頁/共47頁5.4、積分法求梁變形積分法求梁變形將將 x = 0 和和 x = l 分別代入轉角方程分別代入轉角方程當當 a b 時時, 右支座處截面的轉角絕對值為最大右支座處截面的轉角絕對值為最大 10()|6AxFab lblEI2()|6Bx lFab lalEImax()6BFab lalEI第24頁/共47頁5.4、積分法求梁變形積分法求梁變形簡支梁的最大撓度應在簡支梁的最大撓度應在處處 0v先

12、研究第一段梁先研究第一段梁,令令得得10v22211()036FbvlbxlEI 221(2 )33lba abx當當 a b時時, x1 a 最大撓度確實在第一段梁中最大撓度確實在第一段梁中 1222 3max()0 06429 3x xFbPblv |lb.vEIlEI第25頁/共47頁5.4、積分法求梁變形積分法求梁變形梁中點梁中點 C 處的撓度為處的撓度為結論：在簡支梁中，不論它受什么荷載作用，只要撓曲線上結論：在簡支梁中，不論它受什么荷載作用，只要撓曲線上無拐點，其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替，無拐點，其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替，其精確度是能滿足工程要求的

13、。其精確度是能滿足工程要求的。222(34)0.062548CFbFblvlbEIEI1222 3max()0 06429 3x xFbFblv |lb.vEIlEI第26頁/共47頁5.4、積分法求梁變形積分法求梁變形ABq例例5-3、抗彎剛度為、抗彎剛度為 EI 的簡支梁，受均勻分布載荷的簡支梁，受均勻分布載荷作用，載荷集度為作用，載荷集度為 q 。試求梁的撓度方程和轉角方。試求梁的撓度方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角。程，并確定其最大撓度和最大轉角。 FAFB解解：2ABqlFFx2( )22qlqxM xx第27頁/共47頁5.5、積分法求梁變形積分法求梁變形222qlqEI

14、vxx2346qlqEIvxxC341224qlqEIvxxCxD邊界條件邊界條件000 xvxlv，；，3-024qlCD，ABq233(6-4- )24qlxx lEI233(2- - )24qxvlx x lEI第28頁/共47頁5.5、積分法求梁變形積分法求梁變形x = 0 和和 x = l 截面有最大轉截面有最大轉角（絕對值最大，且相等）角（絕對值最大，且相等） A BvmaxABqlx = l /2截面處截面處 ，有最大撓度（絕對值最大），有最大撓度（絕對值最大）3max24ABqlEI 4max25384lxqlvvEI第29頁/共47頁5.6、疊加法求梁變形疊加法求梁變形在在小

15、變形及線彈性范圍小變形及線彈性范圍內，梁在幾項荷載同時作內，梁在幾項荷載同時作用下的撓度和轉角，等于每一荷載單獨作用下該用下的撓度和轉角，等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加。當撓度為同一方向（截面的撓度和轉角的疊加。當撓度為同一方向（如沿如沿y 軸方向），轉角在同一平面內（如軸方向），轉角在同一平面內（如xy 平面平面），則疊加就是代數和。這就是疊加原理。），則疊加就是代數和。這就是疊加原理。一、疊加原理一、疊加原理第30頁/共47頁5.6、疊加法求梁變形疊加法求梁變形例例5-4、按疊加原理求、按疊加原理求 A點轉角和點轉角和C點撓度。點撓度。qFACaaB=FAB+ABq第31頁

16、/共47頁5.6、疊加法求梁變形疊加法求梁變形FABABq2343AFAqAFaqaEIEI 345624CFCqCFaqavvvEIEI 36FCFavEI 24FAFaEI4524qCqavEI 33qAqaEI 第32頁/共47頁5.6、疊加法求梁變形疊加法求梁變形例例5-5、按疊加原理求梁中點、按疊加原理求梁中點C處撓度和支座處撓度和支座A，B轉角轉角。ABCqmlBAmlAqBl+第33頁/共47頁5.6、疊加法求梁變形疊加法求梁變形qB qA qCvCmB mA mCvCBAmlAqBl+CqCmCvvvAqAmA3246mlqlEIEI 42538416qlmlEIEI3()24

17、3mlqlEIEI BqBmB第34頁/共47頁5.6、疊加法求梁變形疊加法求梁變形例例5-6、按疊加原理求、按疊加原理求C處撓度和轉角。處撓度和轉角。Cy第35頁/共47頁5.6、疊加法求梁變形疊加法求梁變形Cw1Cw41,8CqlvEI 222432,128482CBBlvvqlqllEIEIEIqlC631EIqlC483242141384CCiiqlvvEI EIqliCiC4873212Cw2Bw第36頁/共47頁5.7、彎曲剛度問題彎曲剛度問題maxmax vv彎曲剛度條件彎曲剛度條件應用：校核剛度，設計截面尺寸，確定外載。應用：校核剛度，設計截面尺寸，確定外載。第37頁/共47頁

18、5.7、彎曲剛度問題彎曲剛度問題例例57、工字鋼簡支梁，跨中受集中載荷、工字鋼簡支梁，跨中受集中載荷F=25 kN作用作用?？玳L?？玳Ll=4 m，許可撓度為，許可撓度為l/400，材料的彈性模量，材料的彈性模量E=206 GPa，許用應力，許用應力160MPa，試選擇工字鋼的型號，試選擇工字鋼的型號。 解解 (1)按強度條件選擇截面按強度條件選擇截面 由附錄由附錄C可查得，可查得，No.18工字鋼的幾何特性為工字鋼的幾何特性為 mkN254254141maxFlM33463maxcm3 .156m10563. 1101601025MWz43cm1660,cm185zzIW最大彎矩發(fā)生在跨中截面

19、最大彎矩發(fā)生在跨中截面 第38頁/共47頁5.7、彎曲剛度問題彎曲剛度問題梁的最大撓度在跨中截面梁的最大撓度在跨中截面 剛度符合要求剛度符合要求。 (2)按剛度條件校核按剛度條件校核 33398max25 1040.0097m0.01m4848 206 101660 10400FllfvEI故可選用故可選用No.18a工字鋼。工字鋼。 第39頁/共47頁5.7、彎曲剛度問題彎曲剛度問題 影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關有關,而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關有關.所以所以,要想提高

20、彎曲剛度要想提高彎曲剛度,就應從上述各種因素入手。就應從上述各種因素入手。一、增大梁的抗彎剛度一、增大梁的抗彎剛度EI二、減小跨度或增加支承二、減小跨度或增加支承三、改變加載方式和支座位置三、改變加載方式和支座位置第40頁/共47頁5.7、彎曲剛度問題彎曲剛度問題(1)增大梁的抗彎剛度增大梁的抗彎剛度EI工程中常采用工字形工程中常采用工字形,箱形截面箱形截面為了減小梁的位移為了減小梁的位移,可采取下列措施可采取下列措施(2)調整跨長和改變結構調整跨長和改變結構設法縮短梁的跨長設法縮短梁的跨長,將能顯著地減小其撓度和轉角。將能顯著地減小其撓度和轉角。這是提高梁的剛度的一個很又效的措施。這是提高梁

21、的剛度的一個很又效的措施。( )EIvM x第41頁/共47頁5.7、彎曲剛度問題彎曲剛度問題橋式起重機的鋼梁通常采用兩端外伸的結構就是為了縮短跨長橋式起重機的鋼梁通常采用兩端外伸的結構就是為了縮短跨長而而減小梁的最大撓度值。減小梁的最大撓度值。ABql同時同時,由于梁的外伸部分的自重由于梁的外伸部分的自重作作用用,將使梁的將使梁的AB跨產生向上的撓跨產生向上的撓度度,從而使從而使AB跨向下的撓度能夠跨向下的撓度能夠被抵消一部分被抵消一部分,而有所減小。而有所減小。qqABl增加梁的支座也可以減小梁的撓度。增加梁的支座也可以減小梁的撓度。第42頁/共47頁5.8、簡單超靜定梁簡單超靜定梁一、靜

22、定梁一、靜定梁 二、超靜定梁二、超靜定梁未知約束力的數目等于獨立靜力平衡方程的數目未知約束力的數目等于獨立靜力平衡方程的數目。未知約束力的數目多于獨立靜力平衡方程的數目，未知約束力的數目多于獨立靜力平衡方程的數目，僅靠平衡方程不能確定全部未知力僅靠平衡方程不能確定全部未知力 。三、變形比較法三、變形比較法 1) 構造原超靜定梁的構造原超靜定梁的“相當系統相當系統”。假想地將多余約。假想地將多余約束去掉，代之以相應的約束力。束去掉，代之以相應的約束力。2) 相當系統與原結構變形諧調的條件，建立與多余相當系統與原結構變形諧調的條件，建立與多余約束力數目相等的補充方程，進而解出全部未知約束力數目相等

23、的補充方程，進而解出全部未知力。力。第43頁/共47頁變形比較方法求解圖示超靜定梁。變形比較方法求解圖示超靜定梁。 解解 (1)視支座視支座B為多余約束為多余約束 建立相當系建立相當系統統(2)建立補充方程建立補充方程 0BBqBFvvv查得查得 48BqqlvEI 33ByBFF lvEI03834EIlFEIqlBy解得解得 qlFBy835.8、簡單超靜定梁簡單超靜定梁第44頁/共47頁5.8、簡單超靜定梁簡單超靜定梁(4) 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 (3) 求出其他的約束力求出其他的約束力 0AxFqlFAy85281qlMA第45頁/共47頁解法二解法二(1)視支座視支座A的約束力偶為多余約束的約束力偶為多余約束 建立相當系建立相當系統統(2)建立補充方程建立補充方程 查得查得 解得解得 0 AMAqAEIqlAq243EIlMAAM303243EIlMEIqlA281qlMA5.8、簡單超靜定梁簡單超靜定梁第46頁/共47頁感謝您的觀看！感謝您的觀看！第47頁/共47頁