2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角函數(shù) 3.1 弧度制與任意角 3.1.1 角的概念的推廣學(xué)案 湘教版必修2

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1、 3．1.1　角的概念的推廣 [學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.掌握正角、負(fù)角和零角的概念，理解任意角的意義.2.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會(huì)用集合符號(hào)表示這些角． [知識(shí)鏈接] 1．手表慢了5分鐘，如何校準(zhǔn)？手表快了半小時(shí)，又如何校準(zhǔn)？ 答　可將分針順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°；可將時(shí)針逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°. 2．在初中角是如何定義的？ 答　定義1：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的幾何圖形叫做角． 定義2：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角． 3．初中所學(xué)角的范圍是什么？ 答　角的范圍是[0°，360°]． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1．角的概念 (1)角的定

2、義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形． (2)角的表示方法：①常用大寫(xiě)字母A，B，C等表示；②也可以用希臘字母α，β，γ等表示； ③特別是當(dāng)角作為變量時(shí)，常用字母x表示． (3)角的分類(lèi)： 一條射線繞著端點(diǎn)以逆時(shí)針?lè)较虻男D(zhuǎn)為正向，所成的角稱為正角，用正的角度來(lái)表示；順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角稱為負(fù)角，用負(fù)的角度來(lái)表示；不旋轉(zhuǎn)所成的角稱為零角，用0°表示． 2．象限角 角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限． 3．終邊

3、相同的角 設(shè)α＝∠AOB，則所有以O(shè)A為始邊，OB為終邊的角都是α與整數(shù)個(gè)周角的和，組成集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和. 要點(diǎn)一　任意角概念的辨析 例1　在下列說(shuō)法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③鈍角都是第二象限角； ④小于90°的角都是銳角． 其中錯(cuò)誤說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)_______ 答案?、佗冖? 解析?、?°～90°的角α是指0°≤α＜90°，0°角不屬于任何象限，所以①不正確． ②120°是第二象限角，390°是第一象限角，顯然390°>120°，所以②

4、不正確． ③鈍角α的范圍是90°＜α＜180°，顯然是第二象限角，所以③正確． ④銳角α的范圍是0°＜α＜90°，小于90°的角也可以是零角或負(fù)角，所以④不正確． 規(guī)律方法　判斷說(shuō)法錯(cuò)誤，只需舉一個(gè)反例即可．解決本題關(guān)鍵在于正確理解各類(lèi)角的定義．隨著角的概念的推廣，對(duì)角的認(rèn)識(shí)不能再停留在初中階段，否則判斷容易錯(cuò)誤． 跟蹤演練1　設(shè)A＝{小于90°的角}，B＝{銳角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有(　　) A．BCAB．BAC C．D(A∩C) D．C∩D＝B 答案　D 解析　銳角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范圍，

5、如下表所示. 角 集合表示 銳角 B＝{α|0°<α<90°} 0°～90°的角 D＝{α|0°≤α<90°} 小于90°的角 A＝{α|α<90°} 第一象限角 C＝{α|k·360°<α

6、°～360°范圍內(nèi)，與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角． (3)因?yàn)椋?50°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角． 規(guī)律方法　本題要求在0°～360°范圍內(nèi)，找出與已知角終邊相同的角，并判斷其為第幾象限角，這是為以后證明恒等式、化簡(jiǎn)及利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值打基礎(chǔ)． 跟蹤演練2　給出下列四個(gè)說(shuō)法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中正確的有(　　) A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè) 答案　D

7、解析　對(duì)于①：如圖1所示，－75°角是第四象限角； 對(duì)于②：如圖2所示，225°角是第三象限角； 對(duì)于③：如圖3所示，475°角是第二象限角； 對(duì)于④：如圖4所示，－315°角是第一象限角． 要點(diǎn)三　終邊相同的角的應(yīng)用 例3　在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角． (1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角． 解　(1)與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，由－360°

8、. (2)由0°

9、同的角的集合為：{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}． ∵－720°≤β<360°， 即－720°≤k·360°－1910°<360°(k∈Z)， ∴3≤k<6(k∈Z)．故取k＝4,5,6. k＝4時(shí)，β＝4×360°－1910°＝－470°； k＝5時(shí)，β＝5×360°－1910°＝－110°； k＝6時(shí)，β＝6×360°－1910°＝250°. 要點(diǎn)四　區(qū)域角的表示 例4　寫(xiě)出終邊落在陰影部分的角的集合． 解　設(shè)終邊落在陰影部分的角為α，角α的集合由兩部分組成． ①{α|k·360°＋30°≤α

10、0°≤α

11、 規(guī)律方法　解答此類(lèi)題目應(yīng)先在0°～360°上寫(xiě)出角的集合，再利用終邊相同的角寫(xiě)出符合條件的所有角的集合，如果集合能化簡(jiǎn)的還要化成最簡(jiǎn)．本題還要注意實(shí)線邊界與虛線邊界的差異． 跟蹤演練4　已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α

12、0°<γ

13、選C. 3．若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________. 答案　270° 解析　由于5α與α的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應(yīng)是360°的整數(shù)倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°. 4．寫(xiě)出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合S. 解　終邊落在x軸上的角的集合： S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}； 終邊落在y軸上的角的集合： S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}； ∴終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合： S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·

14、180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}． 1.對(duì)角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應(yīng)用“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)下定義，理解這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)量”決定角的“絕對(duì)值大小”． 2．關(guān)于終邊相同角的認(rèn)識(shí) 一般地，若角α始邊與x軸非負(fù)半軸重合，則所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和． 注意：(1)α為任意角； (2)k·360°與α之間是“＋

15、”號(hào)，k·360°－α可理解為k·360°＋(－α)； (3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍； (4)k∈Z這一條件不能少． 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．設(shè)A＝{θ|θ為銳角}，B＝{θ|θ為小于90°的角}，C＝{θ|θ為第一象限的角}，D＝{θ|θ為小于90°的正角}，則下列等式中成立的是(　　) A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D 答案　D 2．與405°角終邊相同的角是(　　) A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋

16、45°，k∈Z 答案　C 3.如圖，終邊落在直線y＝±x上的角α的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z} D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z} 答案　D 4．若α是第四象限角，則180°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　C 解析　可以給α賦一特殊值－60°，則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角． 5．已知0°＜α＜360°，α的終邊與－60°角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則α＝_______

17、_. 答案　60° 6．下列說(shuō)法中，正確的是________(填序號(hào))． ①終邊落在第一象限的角為銳角； ②銳角是第一象限的角； ③第二象限的角為鈍角； ④小于90°的角一定為銳角； ⑤角α與－α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱． 答案?、冖? 解析　終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400°的角是第一象限的角，但不是銳角，故①的說(shuō)法是錯(cuò)誤的；同理第二象限的角也不一定是鈍角，故③的說(shuō)法也是錯(cuò)誤的；小于90°的角不一定為銳角，比如負(fù)角，故④的說(shuō)法是錯(cuò)誤的． 7．在與角－2013°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角． (1)最小的正角； (2)最大的負(fù)角； (3)－720°～720°內(nèi)

18、的角． 解　(1)∵－2013°＝－6×360°＋147°， ∴與角－2013°終邊相同的最小正角是147°. (2)∵－2013°＝－5×360°＋(－213°)， ∴與角－2013°終邊相同的最大負(fù)角是－213°. (3)∵－2013°＝－6×360°＋147°， ∴與－2013°終邊相同也就是與147°終邊相同． 由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得： k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得： －573°，－213°，147°，507°. 二、能力提升 8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中

19、，角所表示的范圍(陰影部分)正確的是(　　) 答案　C 9．在－180°～360°范圍內(nèi)，與2000°角終邊相同的角為_(kāi)_____． 答案?。?60°，200° 解析　∵2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°， ∴在－180°～360°范圍內(nèi)與2000°角終邊相同的角有－160°，200°兩個(gè)． 10．角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，若α＝30°，則β＝________. 答案　150°＋k·360°，k∈Z 解析　∵30°與150°的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱， ∴β的終邊與150°角的終邊相同． ∴β＝150°＋k·360°，k∈Z. 11

20、．已知角x的終邊落在圖示陰影部分區(qū)域，寫(xiě)出角x組成的集合． 解　(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}． (2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z} ＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°，或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z} ＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}． 12．已知角β的終邊在直線x－y＝0上． (1)寫(xiě)出角β的集合S； (2)寫(xiě)出S中適合不等式－3

21、60°<β<720°的元素． 解　(1)如圖，直線x－y＝0過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA、OB為終邊的角的集合為： S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}． (

22、2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.解得－

23、－k·360°(k∈Z)， ∴－α終邊定與(－90°，0°)內(nèi)某一角的終邊重合，故－α是第四象限角． (2)2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)， ∴2α終邊定與(0°，180°)內(nèi)某一角的終邊重合， 故2α是第一、二象限角或終邊在y軸的非負(fù)半軸上． (3)k·120°<